參數不確定性環境下的CDS定價模型

張茂軍，柴 過

（蘇州科技大學商學院，江蘇 蘇州 215009）

1 引言

2008年雷曼兄弟公司破產引發了美國次貸危機爆發，其中一個重要原因是該公司交易的信用違約互換（Credit Default Swaps，簡稱CDS）出現了大規模違約.2007年末CDS的全球規模達到62萬多億美元，這次危機造成了CDS規模大幅萎縮，截止2012年CDS的規模下跌為大約26萬億美元.這暴露了CDS存在的一些嚴重問題，其中CDS定價成為了學術界備受關注的問題之一.

已有CDS定價原理是建立在參照實體和交易對手的違約概率和回收率是確定和唯一的假設之上.然而，由于信息不對稱性和市場不完備性的原因，投資者不能完全知道違約概率和回收率等參數的精確值，即這些參數具有不確定性.1921年Knight認為經濟客體的未來狀態發生的概率具有不確定性.這種不確定性被稱為Knight不確定性.學者們將Knight不確定性進行了深入研究，將其拓展為概率不確定性和參數不確定性，并且開展了相關研究.如Knight不確定性如何影響資產價格和投資策略[1-2]，用Knight不確定性可以更加合理地解釋金融市場之迷，如股票溢價和波動之謎[3]，期權定價中的Knight不確定性[4].

然而，目前未曾見到在CDS定價中考慮Knight不確定性的相關研究.事實上，在CDS定價中存在Knight不確定性，主要表現為：一是違約概率具有不確定性.在CDS定價中，刻畫違約概率的模型主要包括結構化模型和強度模型，這些模型是否能更好地刻畫參照實體和交易對手的違約概率尚無定論，只是依據研究者考慮問題的側重點不同而定，這種模型的不確定性必然帶來違約概率的不確定性.而且，由于CDS是一種場外交易產品，不僅金融市場不完備而且交易對手之間的信息也不對稱，很難精確地知道參照實體和交易對手的違約概率，因此，違約概率具有不確定性.二是在CDS定價中回收率具有不確定性.在已有的研究中需要用歷史數據估計回收率，而數據的不精確性會造成回收率具有不確定性.

所以，這種不確定性扭曲了CDS的價格，嚴重影響了CDS的交易機制和市場效率.如何刻畫這些參數的不確定性是核心問題.目前的主要研究方法是穩健性方法（Robust Approach）.這種方法的一個前提假設是決策者知道參數的精確集合，而不知道哪個參數為最優.如，決策者知道違約概率可能屬于集合{0.2，0.3，0.5，0.8}，而不知道這四個概率哪個最符合實際情況.因此，決策者借助于極大極小決策思想，通過最小化參數的不確定性，得到了“最壞情況下最好”的結果.這種方法已經被用于股票定價[5-6]的研究中.

然而，在CDS定價研究中，由于數據不精確性和信息不對稱性等原因，決策者不能完全知道違約概率和回收率等參數的精確集合，而是只能用實際數據估計出這些參數的一個近似值，如違約概率“大約為0.65”，這種不確定值隱含著數據模糊信息.因此，可以用模糊數刻畫這種不確定性.學者們已經用模糊數刻畫期權定價中參數的不確定性，并且取得了一定的研究成果.韓立巖和周娟[7]首次用模糊數刻畫Knight不確定性并且應用于期權定價，張茂軍等[8]用直覺三角模糊數刻畫歐式期權定價中的不確定性，秦學志等[9]研究了基于長記憶性特征的歐式期權模糊定價模型，王獻東和何建敏[10]分析了模糊隨機不確定環境下考慮決策者主觀判斷的亞式期權定價問題.

鑒于以上對CDS定價中違約概率和回收率等參數不確定性的分析，本文利用三角模糊數刻畫違約概率和回收率的不確定性，構建了CDS模糊定價模型，利用均衡定價原理和模糊數的運算法則得到了CDS價格也是一個三角模糊數，這不僅體現了參數不確定性導致了CDS價格的不確定性，而且反映了信息不對稱性和數據不精確性對CDS價格的影響.所以，投資者可以結合已有的經驗和對不確定性的偏好程度，更加客觀地評估CDS的價格.

