基于FTA的齒輪與軸過盈聯接失效影響參數分析＊

龔青山 徐 昊 郭慶賀 呂 江 曹占龍

（①湖北汽車工業學院機械工程學院，湖北 十堰 442000；②東風汽車有限公司刃量具廠，湖北 十堰 442000）

過盈聯接結構簡單，無需使用螺釘、鍵或銷等其他緊固件來聯接，可避免因附加緊固件引起的應力集中問題，且承載能力高、定心精度好，廣泛應用于齒輪與軸之間的聯接[1]。齒輪和軸過盈聯接的可靠性受諸多因素影響，找出過盈聯接失效的關鍵影響因素并合理地設計各個影響參數，對增加過盈聯接可靠性尤為重要。

近年來，國內外學者針對過盈聯接可靠性問題進行了一定的研究并取得了一些研究成果。孫玲芳[2]使用Abaqus對機車輪對進行有限元建模，針對不同的裝配過程分析了空心度和過盈量對應力的影響，優化出合理的空心度和過盈量范圍。Paredes M[3]用有限元法對過盈聯接緊固件進行了研究，討論了過盈量和摩擦因數對軸向載荷損失的影響，找到了軸向壓力及其載荷損失的變化規律。王挺等[4]研究了齒輪和軸因壓裝不當而產生輪軸接觸面劇烈受損的問題。周鶴群等[5]人采用有限元法對傳動軸過盈聯接進行了精確分析，把傳動軸和厚壁圓柱過盈裝配進行理論計算并分析了離心力對過盈配合的影響。鄒淵等[6]人研究了過盈聯接時齒輪和預應力的關系，最終得出了齒輪內徑、過盈量和預應力三者的關系式。Oswald F B等[7]研究了過盈聯接對軸承壽命的影響。張金煜等[8]通過對高速動車組輪對壓裝過程的仿真，探討了壓裝過程中輪軸的應力、應變及變形特征。楊廣雪等[9]建立了過盈配合的微動損傷有限元模型，分析了不同參數對過盈聯接微動損傷的影響。但對于齒輪與軸過盈聯接失效問題研究較少，且目前大多數過盈參數仍使用經驗法來設計，缺乏可靠的檢驗及設計工具。因此，探究一種質量工具來科學設置過盈參數對提高輪軸過盈聯接可靠性意義重大。

針對齒輪與軸過盈聯接發生的齒輪斷裂失效問題，擬采用故障樹分析法（fault tree analysis, FTA）這一質量工具來建立齒輪軸過盈聯接系統故障樹，找出影響齒輪斷裂失效的主要影響因素，并分析各影響因素對齒輪軸過盈接觸時Von Mises應力的影響規律，為齒輪軸過盈聯接時發生齒輪斷裂失效問題診斷和預防提供理論支撐。

1 輪軸過盈聯接問題描述及計算

1.1 輪軸過盈裝配應力及位移的理論計算

當齒輪與軸過盈裝配時，由于齒輪與軸之間存在過盈量，導致齒輪的內徑擴大，軸的外徑被擠壓縮小，過盈接觸面會產生垂直向上的正壓力，進而在輪軸接觸面產生摩擦力來轉遞扭矩和軸向力。齒輪與軸過盈配合與軸的運動狀態有關，當軸低速運轉時，離心力對齒輪與軸過盈配合的影響可以忽略不計；但對于高速旋轉，離心力對齒輪與軸過盈配合的影響至關重要[10]。因此，齒輪和軸在過盈裝配時不僅要滿足軸可以傳遞靜態扭矩，而且要考慮軸在動態傳動時不會打滑掉載。齒輪和軸之間的過盈配合面簡化為如圖1所示。

圖1 齒輪和軸過盈聯接簡化模型

齒輪的應力分量和位移為[11]

