三相感應電機定子端部漏感計算方法的對比分析

陳 磊,袁 德

(海裝廣州局，廣東 廣州 510320)

0 引 言

定子端部漏感是定子漏感參數的重要組成部分[1-2]，準確的端部漏感計算是電機過渡過程分析和高性能電機控制的關鍵[3]。目前計算電機定子端部漏感的方法已經較為成熟。

在傳統(tǒng)電機設計中，一般采用經驗公式計算端部漏感[4-5]。由于經驗公式中含有大量簡化使計算精度較低，當繞組端部形狀不一樣時需重新調整修正系數，給計算帶來不便。文獻[6]通過推導電機內電磁場方程計算端部漏感，但是電機內電磁場的推導較為復雜，當繞組端部形狀復雜時難以求出相應的解析解。隨著計算能力的提升，基于數值計算[7-15]的端部漏感計算方法得到廣泛應用。文獻[10]建立電機三維有限元模型，并基于能量法和端部磁鏈計算電機定子端部漏感，然而有限元三維建模繁瑣且計算時間成本較大，不利于電機優(yōu)化設計階段；文獻[11-13]采用基于Boit-Savart定理的離散積分法計算端部漏感，引入氣隙電流和鏡像電流等效氣隙和鐵心對端部漏磁場的影響，并將端部繞組分為若干小段，以每小段為數值計算單元，通過離散積分得到端部漏感；文獻[14-15]采用基于矢量磁位的離散積分方法計算端部漏感，相比于基于Boit-Savart定理的計算法，基于矢量磁位的計算法不再受磁通面形狀的影響，使繞組的空間建模更為靈活，且能考慮傾角和喇叭口等情況。

電機定子繞組端部類型較多，當采用不同的方法計算端部漏感時，由于方法本身存在差異導致計算誤差也不同，需根據端部漏感計算方法特性以及繞組端部形狀選擇適用的計算方法，而目前還鮮有文獻對不同端部漏感計算方法的適用范圍進行研究。本文以喇叭口形、半橢圓形以及半矩形端部繞組為算例，采用能量法、Boit-Savart定理、矢量磁位的端部漏感計算方法對3種不同形狀端部的漏感進行計算并將計算結果與試驗測試結果進行比較，分析得出3種端部漏感計算方法的適用范圍。

1 基于能量法的定子端部漏感計算

在三相感應電機中，端部漏磁場能量可以表示為

MendABIBIA+MendACICIA+MendBCICIB

(1)

式中：LendA、LendB、LendC分別為A相、B相、C相的繞組端部自感；MendAB、MendBC、MendCA分別為A相和B相、B相和C相、C相和A相的繞組端部互感；IA、IB、IC為三相電流幅值。

根據三相旋轉感應電機的對稱性有：

(2)

假設三相電流對稱，那么可將式(1)進一步改寫為

(3)

令L-M=Lend為某一相繞組的端部漏感，對式(3)進行變換可得端部漏感為

(4)

式中:Wend為電機端部磁場總能量；IA為繞組電流幅值。

端部磁場的總能量可利用Maxwell有限元仿真軟件計算得出。在電機端部設置圓柱形求解域，如圖1所示。求解域的磁場能量為

圖1 端部磁場能量的求解域

(5)

通過Maxwell有限元仿真軟件中場計算器對磁場能求解域內的能量進行積分即可得到端部磁場的總能量，再根據式(4)計算得到端部漏感。

2 基于Boit-Savart定理的定子端部漏感計算

2.1 繞組端部計算模型的建立

不同端部的繞組漏感計算模型如圖2～圖4所示。引入氣隙電流和鏡像電流將模型進行等效。為計及鐵心內部線圈直線部分電流對端部磁場的影響，在定子槽中引入線圈直線部分電流的鏡像電流。

圖2 喇叭口形端部漏感的計算模型

圖3 半橢圓形端部漏感的計算模型

圖4 半矩形端部漏感的計算模型

在圖2～圖4中，各繞組端部的計算模型可分為7大部分，其中第1部分為端部電流，第2部分為端部電流的鏡像電流，第3～5部分為氣隙電流，第6、7部分為定子槽內直線段鏡像電流，其中各段電流的取值為

(6)

式中：i1m為1號線圈m段電流；N為線圈匝數；p為極對數；i為線圈電流幅值；β為短距比。

為增加端部漏感計算精度需充分考慮端部電流的空間分布。將繞組端部中各段電流分為若干小段，如將第m段電流分為n小段，每小段電流可用下標mn表示，并以每小段電流作為計算單元，采用Boit-Savart定理計算1號線圈每小段電流在2號線圈內產生的磁鏈。

