“指對互化”妙解函數導數綜合問題

趙英巵

(重慶市合川實驗中學校 401520)

由于指數關系aN=b和對數關系logab=N是同一關系的不同表達形式，指數結構和對數結構相互轉化不會改變題目中各個量之間關系的本質屬性． 筆者在實踐中發現，如果能夠利用這一特性，在解決很多函數導數綜合題目時可以起到“茅塞頓開”“豁然明朗”的神奇效果，現將它在幾種題型中的應用舉例如下:

1 “指對互化”巧轉化，大小比較不再難

例1(2020年高考數學課標Ⅲ卷理科)已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則 ( ).

A．a

C.b

于是log53

2 “指對互化”妙分參，參數范圍易求得

例2 (2020年新高考山東卷21題第(2)問)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna．若f(x)≥1，求a的取值范圍．

分析不等式f(x)≥1等價于aex-1-lnx+lna≥1.

所以φ(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+∞)單調遞減，φmax(x)=φ(1)=1，所以a≥1．

解法3由已知可得elna+x-1-lnx+lna≥1.

所以elna+x-1+lna≥1+lnx.

所以elna+x-1+x+lna-1≥lnx+x.

所以elna+x-1+x+lna-1≥lnx+elnx.

因為y=ex+x在(0,+∞)上單調遞增， 所以問題轉化為lna+x-1≥lnx在(0,+∞)上恒成立.

即lna≥lnx-x+1在(0,+∞)上恒成立.

解法評述由于不等式結構aex-1-lnx+lna≥1的復雜性，不太好分離參數，可以考慮將不等式進行簡化，變不可分參為容易分參．這里利用“指對互化”，將不等式兩邊變形為同構函數φ[r(x)]≥φ[m(x)]，再利用函數φ(x)的單調性，轉化為r(x)≥m(x)問題，達到巧妙簡化問題的目的．

例3 (2021年高考浙江卷22題第(2)問)設a,b為實數，且a>1，函數f(x)=ax-bx+e2.若對任意b>2e2，函數f(x)有兩個不同的零點，求實數a的取值范圍．

令r(t)=et(t-1)-e2，

因為r′(t)=tet>0，

所以r(t)在(0,+∞)上單調遞增.

因為r(2)=0，所以t∈(0,2)時，r(t)<0，φ′(t)<0，φ(t)在(0,2)上單調遞減；

t∈(2,+∞)時，r(t)>0，φ′(t)>0，φ(t)在(2,+∞)上單調遞增.

所以φmin(t)=φ(2)=e2.

所以a的取值范圍是0

解法評述本題的難點在于分離參數難度非常困難，利用“指對互化”，構造同構函數t=xlna，整體換元后實現參數分離，達到簡化問題的目的．

3 “指對互化”妙同構，不等證明變簡單

例4(2020年沈陽質量檢測22第(3)問)已知函數f(x)=ex-1-x-ax2．若x>0，證明：(ex-1)ln(x+1)>x2．

令r(x)=ex(x-1)+1，有r′(x)=xex.

因為x>0，所以r′(x)=xex>0.

所以r(x)在(0,+∞)上單調遞增.

所以r(x)>r(0)=0.

所以φ′(x)>0.

所以φ(x)在(0,+∞)上單調遞增.

故只需證明x>ln(x+1).

即證x-ln(x+1)>0.

所以m(x)在(0,+∞)上單調遞增.

所以m(x)>m(0)=0.

所以x-ln(x+1)>0.

綜上所述，(ex-1)ln(x+1)>x2成立．

因為x>1時，r′(x)>0，所以r(x)在(1,+∞)上單調遞增.

因為0

所以r(x)≥r(1)=0.

所以φ′(x)≥0.

所以φ(x)在(0,+∞)上單調遞增.

故只需證明x>ln(x+1)，后同證法1．

知名作家豆豆在《遙遠的救世主》一書中是這樣解讀“神”和“神話”的：“神就是道，道就是規律，規律如來，容不得你思議，規律辦事的人就是神”“這個世上原本就沒有神話，所謂的神話，不過是常人的思維所不易理解的平常事”，類似地，我們可以這樣理解數學解題中的 “巧妙”與“神奇”，它不過是按照數學知識規律辦事的平常思維罷了，之所以給我們“巧妙”與“神奇”的感覺，是因為我們對知識本質的理解不夠深刻的緣故罷了，這就要求我們深度專研，盡可能理解知識的本質屬性，并在實際解題中不斷嘗試去運用它，解題就變得“巧妙”而“神奇”起來了．