2 文獻綜述

CDS是一類信用衍生產品，如何度量參照實體或交易對手的違約概率成為了CDS定價研究的核心問題之一.常用的度量違約概率的兩類模型是結構化模型和強度模型，下面分別從這兩類模型評述CDS的相關研究.

一是以結構信用風險模型為基礎的CDS定價.Merton[11]首次提出了結構信用風險模型，其基本思想是在市場完備性的假設下認為公司價值由權益和負債構成，如果公司價值在債券到期日時小于債券票面價值，那么公司資不抵債就發生違約，并且利用期權定價方法計算違約概率.然而，公司有可能在債券到期日之前發生違約，違約閾值未必是債券票面價值，而是一個與時間相關的值.于是，Black和Cox[12]提出了在債券到期日之前公司違約的首達違約模型，并利用布朗運動的首達概率計算違約概率.許多學者從其他方面推廣了Merton的結構模型，如Hackbarth等[13]研究的狀態依賴模型.在CDS定價方面，學者們用結構信用風險模型計算CDS的價格.Hull和White[14]用結構信用風險模型描述參照實體的違約過程，分別研究考慮交易對手違約和不違約情形下的CDS定價問題，并且利用Monte Carlo模擬方法計算CDS的價格.Kim等[15]利用首達結構模型研究了交易對手違約風險和市場風險相關情形下的CDS定價，發現市場風險與信用風險的相關性對CDS價格的影響隨著參照實體數量的增加而加大.Blanchet-Scalliet和Patras[16]用Merton的結構模型研究了考慮交易對手違約的CDS定價，給出了價格的解析表達式.

盡管，學者們已經用不同的結構信用風險模型計算參照實體和交易對手的違約概率，進而在市場完備性的假設下利用無套利原理研究CDS的定價問題，得到了CDS理論價格的解析表達式.然而，在實際應用中這種定價方法存在不足，主要表現為：計算價格的公式很復雜，在實際定價過程中很難實現；由于CDS交易是一種場外交易，交易過程存在信息不對稱和不透明度現象[17]，交易對手很難知道參照實體的資本結構，因此，用結構模型測量的違約概率不準確，具有不確定性.

二是以強度模型為基礎的CDS定價研究.在強度模型中參照實體的違約不是由企業價值決定，而是由外部環境決定，用泊松過程的首達事件刻畫違約事件.Duffie和Singleton[18]首次構建了強度信用風險模型.這類模型已經成為研究信用衍生品定價的主流模型，并且在CDS定價研究中取得了諸多成果.在強度模型的基礎上，考慮交易對手違約的含有單個參照實體的CDS的定價問題已經成為了學者們研究的焦點.Jarrow和Yu[19]首次研究了這類CDS定價問題，分析了交易對手違約損失對CDS價格的影響.Leung和Kwok[20]研究了交易對手違約和參照實體違約的內部相關結構問題，認為交易對手違約密度的增加導致了參照實體違約概率的增加.Brigo和Chourdakis[21]在違約強度是隨機變量的條件下，研究交易對手違約對CDS價格的影響.王瓊和陳金賢[22]研究了基于跳-擴散過程的CDS定價模型，詹原瑞等[23]用copula函數族研究了CDS組合的定價問題，龐素琳和王立[24]研究了信用貸款風險中反向CDS協議設計與定價，陳正聲和秦學志[25]探討了交易對手間三種違約相關情景下的CDS定價，陳艷聲等[26]考慮一般均衡下基于產品市場和資本市場的單名CDS定價問題，陳庭強等[27]首次從投資者情緒和償債能力角度分析了CDS交易對手流動性風險的傳染機制，為CDS設計提供理論支持.

本文利用三角模糊數刻畫CDS中違約概率等參數的不確定性，研究CDS的定價問題.論文的結構安排如下：第三節是三角模糊數及其運算法則，為CDS的模糊定價提供計算方法；第四節是CDS定價模型及其求解過程，利用三角模糊數的運算法則得到了CDS溢價的解析解；第五節給出一些數值算例，說明模型和方法的有效性和實用性；最后是論文的結論.

3 三角模糊數及其運算法則

本節給出三角模糊數定義和相應運算法則，為CDS模糊定價提供基礎.首先給出三角模糊數定義如下.

