直線同步電動機磁懸浮系統區間二型模糊控制的研究*

張 萌,藍益鵬

(沈陽工業大學 電氣工程學院，遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

數控機床直線同步電動機磁懸浮驅動系統憑借其高精度、高效率、無摩擦以及無需潤滑等優點受到廣泛關注[1]。可控勵磁直線同步電動機(CELSM)磁懸浮驅動系統結構簡單，但在驅動過程中，不確定的外部影響因素，比如負載擾動及直線電動機中特有的端部效應，會影響系統控制。同時其復雜的數學模型也不利于對系統實現穩定的控制。故選取合適的控制策略來改善CELSM磁懸浮驅動系統的性能尤為重要。

在常見的控制策略中，PI控制器應用廣泛[2]，但其對數學模型復雜的磁懸浮系統無法精準控制。魯棒控制作為現代控制策略之一，可應用于磁懸浮系統，使得系統穩定運行[3]。神經網絡控制在處理磁懸浮系統時也具有良好的控制效果[4]。模糊控制因無需具體數學模型、有助于解決復雜系統的非線性問題而受到歡迎[5]。文獻[6]便將模糊控制應用于磁懸浮系統中，有效地提高了系統的性能。但模糊控制規則一般源于研究人員的總結，對不同的個體不可避免地存在差異性，無法達到完善合理，故傳統的模糊控制在處理非線性和外部干擾較強的復雜系統時存在局限性。為了改進傳統模糊控制的不足，二型模糊集(T2FS)被提出，其隸屬度為一型模糊集，這使得模糊控制在處理系統不確定問題時有了進步[7]。隨著研究對象逐漸變得復雜，二型模糊控制的計算過程也變得緩慢。為了提高運算速度，研究人員定義了區間二型模糊集(IT2FS)，其次隸屬度函數值恒為1。自此區間二型模糊邏輯系統得到了較快發展，不少學者將其應用于控制研究中，取得了豐碩成果[8]。文獻[9]中研究人員在研究移動機器人時，采用了區間二型模糊邏輯進行控制，研究表明，在面臨擾動和參數不確定性問題時，此控制器表現優異，魯棒性好。Huang等[10]在研究移動兩輪倒立擺的自主運動問題時，同樣構建了區間二型模糊控制器，驗證表明，區間二型模糊控制能夠更好地應對建模的不確定性。

綜上所述，區間二型模糊控制策略適于處理具有非線性和不確定性的系統，且控制效果優異。本文依據區間二型模糊邏輯系統的構成及其運算步驟，選取合適的輸入變量、規則庫、推理方式、降階解模糊算法，設計區間二型模糊控制器，用于控制CELSM磁懸浮驅動系統。仿真驗證表明此控制器能明顯提高系統的起動性能及抗干擾能力。

1 直線同步電動機控制原理及數學模型

1.1 CELSM磁懸浮系統結構

直線同步電動機磁懸浮系統主要由CELSM、運動平臺、輔助導軌等部分組成，其結構如圖1所示。其中運動平臺上裝有電樞繞組和動子鐵心，輔助導軌及裝有勵磁繞組的定子鐵心則安裝在平臺基座上。

圖1 磁懸浮系統結構

1.2 CELSM磁懸浮系統的控制原理

要實現對系統的穩定控制需要一懸浮力與平臺重力平衡。因此，對電動機勵磁繞組施加直流電，此時氣隙中的勵磁磁場與動子鐵心作用，便可產生懸浮力，此力可通過調節勵磁電流大小而改變。故勵磁電流為直線同步電動機磁懸浮系統的主要控制對象。此外，平臺沿水平方向運動，需要一水平推力。對電樞繞組施加三相交流電，產生的行波磁場與勵磁磁場作用，可產生此電磁推力[11]。

1.3 CELSM磁懸浮系統的數學模型

為了簡化系統的數學模型，假設如下條件：忽略端部效應及鐵心飽和，不計鐵心損耗且磁極無阻尼繞組，并以三相正弦對稱交流電通入電樞繞組[12]。可得電樞繞組在d、q軸的電壓分量ud、uq及勵磁回路的電壓uf：

(1)

式中：id、iq為電樞繞組在d、q軸的電流分量；if為勵磁電流；rs、rf為電樞繞組、勵磁繞組的電阻值；τ為極距；v為電機運行速度；ψd、ψq為d、q軸磁鏈；ψf為磁極磁鏈分量。

各磁鏈的表達式為

(2)

