從“充分與必要”視角辨析一題解法的是與非

蘭詩全

(福建省古田縣第一中學(xué) 352200)

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，找到答案只是數(shù)學(xué)解題的前一半，更重要的是解題后的反思.“不思故無惑，不惑故無問，不問故無得.”為什么是正確的，為什么是錯(cuò)誤的，錯(cuò)在哪里呢？對(duì)這些“為什么”的追問一定可以大大提升學(xué)生的分析問題、解決問題的能力.反思才能悟出其中的方法、思想；反思才能悟出問題的真本質(zhì)、真規(guī)律、真道理.

以下從充分與必要視角對(duì)一道題目的多種解法進(jìn)行正誤辨析，以示解題中要對(duì)充分與必要條件加以高度重視，理清思路，認(rèn)識(shí)到位，理解深刻，要發(fā)現(xiàn)規(guī)律、揭示本質(zhì)，才能真正掌握知識(shí)，提高解題能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

題目在銳角△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,若b2=ac，求cosB的取值范圍.

解法2 由b2=ac，得b不是最長邊也不是最小邊，不妨設(shè)a≤b≤c，則A≤B≤C.

又由△ABC為銳角三角形，A+B+C=π，得2B+C≥π.

所以2B≥π-C.

辨析很多人認(rèn)為以上解法是正確的，但事實(shí)上是錯(cuò)誤的.這又是為什么？細(xì)想b2=ac這個(gè)條件用到位了嗎？沒有用到位，沒有用充分！由b2=ac可知b不是最長邊也不是最小邊，不妨設(shè)a≤b≤c，則A≤B≤C.但A≤B≤C推不出b2=ac啊，b2=ac內(nèi)在的本質(zhì)關(guān)系未充分利用，原來也是條件不等價(jià)變形造成的錯(cuò)誤！利用已知條件的必要條件A≤B≤C來解答就得出問題的解，這與解法1類似，往往會(huì)擴(kuò)大所求的取值范圍.

解法3 由b2=ac，得b不是最長邊也不是最小邊，不妨設(shè)a≤b≤c，則A≤B≤C.

由△ABC為銳角三角形且b2=ac

?C為銳角且b2=ac

?0

解法4 由b2=ac，得b不是最長邊也不是最小邊，不妨設(shè)a≤b≤c，則A≤B≤C.

由△ABC為銳角三角形且b2=ac且a≤b≤c

?C為銳角且b2=ac且a≤b≤c

辨析以上解法4正確嗎？“水本無華，相蕩乃成漣漪；石本無火，相擊而發(fā)靈光.”經(jīng)過廣泛討論，積極思考后又有人認(rèn)為不對(duì)，理由是因?yàn)槭紫纫獦?gòu)成三角形，從而應(yīng)在解法4的條件基礎(chǔ)上還應(yīng)滿足條件a+b>c，故有以下解法5.

解法5 在解法4的基礎(chǔ)上還應(yīng)滿足a+b>c，

再由解法4得

這樣往后可解得與解法4一樣的最后答案.

辨析解法4與解法5的最后答案是一樣的，這是偶然？這是必然？要想找出內(nèi)在本質(zhì)規(guī)律，要想打破砂鍋問到底，此問題還應(yīng)從以下命題說起.

證明因?yàn)?

因?yàn)閍>0,b>0,c>0,

所以a+b>c.

所以不難有結(jié)論:若三邊滿足余弦定理,則這三邊一定能構(gòu)成一個(gè)三角形.

本題中，因?yàn)镃為銳角，

所以a2+b2-c2>0.

所以(a+b)2>c2+2ab>c2.

所以a+b>c.

故解法5中考慮a+b>c是多余的，從而解法4的解答為最佳.

經(jīng)常這樣進(jìn)行數(shù)學(xué)問題辨析，錯(cuò)中求正，敗中求勝，數(shù)學(xué)問題將越辨越清，認(rèn)識(shí)將越來越深刻.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)若不能揭示問題的本質(zhì)，則對(duì)知識(shí)方法的認(rèn)識(shí)依然“云里霧里”，不能從錯(cuò)誤的陰影中真正走出來，不能從正確中掌握規(guī)律，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大忌.以上辨析說明，對(duì)充要條件是否準(zhǔn)確應(yīng)用直接關(guān)系到解題的成敗，許多時(shí)候解題都是因?yàn)槌湟P(guān)系沒用對(duì)而致錯(cuò)，對(duì)充要條件的應(yīng)用要特別注意，已知條件的相互轉(zhuǎn)化要注意充要性，一定要利用已知條件或與已知等價(jià)的條件來解題，這是本質(zhì)，也是關(guān)鍵.