變中不變 美在其中
——以“圓錐曲線中動圓過定點”問題策略探析

林琳琳

(福建省福清第一中學(xué) 350300)

正因為圓錐曲線千變幻化，才能成就它的美，那美在哪里呢？美在撲朔迷離的變化中存在不變的性質(zhì)，如定點、定值問題.

1 題目呈現(xiàn)

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求C的方程；

(2)A，B是C上不同的兩點，且直線AB與以O(shè)A為直徑的圓的一個交點在圓O上．求證：以AB為直徑的圓過定點．

2 題源探析

本題與2009年全國山東高考理科卷第22題如出一轍.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

兩道試題的第(2)問有異曲同工之妙，都是與定圓相切的直線與圓錐曲線相交，涉及垂直條件的運用與轉(zhuǎn)化，考查了特殊與一般思想的運用.不同之處在于：高考題是已知OA⊥OB，考查能否找到一個圓心在原點的圓與直線AB相切，而省檢試題在于試題的結(jié)論變成條件，其條件變?yōu)槲覀円C明的結(jié)論.高考題的表征形式較為清晰明了，而省檢試題描述了點、線與圓的形態(tài)與變化過程，給學(xué)生的數(shù)學(xué)表征造成了一定的障礙.

但在解題中會發(fā)現(xiàn)曲線的幾個要素在變化，雖有圓的半徑、直線方程中的斜率、截距等眾多的因素干擾，但解決問題的思路是一樣的，均考查了數(shù)學(xué)表征的能力和運用特殊與一般思想解決問題的素養(yǎng).

3 解法剖析

圖1

難在第(2)問，首先需對給定條件作幾何推演，找出幾何關(guān)系，再將幾何條件代數(shù)化予以求解.

角度1 因為直線AB與以O(shè)A為直徑的圓的一個交點在圓O上，所以直線AB與圓O相切．由于圓是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，則以圓的切線AB為直徑的圓過定點原點.

解析因為直線AB與以O(shè)A為直徑的圓的一個交點在圓O上，所以直線AB與圓O相切．

所以O(shè)A⊥OB.

故以AB為直徑的圓過點O．

(2)當(dāng)直線AB不垂直于x軸時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)．

(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.

=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)

=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

所以O(shè)A⊥OB.

故以AB為直徑的圓過點O．

綜上，以AB為直徑的圓過點O．

角度4 通過設(shè)而不求思想設(shè)切點M(x0,y0)，當(dāng)y0=0時，直線AB垂直于x軸，得到以AB為直徑的圓過點O．

如圖2所示，當(dāng)y0≠0時，寫出切線的一般形式，利用切線特征和以AB為直徑的圓過點O轉(zhuǎn)化為驗證|OA|2+|OB|2-|AB|2=0.再進一步利用圖形進行轉(zhuǎn)化得(|OM|2+|AM|2)+(|OM|2+|BM|2)-(|AM|+|BM|)2=0.

圖2

當(dāng)直線AB垂直于x軸時，驗證以AB為直徑的圓過點O.

故以AB為直徑的圓過定點O．

當(dāng)直線AB垂直于x軸，驗證以AB為直徑的圓過點O.

4 思想賞析

以上六個角度將解析幾何研究的基本方法和基本思想體現(xiàn)得淋漓盡致，其基本思路：幾何條件→代數(shù)形式→代數(shù)結(jié)果→幾何條件，即：充分挖掘幾何條件，轉(zhuǎn)化代數(shù)形式，通過代數(shù)運算得到代數(shù)結(jié)果，代數(shù)結(jié)果用幾何條件表達.最主要就是要理解問題的實質(zhì)，從而建立條件與結(jié)論之間的聯(lián)系.

角度1到角度4立足于幾何條件“AB為直徑的圓過定點”充分轉(zhuǎn)化為定點與AB的數(shù)量積為0，利用特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、方程思想解決問題.

角度5到角度6立足于幾何條件“AB為直徑的圓過定點”充分轉(zhuǎn)化為將AB為直徑的圓方程寫出來，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想得到過定點.

上述哪個角度比較好呢？顯然，“AB為直徑的圓過定點”充分轉(zhuǎn)化為“定點與AB的數(shù)量積為0”運算更為簡便.若通過對角度1到角度4對比，發(fā)現(xiàn)：(1)如若學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想可以充分挖掘幾何條件：AB為直徑的圓過定點O；(2)學(xué)生利用特殊到一般思想引領(lǐng)，則大大降低求解運算.

正因如此，破解解析幾何問題的基本思想是用代數(shù)手段來研究幾何問題，這里很自然需要我們充分挖掘幾何條件，將其代數(shù)化，同樣通過代數(shù)運算得到的代數(shù)形式幾何化，進而建立條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，同時我們要樹立運用思想引領(lǐng)解題意識，運算就會變得簡單，解題就會揮灑自如.