多元對(duì)稱不等式新探

劉保乾

（西藏自治區(qū)組織編制信息管理中心，西藏 拉薩 850000）

0 引言

2004年前后，多元對(duì)稱不等式研究取得了較大進(jìn)展，其主要背景是，中國(guó)不等式研究小組網(wǎng)站論壇空前活躍，網(wǎng)上討論日漸深入.尤其是3元schur分拆的雛形，即文獻(xiàn)[1]已經(jīng)出現(xiàn)，特別是之后發(fā)展形成的文獻(xiàn)[2]，系統(tǒng)地提出了3元schur分拆理論，人們期盼多元schur分拆的心理和愿望日益迫切.同時(shí)由于增量代換（后改稱為差分代換）在機(jī)器證明中的成功應(yīng)用，大量的多元不等式被發(fā)現(xiàn)（參閱文獻(xiàn)[3]）.文獻(xiàn)[4]后來(lái)將增量代換方法發(fā)展成比較系統(tǒng)的差分代換理論，極大地促進(jìn)了多元不等式的研究.其余可參考文獻(xiàn)[5-14]，多元對(duì)稱不等式研究進(jìn)入了新的發(fā)展階段.近日，筆者借助于不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2012[15-16]對(duì)多元不等式進(jìn)行了新的研究，得到了若干新結(jié)果，本文對(duì)此進(jìn)行介紹.

1 多項(xiàng)式完全對(duì)稱求和

設(shè) r1，r2，…，rn是 1，2，…，n 的排列，稱集合

是多項(xiàng)式f（x1，x2，…，xn）的一個(gè)n元對(duì)稱全集，記

其中符號(hào)（r1，r2，…，rn）表示要取 1，2，…，n 的所有排列，稱為對(duì)多項(xiàng)式f（x1，x2，…，xn）取完全對(duì)稱和，在不致誤解的情況下可以簡(jiǎn)稱為對(duì)稱和，用sym標(biāo)識(shí).由于n個(gè)數(shù)字的所有排列共有n!個(gè)，所以n元對(duì)稱和一般有n!項(xiàng).當(dāng)多項(xiàng)式f（x1，x2，…，xn）具有某種特殊的對(duì)稱結(jié)構(gòu)時(shí)全集Qn中會(huì)出現(xiàn)相同的項(xiàng)，這樣對(duì)稱和中的項(xiàng)數(shù)因?yàn)楹喜⒍鴷?huì)減少.3元多項(xiàng)式f（x，y，z）的完全對(duì)稱和為

4元多項(xiàng)式f（x1，x2，x3，x4）的完全對(duì)稱和為

例1求3元多項(xiàng)式x（xy＋z2）的完全對(duì)稱和.

解由于3!＝6，故對(duì)稱和應(yīng)有6項(xiàng).由公式（3）知，

例2求4元表達(dá)式x2x3的完全對(duì)稱和.

解由于4!＝24，故對(duì)稱和應(yīng)有24項(xiàng)，但x2x3有特殊的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，這樣會(huì)出現(xiàn)許多相同的項(xiàng)，由公式（4）得到對(duì)稱和是 4（x1x2＋x2x3＋x3x4＋x1x4＋x1x3＋x2x4），這個(gè)倍數(shù) 4沒(méi)有意義，要約去，故完全對(duì)稱和為

多項(xiàng)式完全對(duì)稱求和公式在構(gòu)造和發(fā)現(xiàn)對(duì)稱不等式時(shí)有重要應(yīng)用，因?yàn)檠芯繉?duì)稱不等式至為關(guān)鍵的環(huán)節(jié)是要能夠即時(shí)把對(duì)稱式書寫出來(lái)，使驗(yàn)證和人的思路同步互動(dòng)，發(fā)現(xiàn)形式新穎的不等式，因?yàn)樵诎l(fā)現(xiàn)不等式的起始階段理論上的一般式是沒(méi)有用的，必須寫成一個(gè)個(gè)具體的表達(dá)式進(jìn)行驗(yàn)證.另一方面，只有當(dāng)把表達(dá)式拼湊成完全對(duì)稱式時(shí)構(gòu)成的不等式才是成立的，而這又有普遍性.這兩點(diǎn)決定了完全對(duì)稱求和公式在對(duì)稱不等式研究中的基礎(chǔ)性和支撐性作用.

