部件具有隨機相關性的串并聯系統選擇性維修優化

孫 亮，成國慶，蘇擁政，王 東

（上海海洋大學 工程學院，上海 201306）

0 引言

在工業生產和軍事領域，通常要求裝備系統相繼地執行多個任務，任務之間的間隔是有限的，在有限的任務間隔期無法對所有劣化和故障部件進行維修，只能選擇一部分部件進行維護，這種在維護時間和費用等資源的約束下制定維護決策的問題叫做選擇性維護。

Rice等[1]人首先討論了兩狀態的串并聯系統的選擇性維護問題，在每次任務間隔期，考慮兩種維修行為——不采取任何行動或更換故障部件，建立了一個非線性選擇維修優化模型，以在有限的維修時間下最大限度地提高系統在下一任務中的可靠性。Cassady等[2，3]擴展這項工作，系統可以由不同類型的部件構成，并增加了維護成本作為問題的另一個約束。文中提出了三種不同的選擇性維修模型，即在時間和成本約束下的系統可靠性最大化模型、在時間和可靠性要求約束下的系統維修成本最小化模型和在成本和可靠性要求約束下的總維修時間最小化模型。之后Cassady等人[4]進一步研究了串并聯系統中組件壽命服從威布爾分布的選擇性維護問題。Pandey等人[5]將不完美維修作為一種維護行為，并表明通過執行不完美維護行為可以提高系統的可靠性。Liu和Huang[6]通過生成函數建立了兩狀態部件組成的多狀態系統的選擇性維護模型。

在較早的選擇性維修研究中，假設系統部件在經濟上是獨立的，即每個部件的維修獨立于其他部件。然而，在許多工業系統中，如飛機、醫療設備、汽車機械和核電站等，由于需要分擔安裝、工具、材料和勞動力，維修多個部件，特別是相同的部件往往更加經濟。在這種情況下，這些系統中的組件被認為是具有經濟相關性的。文獻[7～14]提出了通過執行一組維護活動來節約成本的措施。Nourelfath和Chatelet[15]在生產和預防性維修計劃問題中研究了并聯系統各組成部分之間的經濟相關性和結構相關性，使生產和維修總成本最小化。Dao和Zuo[16]同時考慮了部件之間結構和經濟上的相關性，以最大限度地提高系統的可靠性為目標建立了多狀態系統的選擇性維護模型。Amene[17]建立了部件之間具有隨機相關性的串聯系統的選擇性維護模型，討論了串聯部件之間的劣化相關性。

而實際的工業系統和生產裝備中組件之間關系并不僅僅是串聯關系，更多的是串并混聯的關系，且系統中組件之間的隨機相關性不僅存在于串聯組件之間，并聯組件之間也存在隨機相關性，如卸船機的主起升系統中兩個同型號的電動機為并聯關系，而減速器獨自構成一個子系統與兩個電動機構成的子系統串聯。為了使模型更加符合實際的工業系統，本文針對港口機械卸船機的主起升系統，在Amene等人研究的基礎上，進一步研究了部件之間具有隨機相關性的串并混聯系統的選擇性維護，并分別討論了串聯子系統之間的隨機相關性，以及子系統內部相同的并聯部件之間的劣化關系，利用各種影響部件之間隨機相關性的因素進行建模，并通過蒙特卡洛法對串并混聯系統的劣化過程進行了仿真，計算出系統在下個任務期的可靠性，得到了部件具有隨即相關性的串并聯系統的選擇性維護模型。

1 模型建立

1.1 劣化模型

本文研究的串并聯系統由M個相互獨立的子系統串聯而成，其中，第i個子系統由Ni個相同的部件并聯而成。且每個部件具有k+1個不同的狀態（0，1，2…K-1，K），其中0為部件的故障狀態，K為部件的正常運行狀態，其余為中間狀態。系統結構圖1所示。

圖1 串-并混聯系統示意圖

假設部件的劣化服從馬爾可夫過程，部件狀態的轉移時間服從指數分布。且部件的劣化過程是連續的，即部件從狀態K劣化到K-2之前必定會先劣化到K-1狀態。系統中的任意部件bij從K劣化至K-1的固有劣化率為λij,k。