在計算2號線圈內的磁鏈時，需選取2號線圈端部的磁通面并對其進行剖分，當繞組端部的磁通面形狀較為復雜時會采用近似面來等效原磁通面。以喇叭口形端部為例，由于繞組為雙層繞組，上層邊和下層邊不在同一圓內，為簡化計算選取位于上層邊和下層邊之間的中層面進行磁通計算，如圖5所示。

圖5 喇叭口形線圈端部中層面

由于繞組圓弧部分存在傾角，半橢圓形端部繞組磁通面不在同一柱面內。為簡化計算，對磁通面進行分塊，如圖6所示。磁通面1為平面矩形磁通面，磁通面2為平面半橢圓形磁通面。磁通面2的外輪廓與繞組圓弧段導體內表面重合。

圖6 半橢圓形繞組端部的磁通面

由于半矩形繞組端部沒有傾角，且繞組端部圓弧段的圓心與電機圓心相近，可建立如圖7所示的磁通面。

圖7 半矩形繞組端部的磁通面

2.2 各相端部漏感的計算

根據Biot-Savart定理，線圈1端部P1mn段在2號線圈Q2v點處產生的磁感應強度為

(7)

式中：μ0為空氣磁導率；i1m為線圈端部m段的電流幅值；lP1mn為線圈端部P1mn段的長度矢量；r2v1mn為1號線圈P1mn段中點到點Q2v的距離矢量。

1號線圈P1mn段在2號線圈端部磁通面上產生的平均磁感應強度為

(8)

式中：K為2號線圈端部磁通面上所有的剖分點；n2v為Q2v點的單位法向量。

1號線圈與2號線圈的端部互感為

(9)

式中：S2為線圈2磁通面面積；Nm為m段電流的總數；Nn為每m大段電流所分段數。

在得到各個端部線圈的自感和互感后，需通過關聯(lián)矩陣計算各相端部漏感。以18槽、1對極的三相感應電機為例，每個槽內均有上下2層線圈邊，因此關聯(lián)矩陣C的大小為6×18。其中矩陣每行分別對應A相繞組的上層邊、A相繞組的下層邊、B相繞組的上層邊、B相繞組的下層邊、C相繞組的上層邊、C相繞組的下層邊。把每槽線圈當成一條支路，每相繞組當成一個回路，并規(guī)定電流的正方向，再根據繞組連接關系，確定關聯(lián)矩陣中各元素的值。當回路電流與支路電流相同時元素取值為1，相反時取值為-1，不相關時取值為0。

以電機的A相繞組為例，其繞組連接如圖8所示，實線代表上層邊，虛線代表下層邊，采用短距的連接方式，并規(guī)定電流向上為正方向。

圖8 A相繞組連接圖

根據圖8的連接方式以及電流正方向可以寫出A相繞組的關聯(lián)矩陣式(10)，其中矩陣的第一行對應A相繞組的上層邊，第二行對應A相繞組的下層邊；由于1號槽上層邊電流方向為正，所以第一行第一列為1，矩陣中其他位置的參數同理。

(10)

得到各線圈之間的互感矩陣Mend和關聯(lián)矩陣C后，各相端部漏感的計算公式為

(11)

式中：u和v的取值為1、2、3，且分別對應A、B、C相；Z為線圈總數；a為繞組并聯(lián)支路數。

3 基于矢量磁位的定子端部漏感計算

3.1 繞組端部計算模型的建立

基于矢量磁位計算法的不同繞組端部漏感計算模型如圖9～圖11所示。利用鏡像電流和氣隙電流來等效鐵心和氣隙對端部磁場的影響，并將各段電流進行分段，分段方法以及各段電流取值與2.1節(jié)的方法相同，并確定各小段電流的空間坐標。

圖9 喇叭口形端部漏感的計算模型

圖10 半橢圓形端部漏感的計算模型

圖11 半矩形端部漏感的計算模型

需確定2號線圈矢量磁位的積分路徑。以喇叭口形繞組為例，圖12所示為計算線圈端部磁通的積分路徑，積分路徑經過導體中心，再由端部h點以直線連接到另一端部a點，其中h點和a點為鐵心端面與繞組的交點。2號線圈電流段的劃分與1號線圈端部電流段的劃分相似，分為8大段，分別為ab、bc、cd、de、ef、fg、gh、ha。最后將每段電流劃分為n小段電流，并以每小段電流作為數值計算基本單元。

圖12 繞組端部矢量磁位積分路徑

基于矢量磁位的計算法不再受磁通面的限制，在沿線圈導體的一維空間上取點即可。但值得注意的是，在利用矢量磁位法計算繞組端部自感時，電流路徑與積分路徑重合，導致rQ2xyP1mn為0。根據式(13)，rQ2xyP1mn作為分母不能為0，因此需要重新選取積分路徑。考慮繞組導體形狀，選取導條內側為新積分路徑，圖13所示為計算線圈端部自感的新積分路徑。