例3有4元不等式

從例3可以看出，不論是4元不等式，5元不等式，還是6元不等式，這些不等式的特點(diǎn)都是完全對(duì)稱的，而要方便地寫出這些具體的不等式，如果沒(méi)有多項(xiàng)式完全對(duì)稱求和公式是不可能的.

2 多項(xiàng)式的對(duì)稱補(bǔ)

一個(gè)多項(xiàng)式的完全對(duì)稱和與其自身的差稱為這個(gè)多項(xiàng)式的對(duì)稱補(bǔ).多項(xiàng)式與其對(duì)稱補(bǔ)具有相同的對(duì)稱性.

例4對(duì)于4元多項(xiàng)式x1x2來(lái)說(shuō)，其對(duì)稱補(bǔ)為

3 多項(xiàng)式的對(duì)稱結(jié)構(gòu)

設(shè){gi}（1≤i≤r）是 Qn的一個(gè)子集，Qn的含義同于（1）式，且是一個(gè)n元對(duì)稱式，則集合{gi}稱為一個(gè)n元r階對(duì)稱結(jié)構(gòu).

例5集合 {x3x4x1，x4x1x2，x1x2x3，x2x3x4}構(gòu)成一個(gè)4元4階對(duì)稱結(jié)構(gòu).4元4階對(duì)稱結(jié)構(gòu)求和公式是（9）式就是通常所說(shuō)的輪換對(duì)稱求和公式.

例 6 集合{x1x2，x2x3，x3x4，x1x4，x1x3，x2x4}構(gòu)成一個(gè)4元6階對(duì)稱結(jié)構(gòu).4元6階對(duì)稱結(jié)構(gòu)求和公式是

4元3階對(duì)稱結(jié)構(gòu)是一個(gè)比較特殊的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，因?yàn)樗碾A數(shù)小于元數(shù).請(qǐng)看例7.

例7集合

構(gòu)成一個(gè)4元3階對(duì)稱結(jié)構(gòu).

4元3階對(duì)稱結(jié)構(gòu)還有

對(duì)稱結(jié)構(gòu)有如下性質(zhì)：設(shè)有r元對(duì)稱式h（y1，y2，…，yr）及n元r階對(duì)稱結(jié)構(gòu){gi}，則h（g1，g2，…，gr）是一個(gè) n 元對(duì)稱式，稱 h（g1，g2，…，gr）是對(duì)稱結(jié)構(gòu){gi}的生成式，稱h（y1，y2，…，yr）是生成函數(shù).

4元3階對(duì)稱結(jié)構(gòu)還有其特殊的性質(zhì)：不僅可以將3元對(duì)稱式直接變?yōu)?元對(duì)稱式，而且生成式往往還是S1類多項(xiàng)式[11].

例8由對(duì)稱結(jié)構(gòu)（15）可發(fā)現(xiàn)優(yōu)美不等式鏈

不等式（16）取等號(hào)的條件是a，b，c，d中有三個(gè)相等，即不等式（16）是一個(gè)S1類不等式.

則由對(duì)稱結(jié)構(gòu)（12）可得關(guān)于 a，b，c，d 的對(duì)稱不等式

不等式（17）取等號(hào)的條件是a，b，c，d中有三個(gè)相等，即不等式（17）是一個(gè)S1類不等式.

例10有3元schur不等式∑x（x－y）（x－z）≥0，取生成函數(shù)為f（x，y，z）＝∑x（x－y）（x－z），將對(duì)稱結(jié)構(gòu)（12）作用于 f得 4 元 S1類對(duì)稱不等式

其中σi（i＝1，2，3，4）是基本初等對(duì)稱式，

注意對(duì)4元來(lái)說(shuō)，由于S1類不等式是僅次于基本不等式的不等式，故很強(qiáng)，在加強(qiáng)不等式時(shí)有重要應(yīng)用.

