一種具有常力輸出特性打磨機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)

趙紀(jì)宇，丁冰曉*，李 玄，楊 磊

(1.吉首大學(xué) 物理與機(jī)電工程學(xué)院，吉首 416000;2.吉首大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，吉首 416000）

0 引言

在高精密制造領(lǐng)域，對(duì)產(chǎn)品表面進(jìn)行拋光打磨是必不可少的一道工序[1，2]，為提高表面加工的精度，在對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行打磨拋光等處理時(shí)，需要保證磨具與產(chǎn)品之間的接觸力恒定[3～5]。

為解決該問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者展開(kāi)了相關(guān)的研究。計(jì)時(shí)鳴等提出了一種通過(guò)改變或保持橡膠氣囊與模具表面的接觸力和接觸區(qū)的壓力分布來(lái)實(shí)現(xiàn)恒力控制的打磨機(jī)構(gòu)[6]；段繼豪等提出了一種通過(guò)高精度位移傳感器和力傳感器實(shí)現(xiàn)恒力控制的力控執(zhí)行器[7]；Abd El Khalick Mohammad和Hong等利用音圈電機(jī)和力傳感器對(duì)軸向力進(jìn)行控制和補(bǔ)償從而保持接觸力的恒定[8]；Erlbacher等以重力信號(hào)和壓力信號(hào)作為反饋信號(hào)，結(jié)合所測(cè)姿態(tài)和接觸力信息，利用氣缸實(shí)現(xiàn)接觸力的精確控制[9]；Tang等使用球鉸軸承、主軸、平衡彈簧、緩沖彈簧和連接法蘭等設(shè)計(jì)了一種多自由度柔性終端執(zhí)行器，其中平衡彈簧使打磨頭在彈性變化范圍內(nèi)作偏轉(zhuǎn)微動(dòng)，而緩沖彈簧保證了打磨頭與工件之間的接觸力在某一恒定范圍內(nèi)變化[10]。

針對(duì)恒力控制裝置成本高、結(jié)構(gòu)復(fù)雜和力控精度較低等不足，本文以柔順常力機(jī)構(gòu)作為恒力控制裝置，設(shè)計(jì)了一種具有常力輸出特性的打磨機(jī)構(gòu)。首先基于正負(fù)剛度并聯(lián)形式，設(shè)計(jì)了常力機(jī)構(gòu)整體；其次分析并計(jì)算了常力機(jī)構(gòu)的整體剛度，然后使用ANSYS Workbench對(duì)常力機(jī)構(gòu)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明理論模型與有限元模型誤差較小，最后利用PSO對(duì)常力機(jī)構(gòu)的主要參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，改善了機(jī)構(gòu)的常力范圍和線性度，滿足打磨過(guò)程中恒力控制的要求。

1 常力打磨機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)

常力機(jī)構(gòu)是依靠結(jié)構(gòu)本身的特性能在一定變形范圍內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)恒定輸出力的機(jī)構(gòu)，屬于被動(dòng)恒力系統(tǒng)。相較于主動(dòng)恒力系統(tǒng)，常力機(jī)構(gòu)可以減少傳感器的使用，不需要復(fù)雜的控制系統(tǒng)，降低了成本[11]。同時(shí)采用具有無(wú)摩擦、無(wú)間隙和無(wú)需裝配等特點(diǎn)的柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)本體，有利于整體結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化、降低機(jī)構(gòu)裝配復(fù)雜性和提高常力輸出的平整性。

所設(shè)計(jì)打磨機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由連接法蘭、音圈電機(jī)、常力機(jī)構(gòu)和打磨頭組成，音圈電機(jī)工作時(shí)，通過(guò)推動(dòng)桿使常力機(jī)構(gòu)帶動(dòng)打磨頭運(yùn)動(dòng)。由于常力輸出特性，打磨頭工作過(guò)程中能在一定運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)保持與被打磨工件之間的恒力接觸，從而完成對(duì)產(chǎn)品的精密打磨和拋光。

圖1 具有常力輸出特性的打磨機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

常力輸出通常采用正負(fù)剛度彈簧并聯(lián)的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)，且機(jī)構(gòu)的常力特性主要取決于所組成正、負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的力學(xué)特性[12]。為增大機(jī)構(gòu)常力范圍，設(shè)計(jì)了新型折疊梁正剛度機(jī)構(gòu)，與傳統(tǒng)的對(duì)稱直梁結(jié)構(gòu)相比，折疊梁機(jī)構(gòu)能在較大范圍內(nèi)保持力與位移的線性特性，能充分利用雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的負(fù)剛度區(qū)域[13]，兩者性能比較如圖2所示。負(fù)剛度機(jī)構(gòu)采用具有屈曲特性的柔性雙穩(wěn)態(tài)

圖2 兩種正剛度機(jī)構(gòu)的比較

根據(jù)剛度K的定義可知：

其中K為組合機(jī)構(gòu)的剛度，有K=KP+KN，其中KP，KN分別為機(jī)構(gòu)的正負(fù)剛度。當(dāng)有KP+KN=0時(shí)，組合機(jī)構(gòu)的剛度為零，其原理如圖3所示。