圖2 部件性能退化示意圖

此外，部件的的劣化存在隨機相關性，在子系統中一個部件狀態一旦劣化至0，即故障狀態，便會對子系統中的其他并聯部件的劣化產生影響，例如在卸船機的主起升機構中由兩個相同的并聯電機提供動力，一旦其中一個電機狀態降為0，即故障狀態，負荷便全部集中在另一個電機上，便會對此電機狀態產生影響，加速其劣化過程。定義函數f(.)來表示子系統中部件故障對其他部件劣化的影響，且f(.)的表達式為：

其中GS(t)為t時刻系統的運行狀態，GK為系統的最高狀態，同時子系統的部件劣化還受到故障部件nI(t)個數的影響，N表示部件所在子系統中部件個數。另一方面，部件還會受到一些隨機因素的影響，如系統運行環境，運行條件，用一個參數δ來表示這些隨機因素所造成的影響，設δ服從正態分布。

另一方面，在串聯的子系統之間也存在著部件劣化相關性，當子系統si(t)從k劣化至k-1時，將對相關的子系統的劣化產生影響，我們用e丨β丨來表示在串聯系統中部件之間的劣化影響，β為服從正態分布。

當部件處于完美運行狀態時，f(.)=1，Gs(t)=Gk，δ=1，此時當部件劣化，子系統的狀態下降，

1.2 系統部件的可靠性

在對多狀態組件的劣化過程建模完成后，本節將討論系統在下一個任務周期的可靠性。系統可靠性可以定義為系統可以成功執行下一個相鄰任務的概率，且任務的時間為τ。換句話說，系統的可靠度可以定義為系統在運行τ時間后系統的狀態仍然大于等于狀態a的概率，即：

其中Rs(τ，a)代表系統的可靠度，Gs(τ)為系統運行τ時間后的狀態，φi(τ)描述了子系統i運行τ時間后的狀態，而pij,k(t)則代表部件bij運行τ時間后處于狀態k的概率。在部件不存在相關性的系統中，pij,k(t)的值可以通過求解Chapman-Kolmogorov微分方程組獲得，而在本模型中由于部件之間的劣化存在隨機相關性，所以原有的求解方式不能適用于此。

為了描述部件具有劣化相關性的串并聯系統中部件狀態的轉移概率，本文利用蒙特卡洛方法仿真了系統在一個任務周期的劣化過程。該方法首先模擬各部件bij狀態轉移過程。產生一個（0，1）的隨機數U，部件bij在t時刻狀態不發生轉移的概率為qij，且qij表達式為：

如果U大于等于qij則部件的狀態由k劣化為k-1，同時利用和β對同一子系統中的部件和相鄰子系統中的部件狀態轉移概率進行更新；反之若U小于qij則部件的狀態不發生改變。當時間到達任務的終點，或者系統的性能狀態低于需求水平a時，一次仿真停止。將整個仿真過程進行NMCS次，最終得到系統的可靠性為：

其中count為仿真失敗的次數。

2 考慮隨機不完全維修的選擇性維修優化問題

通常來說，對于一個多態部件有多種維修或維護方案可供選擇，包括更換，非完美維護，和不維修等。部件在維修之后可能處于維護前的狀態和完美狀態之間的某個狀態，可以歸納如下：

事實上，非完美維護的效果主要由兩個因素決定：一為部件的非完美維護次數zij，非完美維護次數越多的部件，再次接受非完美維護后達到預期狀態的概率就越低；另一個因素為非完美維護期望提升的狀態級別lij，期望提升的狀態級別li越大，達到期望效果的概率也就越低。例如，一個期望狀態提升30%的非完美維護成功的概率一般大于期望提升80%的非完美維護。鑒于此，非完美維護達到預期狀態的概率設為：