式中： σr為徑向應力； σθ為周向應力；Ra為軸的半徑；Rt為齒輪齒頂圓半徑；R為接觸半徑到齒頂圓直徑之間的任意半徑。

記軸任意位置處的徑向位移為u，則有

化簡可得

式中：E為彈性模量； μ為材料的泊松比；p為過盈配合產生的內應力。

1.2 齒輪軸壓裝過盈量的確定

1.2.1 最小過盈量計算

能正常傳遞載荷而不發生掉載所需的最小裝配壓力為

式中：T為傳遞轉矩；df為結合直徑；lf為結合長度；μ為結合面摩擦系數。

齒輪與軸的直徑比分別為

式中：qa為齒輪直徑比；qi為軸直徑比；da為齒輪外徑；di為軸內徑。

齒輪與軸傳輸扭矩所需最小直徑變化量為

式中：Ea為齒輪的彈性模量；Ei為 軸的彈性模量。

式中：va為齒輪的泊松比；vi為軸的泊松比。

傳遞載荷所需的最小有效過盈量為

1.2.2 最大過盈量計算

齒輪和軸不發生塑性變形所能承受的最大裝配壓力為

式中： σsa為 齒輪的屈服強度； σsi為軸的屈服強度。

齒輪與軸未變形所能承受的最大裝配壓力為

齒輪與軸未變形所能承受的最大直徑變化量為

齒輪與軸未變形所能承受的的最大過盈量為

2 齒輪軸過盈聯接系統故障樹分析

2.1 故障樹的建立

故障樹分析法是可靠性分析方法中非常重要的分析工具，它通過故障樹模型來表達各個影響因素之間的聯系。該方法把系統出現的問題放在故障樹的最上面，作為其頂事件，然后從頂端到底端逐步分析故障因果邏輯關系，逐層找到系統發生故障的所有因素及各個因素的組合[12]，從而能夠有針對性地去解決問題。下面對齒輪與軸的過盈聯接系統建立系統故障樹模型，對可能引起齒輪斷裂失效的所有因素進行全方位分析。齒輪與軸過盈聯接失效故障樹見圖2所示。

圖2 齒輪與軸過盈聯接失效故障樹

2.2 故障樹定性分析

故障樹的定性分析可以找到導致系統頂事件發生的全部因素，將所有因素及因素組合的最小集合稱為最小割集[13]。從頂事件問題開始，遵循從上到下逐步分析的基本原則，或門提高最小割集的個數，與門增大最小割集的容量，一直擴展到所有的基本因素把全部的邏輯門所取代，然后用布爾代數規則得到總的最小值。

式中： T 為齒輪與軸過盈聯接失效； X1為工人師傅操作失誤； X2為過盈量選取不合理； X3為摩擦因數選取不合理； X4為壓裝速度不合理； X5為材料型號選擇不合理； X6為材料加工工藝誤差； X7為輪軸接觸面形狀誤差； X8為齒輪與軸裝配偏差； X9為齒輪廠家生產質量缺陷； X10為傳遞最大扭矩誤差。

2.3 故障樹定量分析

故障樹的定量分析通常采用獨立事件的概率公式來計算頂事件發生的概率。假設用A和B來代表成功事件，則故障樹系統中的OR門（如圖3所示）實際上表示的是所有成功事件的集合[14]。兩事件或門故障樹結構的概率關系為

圖3 或門故障樹

或門結構對應的故障樹框圖如圖4所示。

圖4 或門故障樹框圖

事件的邏輯關系式為

如果所有基本事件互不相干，那么輸出事件的概率就是所有原因發生概率的總和。

通過對某公司輪軸過盈裝配車間現場實際生產數據收集和分析，計算出齒輪軸過盈聯接系統故障樹底事件的故障概率如表1所示。

表1 齒輪軸過盈聯接系統故障樹基本事件概率表

底事件中任何一個事件單獨發生，都有可能導致齒輪和軸過盈聯接失效，造成齒輪斷裂。采用概率公式來計算頂事件齒輪軸過盈聯接齒輪斷裂失效的概率，如式（18）所示。

式中： φ (T)為頂事件；qi為底事件概率；n為底事件數量。

由式（18）和FreeFta故障樹分析軟件可以得到，齒輪和軸過盈聯接失效故障的頂事件概率為φ(T)=0.03，即每100對齒輪與軸過盈聯接大約有3對會發生聯接失效問題。

2.4 輪軸過盈聯接系統失效各事件重要度分析

齒輪與軸過盈聯接系統故障樹各底事件對頂事件發生的影響程度不同，所以需要對輪軸過盈聯接系統故障樹進行重要度分析，找出造成系統發生失效的關鍵影響因素。齒輪與軸過盈聯接系統故障樹的重要度分析分為關鍵重要度分析和概率重要度分析。

