達(dá)朗貝爾原理在剛體動(dòng)力學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

徐仁杰

(江蘇省海安高級(jí)中學(xué) 226600)

在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，涉及非慣性參考系常引入慣性力，這樣非慣性系的問(wèn)題可以用牛頓運(yùn)動(dòng)定律來(lái)解決，這種思想源于達(dá)朗貝爾原理.高中物理競(jìng)賽研究較多的是質(zhì)點(diǎn)慣性力問(wèn)題，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系的慣性力很少涉及，本文借助于幾個(gè)常見(jiàn)模型分析剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)中的達(dá)朗貝爾原理.

1 質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理

作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束力和它的慣性力在形式上組成平衡力系，這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理，寫(xiě)成方程：F+FN+FI=0，F(xiàn)I=-ma稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的慣性力.引入慣性力的概念可以使動(dòng)力學(xué)問(wèn)題借用靜力學(xué)的理論和方法求解，具有很多優(yōu)越性，下面舉一例說(shuō)明.

例1 均勻半圓形金屬拱架ABC的圓心在O點(diǎn)，質(zhì)量M=1000kg.A端用鉸鏈連接，B端放在滾珠上，有一質(zhì)量m=500kg的小物塊從最高點(diǎn)C無(wú)摩擦滑下，如圖1所示，求當(dāng)物體滑到D點(diǎn)時(shí)(∠COD=30°)，求A、B兩支點(diǎn)對(duì)拱架的約束力.

圖1 圖2

小物塊做圓周運(yùn)動(dòng)，可看作質(zhì)點(diǎn)，具有切向加速度at和法向加速度an，分別引入慣性力FIt和FIn.取整體為研究對(duì)象，列出力和力矩平衡方程：

FAx+FInsinα=FItcosα

FAy+FB+FIncosα+FItsinα=(M+m)g

FAyR-FItR-FBR+mgRsinα=0

由以上各式解得：

FAy=FB=6295N,FAx=1495N.

點(diǎn)評(píng)引入慣性力后，小物塊的受力在形式上達(dá)到平衡，可以與拱架整體分析建立平衡方程，避免了對(duì)內(nèi)力的分析.

2 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理

質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理表述為：質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)i上的主動(dòng)力、約束力和它的慣性力在形式上組成平衡力系，寫(xiě)成方程Fi+FNi+FIi=0，F(xiàn)Ii=-miai是質(zhì)量為mi的質(zhì)點(diǎn)的慣性力.

空間任意力系平衡的充要條件是力系的主矢和對(duì)任一點(diǎn)O的主矩等于零，由于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，且等大、反向、共線，內(nèi)力產(chǎn)生合力和合力矩為零，即∑Fi內(nèi)=0，∑MO(Fi內(nèi))=0，質(zhì)點(diǎn)系平衡方程寫(xiě)成：∑Fi外+∑FIi=0，∑MO(Fi外)+∑MO(FIi)=0.

質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都有各自的慣性力，受力復(fù)雜，在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于慣性力系通常做簡(jiǎn)化處理.

剛體做平移運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩LC=rc×mvc≡0,若選質(zhì)心為簡(jiǎn)化中心，主矩為零，因與質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)用相似，不做詳細(xì)分析.下面以剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)為例分析慣性力系的簡(jiǎn)化.

2.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力系的簡(jiǎn)化

圖3

得到MIx=∑miriαcosθi·zi+∑-miriω2sinθi·zi=α∑mixizi-ω2∑miyizi.

類(lèi)似的，慣性力系對(duì)y軸和z軸的矩分別為

若剛體有垂直于z軸的質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面，把簡(jiǎn)化中心O取在該平面與z軸的交點(diǎn)，則∑mixizi=0，∑miyizi=0.慣性力系對(duì)O點(diǎn)的主矩為：MIO=MIz=-Jzα，這種情況下慣性力系處理起來(lái)簡(jiǎn)單了很多.

例2 如圖4所示，均質(zhì)桿OA長(zhǎng)2l，質(zhì)量m，繞著通過(guò)O端的水平軸在鉛錘面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)轉(zhuǎn)到與水平線成θ角時(shí)，角速度為ω.求此時(shí)O端的約束力和角加速度α.

圖4 圖5

OA桿做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，且有垂直于轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面，選取O點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心，受力分析如圖5所示，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理建立平衡方程：

MIO=mglcosθ

求得FOx=-mlαsinθ-mω2lcosθ，

點(diǎn)評(píng)由此題可見(jiàn)，對(duì)垂直于轉(zhuǎn)軸有質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，選擇質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面與轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心，利用達(dá)朗貝爾原理分析是比較簡(jiǎn)單的.

2.2 剛體平面運(yùn)動(dòng)慣性力系的簡(jiǎn)化

平面運(yùn)動(dòng)的剛體(平行于質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面)，運(yùn)動(dòng)可分解為隨基點(diǎn)的平移和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，若簡(jiǎn)化中心取在質(zhì)心，此時(shí)慣性力系向質(zhì)心的簡(jiǎn)化得到的主矩與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中相似：MIC=-JCα.

例3 如圖7所示，長(zhǎng)l，質(zhì)量為m的勻質(zhì)桿AB,BD用鉸鏈B連接，并用鉸鏈A固定，位于圖示平衡位置.今在D端作用一水平力F，求此瞬間兩桿的角加速度.

圖7 圖8 圖9 圖10

AB,BD兩桿的運(yùn)動(dòng)情況如圖8所示，AB桿做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，慣性力系簡(jiǎn)化中心取A點(diǎn).BD桿做平面運(yùn)動(dòng)，慣性力系簡(jiǎn)化中心取質(zhì)心C.

點(diǎn)評(píng)本題中既有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的桿AB，又有平面運(yùn)動(dòng)的桿BD，在計(jì)算慣性力系向簡(jiǎn)化點(diǎn)的主矩時(shí)，一定要注意簡(jiǎn)化中心的區(qū)別，AB桿的簡(jiǎn)化中心應(yīng)該取在轉(zhuǎn)軸位置的A點(diǎn)，BD桿的簡(jiǎn)化中心應(yīng)取在質(zhì)心，在計(jì)算兩桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)會(huì)體現(xiàn)出區(qū)別.

慣性力的引入，對(duì)我們處理非慣性條件下動(dòng)力學(xué)問(wèn)題是很方便的，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，選擇與質(zhì)點(diǎn)無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系，只要加上慣性力系，任何動(dòng)力學(xué)問(wèn)題都可以用靜力學(xué)的方法來(lái)解決.剛體的慣性力系一般比較復(fù)雜，但對(duì)剛體做平移、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)或平面運(yùn)動(dòng)，且垂直于轉(zhuǎn)軸有質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面的情況，選擇合適的簡(jiǎn)化中心，可以使慣性力系簡(jiǎn)化，一般建立主矢和主矩的三個(gè)平衡方程就可以解決問(wèn)題.