圖3 剛度組合常力機(jī)構(gòu)原理

2 常力機(jī)構(gòu)的建模與分析

常力機(jī)構(gòu)整體由三根支鏈和中心柱組成，支鏈包括一組雙穩(wěn)態(tài)梁和一個(gè)折疊機(jī)構(gòu)，支鏈之間呈120度角，考慮到支鏈結(jié)構(gòu)相同性，選取任一根支鏈進(jìn)行分析。

2.1 雙穩(wěn)態(tài)梁剛度模型

雙穩(wěn)態(tài)梁的屈曲變形如圖4所示，當(dāng)雙穩(wěn)態(tài)梁受到力Fn作用時(shí)，會(huì)出現(xiàn)屈曲行為并發(fā)生變形，圖中L為梁的長(zhǎng)度，θ表示梁與水平面的夾角，Δx為雙穩(wěn)態(tài)梁受到Fn作用而產(chǎn)生的位移。

圖4 雙穩(wěn)態(tài)梁機(jī)構(gòu)的屈曲變形

當(dāng)雙穩(wěn)態(tài)梁所受的力Fn超過(guò)材料第一階段的屈曲模態(tài)臨界力時(shí)，導(dǎo)向梁第i個(gè)臨界點(diǎn)的屈曲力可寫(xiě)為[14]：

其中，λn=π，4.44932π...n=1，2，3...。

雙穩(wěn)態(tài)梁的負(fù)剛度公式可用下式表示：

式(3)中，E為材料的彈性模量，I=bd3/12為導(dǎo)向梁的截面慣性矩，d是梁的厚度，b是梁的寬度。

依據(jù)式(3)、式(4)，該雙穩(wěn)態(tài)梁的力與位移關(guān)系表達(dá)式為：

式(4)中，S=b·d是導(dǎo)向梁的橫截面積。

2.2 折疊梁剛度模型

折疊梁的總變形可由各段梁的變形疊加來(lái)獲得，在研究上一段梁的變形時(shí)，不考慮后面梁的變形，將變形梁所產(chǎn)生的位移視為剛性的；在研究后一段梁的變形時(shí)，將自身的變形所產(chǎn)生的位移與已變形梁的剛性位移進(jìn)行疊加，從而得到后一段梁的總位移。

折疊梁的變形如圖5所示，圖中LS1、LS3和LS5分別為各段梁的長(zhǎng)度，Δx為折疊梁受到Fn作用而產(chǎn)生的位移。

圖5 折疊梁的受力分解圖

在受力過(guò)程中，折疊梁可被分為ab、cd、ef三根梁，根據(jù)疊加原理可知折疊梁剛度k2可以表示為[15]：

ab、cd、ef三根梁可以看作在集中荷載作用2Fn下的半固定梁模型，如圖6所示。

圖6 梁模型

在圖6(a)中，固定梁的長(zhǎng)度為2Lsi，梁的中間受到一個(gè)向下的集中載荷2Fn，在2Fn的作用下，梁的最大變形量為δmax。如果將固定梁從中間斷開(kāi)，則可以形成一段如圖6(b)所示的半固定梁。

半固定梁在固定端所受到的彎矩為：

所受到的剪切力為：

其受到的軸向力相對(duì)剪切力和彎矩過(guò)小，因此忽略不計(jì)。

在半固定梁中，最大位移δmax由彎矩M0所產(chǎn)生的位移δM0和剪切力RS產(chǎn)生的位移δS共同組成，即：

根據(jù)胡克定律可得：

對(duì)于固定梁，由于彎矩而產(chǎn)生的最大撓度出現(xiàn)在梁的中間，可得：

因此，固定梁的彎矩引起的剛度常數(shù)可表示為：

其中，Lsi為半固定梁的長(zhǎng)度。對(duì)于半固定梁，由彎矩引起的剛度常數(shù)為固定梁的一半。因此，由彎矩引起的半固定梁的剛度常數(shù)為：

對(duì)于半固定梁，由于剪切力而產(chǎn)生的最大撓度為：

其中，G為剪切模量，G=E/2(1+μ)，μ為泊松比，A為梁橫截面的面積，根據(jù)已知條件，F(xiàn)s=Fn/2。可得：

剛度常數(shù)為：

所以ab、cd、ef三根梁的剛度為：

將式(17)代入式(6)中可得：

以Δx為輸入位移，聯(lián)立上式可得常力機(jī)構(gòu)輸出力與輸入位移的關(guān)系為：

3 有限元分析

本文采用ANSYS Workbench驗(yàn)證機(jī)構(gòu)理論分析的正確性，機(jī)構(gòu)使用的材料為Al7075-T6 SN，其楊氏模量為71GPa，泊松比為0.33，密度為2810Kg/m3，常力機(jī)構(gòu)的給定尺寸如表1所示。

