用高觀點揭示一類導數壓軸題的本質

范明輝

(湖北省荊門市龍泉中學 448000)

1 問題的提出

例1(2015年全國高考Ⅱ卷第12題)設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數，f(-1)=0，當x>0時，xf′(x)-f(x)>0，則使得函數f(x)>0成立的x取值范圍是( ).

A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)

上例中出現了“xf′(x)-f(x)>0”的結構式，解決此類問題需要構造輔助函數.對于此類題目，有一些常見結構式的輔助函數構造方法：

(1)若f(x)+xf′(x)>0(或<0)，可構造輔助函數g(x)=xf(x)；

(3)若nf(x)+xf′(x)>0(或<0)，可構造輔助函數g(x)=xnf(x)；

(5)若f(x)+f′(x)>0(或<0)，可構造輔助函數g(x)=exf(x)；

在日常教學中，教師一般會要求學生熟記以上常見結構式的輔助函數，然后再加以訓練來鞏固記憶，然而，此類題目往往只有少數學生能夠成功解決.問題的關鍵在于，如何去構造這樣的輔助函數？構造方法是怎樣的？有沒有一般的步驟呢？

2 “輔助函數”的構造原理(基于不定積分原理)

對于結構為y′+P(x)y=Q(x)的方程，結合求導法則[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u′(x)v(x)，將方程兩端同乘以一個非零因子r(x)，得

r(x)y′+r(x)P(x)y=r(x)Q(x).

①

對比求導法則(yr)′=y′r+yr′，得

r′(x)=r(x)P(x).

對上式兩邊同時積分,得

②

將②式代入①式,得

③

2.1 結構為y′+P(x)y=0的形式

此時函數g(x)的導函數中包含方程的左邊部分P(x)y+y′，而在高中相關類型導數題中往往給出了這部分與零之間的不等關系，從而可以判斷出函數g(x)的單調性，進而結合函數知識求解.

2.2 結構為y′+P(x)y=Q(x)的形式

若Q(x)≠0，則y′+P(x)y=Q(x).

可變形為y′+P(x)y-Q(x)=0.

④

⑤

結合求導法則[u(x)-v(x)]′=u′(x)-v′(x)，可將⑤式進一步變形為

因此，可構造“輔助函數”

此時函數g(x)的導函數中包含④式的左邊部分y′+P(x)y-Q(x)，而在高中相關類型導數題中往往給出了這部分與零之間的不等關系，從而可以判斷出函數g(x)的單調性，進而結合函數知識求解.

此類結構的構造原理，基于不定積分的相關方法，讀者可以深入了解，也可略過.

3 結構為P(x)f(x)+f ′(x)的類型

例1解析當x>0時，xf′(x)-f(x)>0，

因此可構造輔助函數g(x)=e-lnx·f(x).

當x>0時，g′(x)>0，

所以g(x)在(0,+∞)上單調遞增.

由于函數f(x)為奇函數且f(-1)=0，所以g(x)為偶函數，且g(-1)=g(1)=0.

因此，g(x)在(0,+∞)上單調遞增，在(-∞,0)上單調遞減.要求函數f(x)>0成立的x取值范圍，則xg(x)>0，易知x∈(-1,0)∪(1,+∞)，故選A.

下面對結構式為P(x)f(x)+f′(x)類型的算法步驟進行總結：

(1)將題設條件中的結構式化歸為P(x)f(x)+f′(x)，即讓“f′(x)”的系數變為1；(2)找到P(x)，并借助導數公式尋找其一個原函數φ(x)；(3)構造輔助函數g(x)=eφ(x)·f(x).

按照上述步驟，我們再來看一看常見結構的構造方法：

(5)若f(x)+f′(x)>0(或<0)，則P(x)=1，其一個原函數為y=x，因此可構造輔助函數g(x)=exf(x)；

4 結構為f ′(x)+P(x)f(x)-Q(x)的類型

例2(2009年天津文科高考題)設函數f(x)在R上的導函數為f′(x)，且2f(x)+xf′(x)>x2，下面的不等式在R上恒成立的是( ).

A.f(x)>0 B.f(x)<0

C.f(x)>xD.f(x)

解析因為2f(x)+xf′(x)>x2，

所以2f(x)+xf′(x)-x2>0.

求導，得g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)-x3.

即g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)-x2].

綜上，f(x)>0，故選A.

下面對結構式為f′(x)+P(x)f(x)-Q(x)類型的算法步驟進行總結：

(1)將題設條件中的結構式化歸為f′(x)+P(x)f(x)-Q(x)，即讓“f′(x)”的系數變為1；(2)找到P(x)，并借助導數公式尋找其一個原函數φ(x)；(3)利用求導公式尋找eφ(x)Q(x)的一個原函數ψ(x)；(4)構造輔助函數g(x)=eφ(x)·f(x)-ψ(x).

此類問題一般出現在選擇題或填空題的壓軸題位置，難度較高，其難點在于構造出“輔助函數”.經過本文的探究，找到了構造相應“輔助函數”的一般步驟，將難點轉化為“逆用導數求導公式，尋找導數的原函數”.