由于維護效果的不確定性，部件在接受維護之后，系統可能處于多個不同的狀態。例如，對于一個由兩并聯部件組成的子系統和一個單部件構成的子系統串聯后組成的一個串并混聯系統在經過維護后系統的狀態有2M個。假設系統維護前的狀態為Y=[12，1]，對每個部件所進行的維護等級為l11=1，l12=2，l21=1，且部件共有四種狀態，{0，1，2，3}，維修之后部件1的狀態可能為2也可能為1，部件2所接受的維護為完美維護，所以維護后的狀態一定為3，部件3在經過維護級別1的維護后，狀態可能為1也可能為0。即系統的維護后狀態有22種可能，S1=[13，0]，S2=[13，1]，S3=[23，0]，S4=[23，1]，且系統處于這四種狀態的概率是確定的。部件經過li等級的維護后，狀態xij=yij+lij概率為而狀態不發生改變的概率xij=yij的概率為。維護后的系統狀態概率表達式為：

于是，下一個任務階段系統的可靠度期望可以計算為：

維修期間所有部件的維護費用之和為：

維修期間所有部件花費的時間之和為：

最后，建立選擇性維護優化模型，以找到下一個任務期內使得系統可靠度最大的維護行為水平。決策變量是上文定義的對單個組件所采取的維護行為水平，維護時間和費用則被視為約束條件。選擇性維護優化問題模型如下：

式(14)為模型的目標函數，其中W為部件進行維護后系統狀態的集合；式(15)、式(16)表示維修費用和時間的約束；式(17)表示部件bij只能接受一種維護行為；式(18)表示決策變量的值只能為0或1；lij為部件維修行為的級別。通過建模最終得到了一個混合整數非線性規劃模型，在對此模型求解時，如果問題規模較大，通常采用各種智能算法進行求解，如粒子群算法，遺傳算法，模擬退火算法等。而當部件狀態和維護行為的選擇組合數較少時，可采用枚舉法進行求解。

3 算例分析

本節以港口機械系統卸船機的主起升機構為維修對象進行建模優化，以驗證文中方法的有效性。卸船機的主起升機構由兩個并聯電機和一個減速器串聯而成，其系統的可靠性示意圖如圖3所示。該系統由兩個子系統串聯而成，子系統1由相同的部件（電機）并聯而成，子系統2由一個單部件（減速器）構成。不同部件維修所花費的時間（天）和費用（萬元）如下：

圖3 系統結構示意圖

系統中的部件均有四種不同的狀態（0，1，2，3），其中0代表部件的故障狀態，而3則代表部件的完美運行狀態，其余為中間狀態。維修開始前部件的初始狀態為Y=[1 1，1]，且維修之前的部件接受非完美維護的次數Z11=1，Z12=1，Z21=1，部件1和部件2的初始維護成功概率維修預算中T=3，C=20，此外假設δ服從（5.24，0.001）的正態分布，β服從（4.91，0.001）的正態分布，且相鄰任務間的維修時間τ=0.5（年）。

表1 部件狀態轉移率

利用上述數據進行建模，使用Matlab R2018b進行求解。為了分析仿真組件依賴的影響和維護操作的隨機性質，我們考慮四個不同的維護情況；1）獨立的組件和維護效果確定；2）獨立的組件和隨機非完美的維護行為；3）具有隨機相關性組件和非完美維護效果確定；4）具有隨機相關性的組件和非完美維護效果不確定。根據系統可靠性目標，維護成本和時間，對從這些場景中獲得的結果進行比較。

蒙特卡羅仿真（MCS）需要找到合適的仿真次數。為此，使用不同的仿真次數運行MCS，以第三種情形中部件維護后的狀態為X=[2 2，2]為例，得到的仿真結果如圖4所示。

圖4 不同仿真次數的系統可靠度

從圖4可以看出當仿真次數N=10000次時仿真的結果與N=100000次時相同，而N=100000的計算量是N=10000次時的10倍，故選擇N=10000。

在第一和第二種情況下，假設組件是相互獨立的。然而在第二種情況下，維修行動的結果被視為隨機的，以分析其不確定性對系統可靠性的影響。實驗中部件的狀態均為1，且選擇維修行為等級均為1即L（1 1，1）。當不完全維護行為為確定性時即場景一中的情況，維修后的部件的狀態為X=[2 2，2]，系統可達到的最大可靠性為0.999。在第二種場景中，所選維護水平動作的最大可實現系統可靠性為0.981。這近2%的系統可靠性下降正是因為維修結果的隨機性導致，這也證實了將維修結果當成確定的考慮導致對系統可靠性不切實際的過高估計。