圖13 計算線圈端部自感的新積分路徑

3.2 各相端部漏感

電流在空間中任意一點產生的矢量磁位可由下式計算得出：

(12)

那么1號線圈P1mn段電流在2號線圈Q2xy段處產生的矢量磁位為

(13)

式中：lP1mn為1號線圈P1mn段處的長度矢量；rQ2xyP1mn為1號線圈P1mn段中點到2號線圈Q2xy段中點的空間距離。

根據式(13)，1號線圈電流在2號線圈Q2xy處產生的矢量磁位為

(14)

根據Stokes原理，矢量磁位A在任意閉合回路上的矢量積分等于閉合回路所包圍曲面的磁通量，即

(15)

根據式(15)，將2號線圈上矢量磁位沿積分路徑離散積分得到1號線圈電流在2號線圈端部產生的磁鏈為

(16)

式中：Ny為2號線圈電流段的總數；Nx為每y段電流所分小段電流總數；lQ2mn為2號線圈Q2mn處的長度矢量。

根據磁鏈表達式式(16)，1、2號線圈端部漏感為

(17)

式中：i1為1號線圈的電流。

計算得到各線圈端部漏感后，通過關聯(lián)矩陣和式(11)對各相漏感進行計算。

4 不同形狀繞組端部漏感計算及試驗驗證

選取3臺繞組端部形狀分別為喇叭口形、半橢圓形以及半矩形的電機為試驗對象，3臺電機的端部繞組形狀如圖14所示。

圖14 不同繞組端部形狀的樣機

試驗所用喇叭口形端部繞組的電機為六相感應電機，為方便對比將1Y繞組和2Y繞組串聯(lián)變?yōu)槿喔袘姍C；半橢圓形端部繞組電機為普通的三相繞線型電機；半矩形端部繞組樣機為大功率推進電機的縮比樣機。

3臺電機的基本參數以及繞組端部的形狀參數如表1所示。

表1 電機基本參數

由于繞組端部漏感難以采用試驗直接測量，參考文獻[16]的方法對端部漏感進行測量。

分別利用能量法、基于Boit-Savart定理的計算法和基于矢量磁位的計算法對喇叭口形、半橢圓形以及半矩形端部繞組電機的端部漏感進行計算。計算及試驗測量結果如表2所示。

表2 端部漏感計算及試驗測量結果 mH

對比表2的結果，可以看出：喇叭口形繞組端部漏感，采用矢量磁位計算的結果與試驗測試結果最為接近；半橢圓形繞組端部漏感，采用能量法計算的結果與試驗測試結果最為接近；半矩形繞組端部漏感，采用基于Boit-Savart定理的計算結果和矢量磁位的計算結果均與試驗測試結果相近。

結合表2的對比結果以及3種端部漏感計算方法的特性，總結如下。

(1) 喇叭口形繞組端部漏感宜采用矢量磁位法計算。基于矢量磁位的計算法能夠計及喇叭口處的磁通量和斜邊部分傾角，計算精度較高且計算速率較快；能量法能夠考慮到喇叭口處磁通量以及斜邊傾角，但計算誤差較大，其原因在于求解域內不僅有端部繞組產生的磁場，還有其他部件產生的漏磁；基于Boit-Savart定理的計算法需對繞組端部的磁通面進行剖分，如果磁通面的形狀過于復雜會使建模難度增加，對于喇叭口形則是采用中層面進行簡化，簡化后無法計及喇叭口處磁通量以及斜邊傾角，導致精度不及矢量磁位法。

(2) 半橢圓形繞組端部漏感的計算宜采用能量法。半橢圓形繞組的端部具有傾角且繞組端部的圓弧段不規(guī)則，其空間坐標及磁通面建模較為復雜，為方便計算在建模時會進行一定簡化，使誤差增大，因此基于Boit-Savart定理的計算法和基于矢量磁位的計算法不適用。

(3) 半矩形繞組端部漏感的計算宜采用基于Boit-Savart定理或基于矢量磁位的計算法。由于半矩形繞組端部結構較為簡單，其圓弧段一般與電機同心，磁通面的建立以及繞組端部一維坐標的選取均比較容易，宜采用比能量法精度更高的Boit-Savart計算法或矢量磁位計算法。

5 結 語

本文以喇叭口形、半橢圓形以及半矩形端部繞組為例，采用能量法、Boit-Savart定理、矢量磁位的端部漏感計算方法對3種不同形狀端部的漏感進行計算，并將計算結果與試驗測試結果進行比較，分析得出3種端部漏感計算方法的適用范圍。

總結得出，當繞組端部不存在傾角且磁通面外輪廓規(guī)則時，可利用Boit-Savart計算法或矢量磁位計算法；當繞組端部存在傾角且繞組端部一維坐標的選取均比較容易時，宜采用矢量磁位計算法；當繞組端部不規(guī)則，建模較為困難時，宜采用能量法。