研磨習題載體 變式引領復習

徐凱鈺 王楨宇

(1.北京航空航天大學工科實驗班馮如書院217414班 100083;2.北京市第一七一中學 100011)

1 題目呈現與解析

例題(2022年朝陽區高三第一學期期末試卷20題第(3)問)設g(x)=aex-x2，當a∈(1，e)時，求函數g(x)的零點個數,并說明理由.

本題可以求導判斷g(x)的單調性，進而通過零點存在定理判斷零點個數，參考答案通過等價變換，轉化為第(2)問的結論，不再贅述，但測試反饋發現，同學們大多沒有注意到兩問之間的聯系，而是直接求導，致使運算難度增大，鑒于其更具有通法意義，本文采用該方法.

解析因為g′(x)=aex-2x，g″(x)=aex-2，

所以g(x) 在(-∞，+∞)單調遞增.

故存在唯一零點x1∈(-1，0)使得g(x1)=0.

題目不難，解法也眾多，不再贅述，試題解罷，筆者思考一個問題，為什么原題給出了a∈(1,e)這個條件，若擴大這個范圍會對函數零點的求解帶來什么樣的影響呢？命題人在此為了回避哪些難點呢？為了尋找答案，故做如下探索.

2 試題變式

2.1 變式改編，找點升級

變式1設g(x)=aex-x2，當a∈(1，+∞)時，求函數g(x)的零點個數.

2.1.1 特殊值代入找點

由于需要在(-∞，0)找某點x1滿足g(x1)<0，所以我嘗試了令x1= -a.

因為g(-a)=a(e-a-a)，又a>1，

所以e-a<1，所以e-a-a<0.

即g(-a)<0.

所以?x1=-a∈(-∞，0)滿足g(x1)<0.

2.1.2 指對互換找點

2.1.3 利用不等式進行放縮

考慮到x→-∞時，ex→0，所以尋找h(x)使得x→-∞時，h(x)→0，且同時滿足h(x)>ex.

2.1.4 利用取值范圍進行放縮

2.2 逐段篩選，隱形零點

變式2設g(x)=aex-x2，當a∈R時，求函數g(x)的零點個數.

所以當x∈(-∞，x1)， (x2，+∞)，g′(x)>0，g(x)單調遞增；當x∈(x1，x2)，g′(x)<0，g(x)單調遞減.

所以g(x)在(-∞，0)內有1個零點.

下面討論g(x)在(0，+∞)的零點個數.

g′(1)=ae-2<0，所以x1∈(0，1)，x2>1.

2.3 極值點偏移

變式3設g(x)=aex-x2，當g(x)在(0，+∞)有兩個零點時，求證：兩個零點和大于4.

所以當x∈(0，2)，h′(x)< 0，h(x)單調遞減；

當x∈(2，+∞)，h′(x)>0，h(x)單調遞增.

已知h(x1)=h(x2)，故x2>2>x1>0.

若證x1+x2>4，即證2>x1>4-x2>0.

注意到x1和4-x2都處于(0，2)減區間內，

只需證h(x1)4成立，故下面僅研究x2∈(2，4).

構造新函數t(x)=h(x) -h(4-x)，x∈(2，4)，即證t(x)<0在x∈(2，4)恒成立，顯然t(2)=0，若能證明x∈(2，4)時t′(x)<0，則此題得證.

教師點評“極值點偏移”問題近年來在高考題、模擬題中頻繁出現，2016年全國Ⅰ卷和2021年新課標Ⅰ卷都是以其作為壓軸題考查．這類問題包含了轉化與化歸、函數與方程等數學思想，常見解法是基于對稱變換的思想，構造新函數討論單調性求解.特別的，上文有這樣一句話“t(2)=0，若能證明x∈(2，4)時t′(x)<0，則此題得證.”這個思維方式是不嚴謹的，因為此時t′(x)<0是t(x)<0的充分非必要條件，答題過程應該逆序書寫，即求出t′(x)<0，說明函數單調遞減，進而結合端點值說明t(x)<0.