式中：Lmd、Lmq為d、q軸主電感；Lσ、Lσf為電樞繞組、勵磁繞組的漏感。

采用id=0的控制方式，削弱電動機的耦合現象，此時id對懸浮力的影響即可忽略，得懸浮力方程：

(3)

式中：δ為磁懸浮氣隙高度。

(4)

電動機d軸電樞反應電抗為

(5)

式中：μ0為真空磁導率；f為電源供電頻率；m為動子及平臺質量和；N、kw1分別為動子繞組每相串聯匝數及基波系數；p為極對數；bE為動子鐵心有效寬度；Kd為d軸電樞反應系數；δeff為有效氣隙,

δeff=Kcδ

(6)

式中：Kc為卡特系數。

整理得：

(7)

式中：K為磁懸浮系數，其取值為5.659×10-6。

懸浮運動方程為

(8)

式中：g為重力加速度；fy為垂直方向擾動分量。

將懸浮力中的擾動項與fy視為垂直方向的總擾動，有：

(9)

其中：|f1|≤D，D是擾動上界且為大于零的常數。

(10)

2 區間二型模糊控制器的設計

2.1 區間二型模糊系統

Jx?[0,1]

(11)

(12)

式中：Jx?[0,1]為主隸屬度；u為主隸屬度值。

(13)

區間二型模糊集也可用圖2表示。

圖2 區間二型模糊集合

UMF、LMF均為一型模糊集合，分別定義二者為上、下隸屬度函數。不確定覆蓋域FOU為以UMF和LMF為上下邊界圍成的區域，可用公式表示為

(14)

(15)

正是FOU的存在增加了區間二型模糊集合主隸屬度的不確定性[14]，使得區間二型模糊控制器在處理系統不確定性問題時多了一個自由度。

以區間二型模糊集合為基礎構成的模糊系統即區間二型模糊邏輯系統。系統包括模糊器(將輸入模糊化)、模糊規則庫、推理機、降階器及解模糊五個模塊，如圖3所示。

圖3 區間二型模糊邏輯系統

首先，系統輸入的精確數值需要模糊器將其轉換為模糊變量輸入，模糊輸入經過模糊規則庫在推理機中進行模糊推理運算，得到系統的輸出。與一型模糊系統不同，此時系統的輸出為二型模糊集合，故需要經過降階器使輸出降為一型模糊集合，最后要得到系統精確的輸出只需進行解模糊即可[15]。

2.2 區間二型模糊器的設計

本文以區間二型模糊邏輯系統為基礎設計模糊控制器。

控制器以磁懸浮平臺氣隙高度的誤差e及其變化率ec為輸入x1、x2，控制量y為控制輸出u，即：

(16)

式中：δ*為磁懸浮系統懸浮給定高度；δ為實際懸浮高度。

輸入精確值e、ec，經過模糊器，轉換為論域范圍[-1,1]的模糊變量E、EC。

為了提高控制速度，簡化模糊控制規則，將E、EC均劃分為三個模糊語言變量：N(負)、Z(零)、P(正)。

通過仿真，發現應用三角形隸屬度函數的控制系統，響應速度較快且控制效果較好，故選其為輸入隸屬度函數定義模糊語言變量，如圖4所示。圖4中NU、ZU、PU分別為N、Z、P的上隸屬度函數，NL、ZL、PL分別為N、Z、P的下隸屬度函數。

圖4 輸入隸屬度函數

對于輸出變量，其論域也選為[-1,1]，并定義其語言變量為NB(負大)、NM(負小)、Z(零)、PM(正小)、PB(正大)。為提高計算速度，定義其為單值參數，有：NB=-1，NM=-0.5，Z=0，PM=0.5，PB=1。

在模糊控制器規則庫中，有N條規則的控制器，規則形式如下：

thenyisYn,n=1,2,3,…,N

(17)

由輸入的3個模糊語言變量及研究人員總結的經驗，構建出含有3×3=9條模糊規則的規則庫，如表1所示，即N=9。

表1 區間二型模糊規則庫

已知輸入、輸出變量定義參數及模糊規則后，可進行模糊推理。

(18)

Fn(x)=

(19)

(20)

(21)

式中：yn為第n條規則的輸出。

根據以上步驟，可得模糊控制面三維圖，如圖5所示，它表明了控制器輸入-輸出的所有信息。對于兩個輸入的每個可能值，都能得到基于規則的相應輸出。

圖5 模糊控制面三維圖

3 仿真研究

區間二型模糊控制系統結構如圖6所示。系統采用了區間二型模糊控制器作為位置環控制器，電流內環則用PI控制。

圖6 系統控制框圖

區間二型模糊控制器具體結構如圖7所示。

圖7 區間二型模糊控制器結構圖

根據圖6和圖7，在MATLAB/Simulink中搭建模型，分三種情況對系統進行仿真，并與PI控制及一型模糊(T1F)控制的系統進行對比。

在仿真過程中，電動機仿真參數：電樞電阻Rs=1.2 Ω，d、q軸電感Ld=Lq=0.018 74 H，極對數p=3，if=5.7 A，Lmd=0.095 H，τ=0.048 m，m=10 kg。