例11可以發(fā)現(xiàn)4元S1類不等式

為了加強(qiáng)不等式（19），根據(jù)“取等號(hào)條件的封閉性”，需要另一個(gè)S1類對(duì)稱量，顯然（17）式符合這個(gè)條件，由此可發(fā)現(xiàn)加強(qiáng)不等式

例12用判別式法易證3元對(duì)稱不等式

將對(duì)稱結(jié)構(gòu)（12）作用于（21）式得4元S1類含參不等式

4 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的補(bǔ)

對(duì)稱結(jié)構(gòu)對(duì)多項(xiàng)式對(duì)稱全集的補(bǔ)構(gòu)成新的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，這個(gè)新的對(duì)稱結(jié)構(gòu)稱為對(duì)稱結(jié)構(gòu)的補(bǔ).對(duì)稱結(jié)構(gòu)與其補(bǔ)構(gòu)成對(duì)偶關(guān)系.實(shí)際計(jì)算對(duì)稱結(jié)構(gòu)的補(bǔ)時(shí)，只需求出對(duì)稱結(jié)構(gòu)中每個(gè)表達(dá)式的對(duì)稱補(bǔ)即可.

例 13 由例 6 知，集合{x1x2，x2x3，x3x4，x1x4，x1x3，x2x4}構(gòu)成一個(gè)4元6階對(duì)稱結(jié)構(gòu)，其補(bǔ)構(gòu)成的集合

也構(gòu)成一個(gè)4元6階對(duì)稱結(jié)構(gòu).

例14對(duì)稱結(jié)構(gòu)（12）的補(bǔ)為

取生成函數(shù)為 f（x，y，z）＝∑x（x－y）（x－z）≥0.將（12）式和（23）式分別作用于 f得 f1和f2，則f1≥0和f2≥0就是一對(duì)對(duì)偶的S1類不等式.經(jīng)過(guò)驗(yàn)證知，有不等式f2－f1≥0成立，這個(gè)不等式等價(jià)于

試給出不等式（24）的一個(gè)非機(jī)器證明.

一個(gè)多元表達(dá)式，當(dāng)變?cè)咳?時(shí)表達(dá)式的取值稱為這個(gè)表達(dá)式的規(guī)范值.經(jīng)過(guò)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，一個(gè)n元多項(xiàng)式與其補(bǔ)相除，其完全對(duì)稱和不小于其規(guī)范值.根據(jù)這個(gè)規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)大量的多元對(duì)稱不等式.

例15對(duì)4元來(lái)說(shuō)，x1的補(bǔ)為x2＋x3＋x4，兩者相除為，取對(duì)稱和為，令x1＝x2＝x3＝x4＝1，得這個(gè)表達(dá)式的規(guī)范值，則有不等式

不等式（25）由權(quán)方和不等式易證.

例16對(duì)4元來(lái)說(shuō)，多項(xiàng)式x1x2＋x2x3與多項(xiàng)式x3x4＋x1x4＋x1x3＋x2x4之和為完全對(duì)稱式，作商，取完全對(duì)稱和，計(jì)算規(guī)范值得6，由此發(fā)現(xiàn)不等式

5 待解決的問(wèn)題

問(wèn)題1當(dāng)元數(shù)大于4時(shí)，是否有階數(shù)小于元數(shù)的對(duì)稱結(jié)構(gòu)？

問(wèn)題 2 設(shè) xi＞0（i＝1，2，…，n，n≥3），，猜有不等式

例如5元且r＝4，此時(shí)不等式（27）變?yōu)?/p>

問(wèn)題 3 設(shè) xi＞0（i＝1，2，…，n，n≥3），記，又記

且隨著k值的增大不等式會(huì)越來(lái)越弱.在不等式（29）中，我們限制了分母的指數(shù)為固定的k.如果讓指數(shù)變化，情況會(huì)如何呢？現(xiàn)記

則有不等式

例如對(duì)于5元，有不等式

問(wèn)題 4 設(shè) a，b，c，d，e，f＞0，則有不等式

問(wèn)題 5 設(shè) xi＞0（i＝1，2，…，n，n≥3），，則有不等式

例如對(duì)4元有不等式

問(wèn)題 6 設(shè) xi＞0（i＝1，2，…，n，n≥3），，則有不等式

下面的問(wèn)題表面上與對(duì)稱不等式無(wú)關(guān)，但本質(zhì)上可轉(zhuǎn)化為對(duì)稱多項(xiàng)式不等式，而且涵義深刻而有趣.

問(wèn)題7在ΔABC中，設(shè)A＝A1，B＝A2，C＝A3，n為自然數(shù)，則有不等式

受（45）式的啟發(fā)，筆者用不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2012發(fā)現(xiàn)了許多類似于（45）式的三角形內(nèi)角正弦不等式，通過(guò)對(duì)這些不等式的觀察，最后發(fā)現(xiàn)了優(yōu)美的不等式（44）.