例析離心率問題

金鐵強

(浙江省諸暨市草塔中學 311812)

圓錐曲線離心率問題通常是指橢圓和雙曲線的離心率問題，一般包含兩類：一是求離心率值；二是求離心率的取值范圍.求解離心率，一般是構造參數a,c或a,b等式或者不等式，找出它們的關系，從而計算.離心率問題難點不在求解，而在找等量關系或者不等量關系，也就是找出題目中的數學本源.如何能在最短的時間內，找到關系，最有效的辦法是從數學本源出發，研究命題方向和結合的知識點，發現規律，探究方法，形成一系列解題策略.

1 特殊三角形與離心率

這類題目通常利用特殊三角形的性質來找參數關系，用到的性質一般有邊角相等、三角形相似、面積公式、正余弦定理、角平分線性質、高的性質、中線的性質等，解題方法可用代數法也可用幾何法，通常數形結合，用幾何法計算量較小，運算相對簡單.

解析因為頂點A,B在雙曲線上，由雙曲線的定義，可得到含四個參量的兩個等式，結合等腰直角三角形這個條件，可以消掉兩個參量，再利用Rt△F1BF2解出BF1，BF2的值.

如圖1，不妨設點B是Rt△F1AB的直角頂點，則

圖1

①

又點A,B在雙曲線上，由雙曲線的定義，得AF1-AF2=2a，BF1-BF2=2a.

②

在Rt△F1BF2中，由勾股定理，得

2 平行四邊形與離心率

與平行四邊形結合的離心率問題一般有兩類，一類是題目中存在四邊形；另一類是利用圓錐曲線的對稱性構造四邊形.用到的性質通常有：對邊平行相等；兩條對角線長度的平方和等于兩倍的兩個鄰邊的平方和等.解題時可用代數法也可用幾何法.

圖2

解析因為|PM|2+|PN|2是定值，而式子中的兩個線段長度不好表示，所以可以利用平行四邊形的對稱性進行轉化.點P在橢圓上，坐標滿足橢圓方程，于是想到把定值轉化成與點P坐標有關的量，代入橢圓方程，就找到了一個有關參數的等量關系.

3 圓與離心率

借助于圓的性質求離心率問題的題目相對較多，考查點通常是圓的性質和圓錐曲線性質的結合，比如弦的中點與圓心的連線與弦垂直，直徑所對的圓周角是90°，半徑相等，圓與圓的位置關系等.

圖3

解析兩圓的半徑分別有參數a,c，找a,c的關系，只需找兩圓的關系即可.解題方法可以用代數法也可用幾何法，但幾何法要相對簡單.

由對稱性可知PQ⊥x軸，因為OF是圓的直徑，且|PQ|=|OF|，所以PQ也是圓的直徑.

所以△POM是直角三角形.

于是有OP2=OM2+PM2.

4 變量的范圍與離心率

該類題目通常是先給出標準方程中某個參數的范圍，或者變量的范圍，再結合具體圖形的平行關系、共線關系、垂直關系等求離心率的取值范圍.通常用代數法來求解.

圖4

圖5

因為M(x0,y0)在第一象限，所以x0

總之，對于比較復雜的離心率問題，找出等量關系或者不等關系是關鍵，通常會與很多知識結合起來，有時還涉及數形結合.對于一些常見公式，應該引導學生自主觀察、獨立思考，把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，找出數學本源，從而更有效、簡潔地解決它，培養學生的數學核心素養.