關鍵重要度指底事件概率變化率引起的頂事件概率變化率，它能夠反映出事件經過改善以后對系統的影響程度，其計算公式如式（19）所示。

概率重要度表示系統故障樹底事件的概率發生變化時對其頂事件的影響程度，計算公式如（20）所示。

式中：PT為頂事件失效率；Pi為底事件失效率。

根據式（19）和式（20）計算齒輪與軸過盈聯接系統故障樹中底事件的關鍵重要度和概率重要度。由于建立的齒輪與軸過盈聯接系統失效故障樹只有串并聯，所以概率重要度與關鍵重要度的趨勢一致[15]。故只需要計算關鍵重要度，如表2所示。

表2 底事件的關鍵重要度

從表中可以看出：造成頂事件“齒輪軸過盈聯接失效”的事件X2“過盈量選取不合理”的關鍵重要度最高，是結構中的關鍵環節，故在設計其結構時要特別關注，避免失效造成齒輪壓裝斷裂失效；其次事件X3“摩擦因數選取不合理”、事件X4“壓裝速度不合理”、事件X7“輪軸接觸面形狀誤差”及事件X8“齒輪與軸裝配偏差”關鍵重要度較高，故為了更好地避免系統過盈聯接失效情況的發生，有必要研究過盈量、摩擦因數、壓裝速度、裝配偏差及形狀誤差對齒輪與軸過盈接觸時Von Mises應力的影響規律。

3 齒輪與軸過盈聯接案例

下面對某公司變速箱中間軸齒輪過盈聯接案例進行分析，其中傳遞轉矩：T=2 500 N·m；齒輪外徑：da=99.6 mm，中間軸內徑：di=30 mm，結合長度：lf=84.2 mm，結合面摩擦系數μ=0.08，結合直徑：df=70.5 mm，彈性模量：E=20 600 N/mm2，泊松比：Va=0.3。將數據代入式（8）和式（13），可得出過盈量范圍 δe=0.073～0.527 mm。然后采用ANSYS Workbench對齒輪與軸過盈聯接系統進行瞬態動力學分析，討論了過盈量、摩擦因數、壓裝速度、裝配偏差及形狀誤差對齒輪軸過盈接觸時Von Mises應力的影響規律。變速箱齒輪軸裝配總成及齒輪壓裝斷裂失效場景圖如圖5和圖6所示。

圖5 變速箱齒輪軸裝配總成

圖6 齒輪壓裝斷裂失效

3.1 有限元模型建立

有限元仿真計算是在三維實體模型的基礎上進行的。結合某變速箱中間軸和齒輪的具體參數，先在三維軟件中建立了變速箱內部齒輪及部分中間軸（與其齒輪裝配在一起的部分）的三維立體模型，如圖7所示，進而將其放入有限元軟件中對其進行瞬態動力學研究，在DesignModle界面對其中間軸齒輪系統模型進行簡化處理來降低運算量，如去除不必要的倒角。在Mechanical界面中建立有限元模型，采用Solid187單元類型劃分網格，如圖8所示。大約有280 000個單元和420 000個節點，模型材料采用合金結構鋼20MnCr5。創建輪軸接觸對時選擇有摩擦接觸對來更貼合實際工況，同時將中間軸的端面設置全約束，在齒輪的端面施加位移載荷，同時設置兩個求解步驟，最終完成對變速箱中間軸齒有限元模型的建立。

圖7 齒輪和軸裝配實體模型

圖8 齒輪和軸裝配體網格劃分

3.2 過盈量對壓裝過程的影響

采用改變單一變量的試驗方法，控制中間軸齒輪結合面摩擦因數為0.1，系統裝壓速度為1.5 mm/s不變，忽略輪軸裝配偏差和形狀誤差的影響，依次設置裝配過盈量為 0.073 mm、0.310 mm、0.527 mm，探討系統過盈接觸應力隨著輪軸壓裝深度改變的分布情況。在圖9中可以清晰地看出Von Mises應力曲線走勢規律，影響應力數值主要與輪軸壓裝過盈量的大小有關。當系統裝配盈量設置越大時，Von Mises應力也就越大?？傮w上來看，應力分布的趨勢基本保持一致。

