2022年新高考Ⅰ卷第21題的多解、推廣與變式

劉才華

(山東省泰安市寧陽第一中學 271400)

1 試題呈現

(1)求直線l的斜率；

這是2022年新高考數學Ⅰ卷第21題，試題簡潔明快，入手容易，深入難，在重視對基礎知識、基本方法以及基本思想考查的同時，對學生的直觀想象、數學運算等學科素養均有較高的要求.首先我們給出試題的兩種解法，然后給出在雙曲線、橢圓、圓和拋物線中的推廣與變式，得到四個相關的命題.

2 試題解析

整理，得a4-4a2+4=0.

解得a2=2.

(1)設直線AP的方程為y=k(x-2)+1交C于點P(x1，y1).

(1-2k2)x2+(8k2-4k)x-8k2+8k-4=0.

所以直線l的斜率為

故直線l的斜率為-1.

(1)由題意直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+t，P(x1，y1)，Q(x2，y2),

(1-2k2)x2-4ktx-2(t2+1)=0.

由kAP+kAQ=0，得k=-1.

對試題第(1)問作進一步推廣與變式，我們得到如下命題：

證明由題意直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+t，P(x1，y1)，Q(x2，y2),

(a2k2-b2)x2+2kta2x+a2t2+a2b2=0.

a2b2=b2m2-a2n2.

由點A(m，n)不在直線y=kx+t,得

mk+(t-n)≠0.

于是kAP+kAQ=0?2kx1x2+(t-n-mk)(x1+x2)+2mn-2mt=0

?mna2k2+(a2b2+nta2)k+(t-n)mb2=0

?mna2k2+(b2m2-a2n2+nta2)k+(t-n)mb2=0

?(na2k+mb2)[mk+(t-n)]=0

?na2k+mb2=0

證明由題意直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+t，P(x1，y1)，Q(x2，y2),

(a2k2+b2)x2+2kta2x+a2t2-a2b2=0.

則Δ>0，且

a2b2=b2m2+a2n2.

由點A(m，n)不在直線y=kx+t上，得

mk+(t-n)≠0.

于是kAP+kAQ=0?2kx1x2+(t-n-mk)(x1+x2)+2mn-2mt=0

?mna2k2+(nta2-a2b2)k+(n-t)mb2=0

?mna2k2+(nta2-b2m2-a2n2)k+(n-t)mb2=0

?(na2k-mb2)[mk+(t-n)]=0

?na2k-mb2=0

證明由題意直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+t，P(x1，y1)，Q(x2，y2),

(k2+1)x2+2ktx+t2-r2=0.

由點A(m，n)不在直線y=kx+t上，得

mk+(t-n)≠0.

于是kAP+kAQ=0?2kx1x2+(t-n-mk)(x1+x2)+2mn-2mt=0

?mnk2+(nt-r2)k+(n-t)m=0

?mnk2+(nt-m2-n2)k+(n-t)m=0

?(nk-m)[mk+(t-n)]=0

?nk-m=0

證明由題意直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+t，P(x1，y1)，Q(x2，y2),

于是kAP+kAQ=0?y1+y2+2n=0