表1 常力機(jī)構(gòu)的尺寸

3.1 正、負(fù)剛度仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證理論分析的正確性，采用ANSYS Workbench進(jìn)行仿真驗(yàn)證，對(duì)雙穩(wěn)態(tài)梁和折疊梁一端施加固定約束，采用solid186單元。設(shè)輸入的位移在[0～6]mm范圍內(nèi)變化，其理論值和仿真結(jié)果比較分別如圖7(a)和圖(b)所示，可知兩者結(jié)果比較接近，雙穩(wěn)態(tài)梁在[2～5.1]mm內(nèi)出現(xiàn)負(fù)剛度，且具較好的線性度。

圖7 力與位移關(guān)系比

3.2 常力機(jī)構(gòu)仿真

為驗(yàn)證機(jī)構(gòu)的常力特性，將機(jī)構(gòu)的3端分別固定，對(duì)中心柱施加位移，使其在[0～6]mm內(nèi)變化，仿真值和理論值所對(duì)應(yīng)的力-位移關(guān)系如圖8所示。

圖8 力機(jī)構(gòu)的力-位移關(guān)系

由圖8可知，仿真結(jié)果和理論值較為接近，且機(jī)構(gòu)在[2.5～4.2]mm內(nèi)保持常力特性，其力大小為785N。但在此范圍內(nèi)常力平整度較差，且常力值較大，不適合應(yīng)用需求，需對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，使其在規(guī)定常力范圍內(nèi)力的波動(dòng)較小。

4 常力機(jī)構(gòu)的優(yōu)化

根據(jù)對(duì)常力機(jī)構(gòu)的分析，推導(dǎo)了機(jī)構(gòu)力與位移之間的關(guān)系，得到了機(jī)構(gòu)常力的大小和范圍與折疊梁和雙穩(wěn)態(tài)梁的參數(shù)有關(guān)，選取Ls1、Ls3、Ls5、b、d、L、θ，7個(gè)參數(shù)為優(yōu)化變量。優(yōu)化的目的是使機(jī)構(gòu)的輸出力在給定區(qū)間內(nèi)保持恒定，即在給定的區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取值，各值之間波動(dòng)很小時(shí)滿足條件，為提高優(yōu)化精度選擇如下表達(dá)式作為目標(biāo)函數(shù)。

其中，σ表示均方差，F(xiàn)X表示給定區(qū)間內(nèi)隨機(jī)提取的任意力值，μ為區(qū)間范圍內(nèi)力的平均值。當(dāng)均方差的值較小時(shí)，則表示隨機(jī)提取的力與其平均值之間的波動(dòng)較小，即各個(gè)隨機(jī)點(diǎn)處提取的力值相對(duì)接近。

根據(jù)上文的受力分析，優(yōu)化函數(shù)的約束條件為：

文章選用PSO來(lái)對(duì)尋找各個(gè)參數(shù)的最優(yōu)解，首先隨機(jī)選取位移位于2mm到4mm區(qū)間內(nèi)的100個(gè)點(diǎn)的力作為樣本，從而得出所取數(shù)據(jù)的平均值和均方差，其次將粒子數(shù)選為20，最后設(shè)置最大迭代數(shù)為200，如果粒子迭代到最大迭代次數(shù)時(shí)搜索到最優(yōu)值則停止運(yùn)行，反之則重新運(yùn)行。結(jié)果多次優(yōu)化后，得到了一組最優(yōu)化參數(shù)和優(yōu)化迭代圖像，如圖9所示，在對(duì)其進(jìn)行圓整后如表2所示。

圖9 優(yōu)化迭代圖像

表2 優(yōu)化后常力機(jī)構(gòu)的尺寸

將優(yōu)化后的數(shù)據(jù)代入MATLAB中可以得到常力機(jī)構(gòu)的力與位移圖像，如圖10所示。

圖10 優(yōu)化后常力機(jī)構(gòu)的力-位移關(guān)系

由圖10可知，在輸入位移在2mm到4mm的范圍內(nèi)時(shí)，恒力值為120N，常力機(jī)構(gòu)的力-位移圖像近似為一條水平線，其中最大值F2為123.62N，最小值F1為120.15N，平整度為97.17%，與圖8相比，常力的范圍增大了0.5mm同時(shí)機(jī)構(gòu)線性度有著較大的提升。

5 結(jié)語(yǔ)

為滿足打磨拋光過(guò)程中對(duì)恒力控制的需求，本文提出了一種基于正負(fù)剛度組合的具有常力特性的打磨機(jī)構(gòu)。常力機(jī)構(gòu)分別采用折疊梁和雙穩(wěn)態(tài)梁作正負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，采用偽剛體模型建立了常力機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)ANSYS Workbench驗(yàn)證了理論分析的正確性。最后利用粒子群算法對(duì)常力機(jī)構(gòu)的平整度進(jìn)行了優(yōu)化，結(jié)果顯示優(yōu)化后的常力機(jī)構(gòu)平整度和常力范圍有了較大的提升，本文所提出并優(yōu)化的常力機(jī)構(gòu)能夠較好的滿足精密加工中對(duì)恒力控制的需求。