為了分析部件之間的隨機相關性對系統可靠性的影響，以及組件隨機相關性和不完全維修的隨機性對系統可靠性的綜合影響，現在考慮最后兩種情況。在第三個情景中，組件被認為是隨機相關的，而不完全維護動作的結果被視為確定性的。結果表明，當維護行為等級均為1時，系統的可靠性為0.97。這一結果和場景一的相比，由于部件之間的劣化存在隨機相關性，系統的可靠性有所下降，它從本質上表明了系統建模時考慮部件之間的相關性對準確描述系統可靠性重要性。在第四個場景中，我們考慮組件之間的隨機相關性和不完全維護的隨機性，使模型更加符合現實中的情景，在此情景下綜合考慮了多個方面所引起不確定性。在非完美維護后系統的可靠性為0.941，與其他場景的比較分析清楚地表明了了組件間的隨機相關性和不完全維修結果的不確定性對系統可靠性的估計產生了明顯的聯合效應。伴隨著由這些不確定性的增加，系統可靠性大幅下降。這個結果更直接地表明了綜合考慮部件間的隨機相關性和非完美維護的隨機性，對準確估算系統可靠性的重要性。

實驗中發現不僅部件之間的劣化隨即相關性對系統可靠性產生影響，維護結果的隨機性也會對系統的可靠性產生較大的影響。維護結果的隨機性會對系統可靠度產生影響的主要因素為部件非完美維護成功概率的變化，而在本實驗中的值主要由部件在維修前所接受非完美維護的次數Zij決定。部件的維護前狀態均為1，且維護行為均為1，在情景四中的不同非完美維護次數的部件的可靠度結果如圖5所示，維護前接受非完美維護次數為（0 0，0）和（2 2，2）的系統可靠度分別為0.95和0.9，可靠度的差值為0.05，所以在考慮系統可靠度的估算時，需要考慮部件接受非完美維護的次數Zij。

圖5 不同非完美維護次數下的系統可靠度

假設系統的運行狀態最低要求為1，且系統的各個部件的初始狀態均為1，一共有27種不同的維護方式使系統在任務開始前滿足最低狀態要求。因為子系統1中的兩個部件為相同的并聯部件，所以維護效果相同，除去重復的維護策略，和時間費用約束之外的維護策略，一共還有13種可行的維修策略。從表2中我們可知對系統采取L（0 2，1）的維修策略，即對部件b11不維修，對部件b12進行更換，對部件b21進行非完美維護，可使系統的靠性最優，可靠度最大為0.965。

表2 不同維護行為下的系統相關指標

4 結語

本文研究了具有多狀態部件的串并聯系統的選擇維修問題。該系統需要執行序貫任務，在任務中斷期間，對其組件進行維護。一些實際的工程系統，如港口機械、飛機發動機、重型設備機械和發電系統就是執行序貫任務和定期維修的典型例子。組件可以接受不同的維護行為，這些維護行為的級別和成功率各不相同。本文考慮了系統各部件之間的隨機相關性，并分別討論了串聯部件之間以及并聯部件之間的隨機相關性。此外，本文還考慮了部件維護前接受非完美維護的次數對非完美維護成功概率的影響并對其進行了建模。由于這種隨機不完美維護行為，系統維修后可能以一定的概率處于不同狀態，從而導致下一次任務中可靠性的不確定性。采用蒙特卡洛仿真計算了系統在下一次任務中的期望可靠性，以最大化可靠性為目標、以維修時間和費用為約束，建立了部件具有隨機相關性的串并混聯系統的選擇性維護模型。最后以港口機械系統卸船機的主起升機構為研究對象，演示了本模型并驗證了其有效性。