圖9 不同過盈量下 Von Mises應力軸向分布情況

控制其他影響因素不變，圖10給出了不同過盈量下的中間軸齒輪裝配曲線。明顯看出，系統裝配過盈量與壓裝力幾乎成正比，但對曲線總體變化趨勢影響很小。

圖10 中間軸齒輪裝壓曲線圖

3.3 摩擦因數對壓裝過程的影響

控制中間軸齒輪系統裝配過盈量為0.310 mm，系統裝配速度為1.5 mm/s不變，忽略輪軸裝配偏差和形狀誤差的影響，依次選取中間軸齒輪結合面摩擦因數為0.1、0.15、0.2，分析系統結合面Von Mises應力與輪軸壓裝深度的變化規律。如圖11所示中間軸齒輪結合面摩擦因數對Von Mises應力有一定的影響。

圖11 不同摩擦因數下 Von Mises應力軸向分布情況

3.4 壓裝速度對壓裝過程的影響

控制中間軸齒輪裝配過盈量為0.310 mm，系統結合面摩擦因數為0.15不變，忽略輪軸裝配偏差和形狀誤差的影響，選取輪軸裝配速度1.5 mm/s和3 mm/s。不同裝配速度下輪軸 Von Mises應力的軸向分布曲線如圖12所示，2種壓入速度下，齒輪軸接觸面的Von Mises應力曲線基本完全一致。所以，齒輪壓裝速度對齒輪軸應力基本沒有影響。

圖12 不同壓裝速度下 Von Mises應力軸向分布情況

3.5 裝配偏差對壓裝過程的影響

控制中間軸齒輪裝配過盈量為0.527 mm，系統結合面摩擦因數為0.1，壓裝速度選取1.5 mm/s不變，忽略輪軸接觸面形狀誤差的影響，針對中間軸與齒輪在壓裝過程中存在的中間軸位姿偏差進行了分析。中間軸的位姿偏差如圖13所示，中間軸的軸線和齒輪孔軸線之間的夾角為θ，依次設置θ為0°、0.10°、0.20°時，探討系統過盈接觸應力隨著輪軸壓裝深度改變的分布情況，結果如圖14所示，當夾角θ增大時，輪軸接觸Von Mises應力也隨之增大，且影響顯著。

圖13 中間軸位姿偏差

圖14 不同裝配角度誤差下 Von Mises應力軸向分布情況

3.6 形狀誤差對壓裝過程的影響

在實際加工過程中，中間軸的外圈可能出現形狀誤差有3種情況，如圖15所示。

圖15 中間軸外表面的 3 種形狀誤差

圖中 Δ表示圓柱度數值，e為過盈量?？刂戚嗇S裝配過盈量為0.527 mm，系統結合面摩擦因數為0.1，壓裝速度選取1.5 mm/s，圓柱度數值 Δ為0.2不變，忽略輪軸接觸面裝配誤差的影響，討論不同形狀誤差對輪軸接觸應力的影響，結果如圖16所示，當中間軸存在鼓形、錐形形狀誤差時，相比理想形狀時接觸應力明顯增大。但當中間軸存在凹形誤差時，接觸面面積減小，滑動摩擦力將減小，從而輪軸接觸應力也將減小。

圖16 不同形狀誤差下 Von Mises應力軸向分布情況

4 結語

通過故障樹分析法找出齒輪與軸過盈聯接失效的各種影響因素，并對其進行重要度分析找出其關鍵因素，進而針對這些關鍵影響因素對齒輪與軸的裝配過程進行瞬態動力學分析，模擬齒輪與軸壓裝的動態過程，通過分析壓裝過程中壓裝力和輪軸接觸面上Von Mises應力的變化規律，得出以下結論：

（1）齒輪與軸過盈聯接系統失效的主要影響因素為過盈量、摩擦因數、壓裝速度、齒輪與軸的裝配偏差以及接觸面存在的形狀誤差。

（2）輪軸接觸應力受過盈量、摩擦因數、裝配偏差和形狀誤差影響較大，壓裝速度對其幾乎沒有影響，但對應力分布的趨勢影響都很小。

（3）采用故障樹分析法，建立系統故障樹進行綜合評判，為輪軸過盈聯接失效問題診斷和預防提供了有效的分析途徑。