定義 1[28]設是實數集R上一個三角模糊數，其隸屬度為

三角模糊數的隸屬函數如圖1所示，

圖1 三角模糊數的隸屬函數

其次，下面給出三角模糊數的運算法則.

定義 2[22]設和為兩個三角模糊數，是實數.三角模糊數的運算法則定義為

4 CDS的模糊定價模型

CDS是將某種債券的違約風險從合同買方轉移到賣方的一類信用衍生產品，合同規定買方定期向賣方支付“保費”，當參照實體發生違約時，賣方必須向買方賠償損失，其中的“保費”就是CDS的價格，又稱為CDS溢價或利差.CDS合約由買方、賣方和參照實體構成.假設買方和賣方都不違約，只有參照實體存在違約風險，且參照實體為一個面值為1的債券，到期日為T.如果參照實體沒有違約，買方向賣方每年支付溢價；如果參照實體違約，賣方向買方支付損失，并且買方停止支付溢價.

在計算溢價中，需要估計參照實體違約概率和生存概率.然而，由于實際數據不確定性和信息不完全性以及決策者主觀判斷性，使得違約概率和生存概率具有不確定性，如某個時間的違約概率為“大約0.17”.為了更加細膩地描述這種不確定性，我們用三角模糊數表示違約概率和生存概率.假設在沒有前期違約概率的條件下，將參照實體的到期日分為n個時期.在ti個時期參照實體生存概率為三角模糊數，其中；；在 ti個時期和 ti＋1個時期期中的違約概率為三角模糊數，其中，而且違約概率和生存概率滿足qi＋pi＝1；參照實體違約時的回收率也是三角模糊數，其中

進一步，假設違約發生時間在年中，并且在信用違約互換中信用保護付款時間在每個時期期終.我們將計算CDS溢價分為三部分.

第一部分是計算預期支付貼現值.買方給賣方支付第i個溢價的概率為i，對應溢價為，其貼現值為，其中常數r為無風險年利率，則所有預期支付貼現總和為

第二部分是計算在違約時應計預期支付的貼現值.由于假設在期中參照實體發生違約，對應累積應計支付期限為期中，所以應計支付數量為0.5，對應第i年應計支付期望值為，貼現值為，則所有應計預期支付貼現總和為

第三部分是計算預期損失貼現值.在前面假設中，參照實體違約總是發生在期中，對應第i個期中賣方支付給買方的違約保護預期損失是（，預期損失貼現值的總和為

根據無套利原理，CDS買方預期支付的貼現值等于預期損失的貼現值，所以根據式（9）、（10）和（11），CDS的理論溢價滿足V＋U＝E，即

根據定義2中三角模糊數的運算法則，可知式（12）等價于下面的方程組

根據上面分析和公式（13）可以得到CDS價格滿足下面定理.

定理.如果CDS中參照實體的違約概率、生存概率和回收率分別為三角模糊數，和，那么CDS溢價為，其中

根據上述定理可知式（14）是CDS溢價封閉解，并且CDS溢價是一個三角模糊數，其中s表示CDS溢價可能值，其值屬于CDS溢價上限值和下限值，而且s的隸屬函數反映了決策者對CDS價格不確定的偏好程度.而在經典CDS定價中，CDS溢價為[29]

在經典的CDS的溢價公式中，違約概率pi、生存概率qi以及回收率R都是精確數值，從而由公式（15）計算出的CDS的溢價也是一個精確數，并不能反映數據的不確定性.而事實上，由于違約概率和回收率等參數不確定的原因，CDS的溢價具有不確定性，因此，本文提出的計算CDS溢價的公式更能反映數據不精確性和信息不完備性，從而更加合理.

5 數值算例

為了說明第4節計算CDS溢價公式（14）的合理性，下面給出數值算例.假設在年初買方買進了一個參照實體的面值是1，距離到期日還剩5年的企業債券的CDS合約.而且用三角模糊數表示參照實體在5年內每年無條件違約概率和生存概率，如表1所示.

