從“充分與必要”視角辨析一題解法的是與非

蘭詩全

(福建省古田縣第一中學 352200)

“問題是數學的心臟”，找到答案只是數學解題的前一半，更重要的是解題后的反思.“不思故無惑，不惑故無問，不問故無得.”為什么是正確的，為什么是錯誤的，錯在哪里呢？對這些“為什么”的追問一定可以大大提升學生的分析問題、解決問題的能力.反思才能悟出其中的方法、思想；反思才能悟出問題的真本質、真規律、真道理.

以下從充分與必要視角對一道題目的多種解法進行正誤辨析，以示解題中要對充分與必要條件加以高度重視，理清思路，認識到位，理解深刻，要發現規律、揭示本質，才能真正掌握知識，提高解題能力，提升數學素養.

題目在銳角△ABC中，角A,B,C所對的邊為a,b,c,若b2=ac，求cosB的取值范圍.

解法2 由b2=ac，得b不是最長邊也不是最小邊，不妨設a≤b≤c，則A≤B≤C.

又由△ABC為銳角三角形，A+B+C=π，得2B+C≥π.

所以2B≥π-C.

辨析很多人認為以上解法是正確的，但事實上是錯誤的.這又是為什么？細想b2=ac這個條件用到位了嗎？沒有用到位，沒有用充分！由b2=ac可知b不是最長邊也不是最小邊，不妨設a≤b≤c，則A≤B≤C.但A≤B≤C推不出b2=ac啊，b2=ac內在的本質關系未充分利用，原來也是條件不等價變形造成的錯誤！利用已知條件的必要條件A≤B≤C來解答就得出問題的解，這與解法1類似，往往會擴大所求的取值范圍.

解法3 由b2=ac，得b不是最長邊也不是最小邊，不妨設a≤b≤c，則A≤B≤C.

由△ABC為銳角三角形且b2=ac

?C為銳角且b2=ac

?0

解法4 由b2=ac，得b不是最長邊也不是最小邊，不妨設a≤b≤c，則A≤B≤C.

由△ABC為銳角三角形且b2=ac且a≤b≤c

?C為銳角且b2=ac且a≤b≤c

辨析以上解法4正確嗎？“水本無華，相蕩乃成漣漪；石本無火，相擊而發靈光.”經過廣泛討論，積極思考后又有人認為不對，理由是因為首先要構成三角形，從而應在解法4的條件基礎上還應滿足條件a+b>c，故有以下解法5.

解法5 在解法4的基礎上還應滿足a+b>c，

再由解法4得

這樣往后可解得與解法4一樣的最后答案.

辨析解法4與解法5的最后答案是一樣的，這是偶然？這是必然？要想找出內在本質規律，要想打破砂鍋問到底，此問題還應從以下命題說起.

證明因為0

因為a>0,b>0,c>0,

所以a+b>c.

所以不難有結論:若三邊滿足余弦定理,則這三邊一定能構成一個三角形.

本題中，因為C為銳角，

所以a2+b2-c2>0.

所以(a+b)2>c2+2ab>c2.

所以a+b>c.

故解法5中考慮a+b>c是多余的，從而解法4的解答為最佳.

經常這樣進行數學問題辨析，錯中求正，敗中求勝，數學問題將越辨越清，認識將越來越深刻.數學學習若不能揭示問題的本質，則對知識方法的認識依然“云里霧里”，不能從錯誤的陰影中真正走出來，不能從正確中掌握規律，這是數學學習的大忌.以上辨析說明，對充要條件是否準確應用直接關系到解題的成敗，許多時候解題都是因為充要關系沒用對而致錯，對充要條件的應用要特別注意，已知條件的相互轉化要注意充要性，一定要利用已知條件或與已知等價的條件來解題，這是本質，也是關鍵.