區間二型模糊控制器參數通過仿真測試，得到最佳參數為：ka=1，kb=20，α=60，β=14 500。

以下給出系統的計算機仿真分析。待平臺加工完成后再進行試驗驗證。

(1) 分析CELSM磁懸浮系統的起動性能。系統初始氣隙高度3 mm，運行到達目標高度2.5 mm。圖8為磁懸浮氣隙高度響應曲線。為方便描述，以下用IT2F表示區間二型模糊控制。

圖8 磁懸浮氣隙高度響應曲線

由圖8可知，PI控制的系統，約0.242 s到達目標高度，調節時間較長；T1F控制器控制的系統，調節時間減少，約0.153 s到達2.5 mm；而IT2F控制的系統，約0.084 s到達目標高度，到達穩定所需的時間最短，響應時間比前兩種控制方法分別縮短了45.1%和65.3%。結果表明，采用IT2F控制的系統響應時間最短，起動性能最優越。

(2) 分析CELSM磁懸浮系統對突加負載擾動的抑制能力：采用f=10 N的階躍信號模擬負載擾動，當系統運行到0.3 s時加入該信號，并于0.6 s去除該信號。圖9所示為加入負載擾動后的氣隙高度響應曲線。

圖9 突加負載后氣隙高度響應曲線

分析可知，采用PI控制的系統，在突加擾動后，氣隙高度降落約0.047 mm，恢復到2.5 mm約需要0.243 s，系統降落幅度大，恢復時間長。采用T1F控制的系統，在受到負載擾動后動態降落約0.025 mm，恢復時間約需0.146 s，系統降落幅度減小且恢復時間變短。采用IT2F控制的系統，受到負載擾動的影響后，氣隙高度降落約0.011 mm，恢復到穩定約需0.043 s，所需時間最短，受擾動影響最小，與前兩者相比動態降落分別減少了76.6%和56.0%，恢復時間縮短了82.3%和70.5%。可見IT2F控制系統對外界擾動不靈敏，有著良好的抗干擾能力。

圖10為突加負載擾動后的勵磁電流響應曲線。

圖10 勵磁電流響應曲線

由圖10可知，采用PI控制及T1F控制時，超調量分別約為2.26%及1.54%，恢復時間分別約為0.45 s及0.41 s；與前兩者對比，IT2F控制的系統，超調量減少，約為1.35%，恢復時間也變短，約為0.30 s。說明采用IT2F控制的系統抑制擾動能力強。

(3) 分析CELSM磁懸浮系統對端部效應擾動的抑制能力：采用正弦函數f=sin(20t)模擬端部效應擾動，在0.3 s加入該擾動。圖11為其磁懸浮氣隙高度響應曲線。

圖11 加入端部擾動后氣隙高度響應曲線

由圖11可知，PI控制器控制的系統在面臨端部效應時，氣隙高度難以恒定，波動較大；T1F控制的系統，較PI控制波動變小；而IT2F控制的系統，與前兩者相比波動不明顯，響應曲線平緩。由此可見，IT2F控制器對系統所受端部效應擾動抑制能力較強。同時由以上分析可知，在加入擾動信號后，采用IT2F控制的系統磁懸浮氣隙高度變化較小，符合CELSM磁懸浮系統的剛度要求。

4 結 語

為了便于根據CELSM磁懸浮系統的結構特性進行控制，分析了其控制原理，推導了其電壓及磁鏈方程，并令id=0構建其懸浮力方程和運動方程，以確定系統的狀態空間方程。

為了充分展現系統優勢，提出了區間二型模糊控制策略，依據區間二型模糊系統的運算步驟，以氣隙高度誤差及其變化率為輸入，通過9條模糊規則的規則庫進行推理，采用NT算法降階解模糊得到控制器輸出，設計了模糊控制器。

為了證明控制器的有效性，在MATLAB軟件中搭建區間二型模糊控制的系統模型，分三種情況與PI控制及一型模糊控制的系統進行對比分析。結果表明，采用區間二型模糊控制的系統性能最佳，系統起動性、穩定性、抗干擾性皆占優勢。