排列組合解題中的物理操作

魯和平

(浙江省嘉善第二高級中學 314100)

排列組合是高中數學的重要學習章節，它對考查學生思維的嚴密性、深刻性、廣闊性具有不可替代的作用.也為學生進一步學習“組合數學”“概率統計”奠定了堅實的基礎.但在排列組合解題中，有些題目所需要的思維方式卻超出了數學的范疇.如果我們僅僅停留在數學苑囿“深挖洞”，可能最終導致無功而返.如果我們進一步拓廣思維視野，跳出數學的方寸天地，就會豁然開朗.我們姑且把這種思維方式，稱為“物理操作”.簡而言之，就是要通過一系列的“物理”操作，才能完成解題過程.

1 重構操作

即根據題目的意思，在保持原題本質不變的前提下，重新設計操作程序，使新的操作設計更加貼近題意，更具“數學化”.

例1袋子里有紅、黑、白、黃四種顏色的大小相同的小球各10個.每種顏色的10個小球分別標有數字1，2，3，4，…，10.若從中任取4個小球，這4個小球顏色互不相同，且所標數字互不相鄰的不同取法共有多少種？

例2從1,2,3,…，9中任取5個數字組成無重復數字的五位數，要求其中僅含有兩個連續的數，且這兩個連續的數相鄰的五位數有多少個？

2 退步操作

對于有范圍限制的排列組合問題，可以先退步思考，滿足題設條件，使限制范圍變得單一常規.再根據組合模式，尋找進一步的解題方法.

例3 將15個大小相同的小球放入標有“1,2,3,4”編號的盒子里，則每個盒子里放入的球的個數不小于該盒子的編號數的放法一共有多少種.

圖1

例4 已知M={1,2,3,…12},從集合M中任取4個數，要求這4個數中，至少有2個數相鄰，問共有多少種取法？

例5 一排共18個座位，A,B,C三人按如圖2方式入座：任意兩人之間至少有3個座位，且三人的順序是A在B與C之間，則不同的坐法共有多少種？

圖2

3 配位操作

對于“搭配”問題，可以先進行配位操作，使之成為一個“大單位”的“元素”，再按照常規思路考慮.

例6 有14個年輕人和5個老人站成一排，要求每個老人左右至少各有一個年輕人攙扶，問有多少種不同方法？

解析(1)先從14個年輕人中拿出10個，與5個老人左右搭配，做成5個“年輕人甲+老人+年輕人乙”模式的單位“人”；

(2)將上述5個單位的“人”，與剩余的4個年輕人全排列；

例7 公園里有3人坐在8把椅子上，坐好后，若每人的左右兩邊都要有空椅，則有多少種不同的坐法？

4 無為操作

對于有些題目，表面上看是有序排列問題，但深入細究，卻是組合問題.因為各個元素是相異的，本身就存在天然的次序.這就需要我們“無為而治”.相反地，如果真正“有為操作”，則會弄巧成拙.

5 筑巢操作

對于有些排列組合問題，單從表面思考，很難找到突破口.若我們將此問題放置在一個大的背景下思考，則會迅速迸發出思維的火花.給一個較難的問題，安置一個大背景，我們形象地稱之為“筑巢操作”.

例9 如圖3，在平面直角坐標系中，x軸正半軸上有5個點，y軸正半軸上有3個點.將x軸上這5個點與y軸上這3個點連成15條線段，這15條線段在第一象限的交點最多有多少個？

圖3

6 符號操作

對于題目所描述的現象，我們可以抽象為用數學符號來闡釋，把這一類操作稱為“符號操作”.它的好處在于能迅速建立操作與數學符號的有機聯系，為數學化解決問題做好鋪墊.

例10 如圖4，A,B,C,D,E站成一圈傳球，每人只能將球傳給其左右相鄰兩人中的一人.由A開始傳出(算作第一次)，經過10次傳球又回到A的傳球方式共有多少種？

圖4

解析記向左傳為“+1”，向右傳為“-1”.由A開始傳出10次球后，又回到A，就是在10個“1”前面添加正號或負號，使其代數和為10，或0，或-10.

(1)當代數和為“10” 時，全是“+”，有1種；

(2)當代數和為“-10”時，全是“-”，有1種；

綜上所述，滿足題意的傳球方式有：1+1+252=254種.