表1 無條件違約概率和生存概率

依據表1中的生存概率，可以計算CDS買方的預期支付的貼現值.由于參照實體的本金為1，無風險利率為每年r＝5%，貼現因子為e－0.05ti，所以可以計算預期付款的貼現值，如表2所示.如第ti＝2時，CDS買方支付溢價的概率為（0.960 1，0.960 4，0.960 8），貼現因子為0.904 8，此時的預期支付的貼現值為0.904 8×（0.960 1，0.960 4，0.960 8）＝（0.868 7，0.869 0s，0.869 3）.

表2 預期支付的貼現值

同理，表3給出了買方支付的應計付款貼現值.例如，違約概率發生在第三年年中的概率為三角模糊數（0.018 0，0.019 2，0.019 3），對應的累積應計支付的期限為半年，所以應計支付的數量為0.5，對應這一時間段的應計預期支付為0.5（0.018 0，0.019 2，0.019 3）＝（0.009 0，0.009 6s，0.009 7），對應的貼現值為（0.007 9，0.008 5s，0.008 0）.

表3 應計付款的貼現值

類似地，表4給出了參照實體發生違約時，CDS的賣方支付予買方的預期損失的貼現值.如違約發生在第三年年中的概率為（0.018 0，0.019 2，0.019 3），回收率＝（0.38，0.4，0.42），對應于第三年年中的預期損失為（0.018 0，0.019 2，0.019 3）×（1－（0.38，0.4，0.42））＝（0.010 4，0.011 5，0.012 0）其貼現值為（0.010 4，0.011 5，0.012 0）e－0.05×2.5＝（0.009 2，0.010 1，0.010 6）.

表4 預期損失的貼現值

由表2和表3，我們可知CDS買方預期支付的貼現值為（4.060 7，4.070 5s，4.018 2）＋（0.037 6，0.042 6s，0.046 6）＝（4.098 3，4.113 1s，4.127 8）.又由表 4 可知，CDS 買方預期損失的貼現值為（0.043 6，0.051 0，0.057 7），據式（12）知二者相等（4.098 3，4.113 1s，4.127 8）＝（0.043 6，0.051 0，0.057 7）.因此，根據三角模糊數的運算法則可得 CDS溢價為（0.010 6，0.012 4，0.014 0）.該三角模糊數表示CDS溢價的近似值，即CDS溢價用介于0.010 6和0.014 0之間的任意實數，而且利用公式（1）和（2）分別求出當CDS溢價介于0.010 6和0.014 0之間的隸屬度和非隸屬度，如表5和圖2所示.

圖2 CDS溢價的隸屬函數

表5 CDS溢價的隸屬度和非隸屬度

從表5和圖2可知，CDS溢價最可能值是0.012 4，它的隸屬度和非隸屬分別為1和0；CDS溢價的最悲觀值和最樂觀值分別為0.010 6和0.014 0，其隸屬度和非隸屬度分別均為0和1；其他CDS溢價的隸屬度和非隸屬度介于0和1之間，如CDS溢價0.012 1的隸屬度和非隸屬度分別為0.833 3和0.166 7，其中隸屬度和非隸屬度分別表示決策者認為CDS溢價為0.012 1的肯定程度為0.833 3、否定程度為0.166 7.這不僅反映了CDS溢價的不確定性，而且刻畫了決策者對不確定性的偏好程度.

6 結論

信用違約互換是一類可以規避信用風險的重要金融衍生產品，在美國和歐洲國家的金融市場占有很大的市場份額.信用違約互換的“公平”價格，對于提高金融市場的有效性和流動性非常重要.在信用違約互換定價中，估計違約概率、生存概率以及回收率等參數是一個核心問題.然而由于數據的不精確性和信息的不完全性，使得這些參數具有不確定性，為此本文利用三角模糊數刻畫這種不確定性，構建模糊信用違約互換定價模型，應用模糊方法研究信用違約互換溢價，得到了信用違約互換的價格為一個三角模糊數，反映了信用違約互換價格的不確定性，刻畫了決策者的心理特征，并且給出了相應的數值算例說明模型和方法的有效性和適應性，為信用違約互換定價提供了一種新的方法和思想.

基于本文研究思想，未來我們將開展動態狀態下的模糊不確定性CDS定價研究，同時結合行為金融學考慮投資者的非理性行為對模糊不確定性下CDS價格的影響機理.