基于Levy-SSA的分數階PID控制方法*

李雅梅,張 恒

(遼寧工程技術大學 電氣與控制工程學院，遼寧 葫蘆島 125105)

0 引 言

隨著工業控制精細化要求的逐漸提高，分數階比例—積分—微分(PID)控制方法因其在控制精度以及控制范圍上的優勢而逐漸得到了廣泛的應用。分數階PID控制方法雖然具有非常優良的控制性能，但是其五個參數整定問題一直是影響其工作性能優良與否的最大因素。目前，對于分數階PID整定方法主要包括有，相位裕量以及幅值裕量法、主導極點法以及智能算法整定方法等[1]。對于相位裕量以及幅值裕量和主導極點分數階PID參數整定方法雖然目前應用較多，但是對于復雜控制系統，其計算相對復雜且自適應能力較差，因而智能算法整定方法因其自適應能力強且不需要人工計算等優勢而得到了廣泛的研究[2～4]。對于分數階PID參數智能算法整定控制方法，相關研究人員已經提出不少方法[5,6]，但大多存在迭代收斂速度慢，求解精度低，以及易早熟的問題。

針對傳統智能算法分數階PID整定方法所存在的各種問題，以及為提高整定精度[7]，本文提出一種對原始麻雀搜索算法(sparrow search algorithm,SSA)預警機制進行萊維(Levy)隨機步長改進,以減小算法陷入局部解概率;以及對原始SSA發現者粒子更新方式引入全局最優位置,以提高算法的迭代速度的Levy-SSA的分數階PID整定方法;并結合實驗驗證了所提方法在對實際系統控制過程中的有效性與優越性。

1 分數階PID控制方法

分數階PID控制是一種在原始的PID控制中引入積分階與微分階參數的一種控制方法[8]，其具體表達形式如式(1)所示

G(s)=kP+kI·s-λ+kD·sμ

(1)

式中kP為比例參數,kI為積分參數,λ為積分階參數,kD為微分參數,μ為微分階參數。由此分數階PID參數整定也主要是整定上述5個參數。對于傳統PID,實際上是可以看成分數階PID的一種特例，而分數階PID相對于傳統PID控制方法的優勢，也在于積分階與微分階參數可以連續調節，進而實現更精準的控制。

本文對于分數階PID控制采用的是G-L定義方式。由此，給出分數階PID控制器的離散化方程具體如式(2)所示

(2)

式中em與um分別為控制器輸入與輸出，h為計算步長，該參數主要影響控制器近似程度，即越小精度越高，q-λ,j與qμ,j可用式(3)表示

(3)

2 Levy-SSA建模

SSA是于2020年提出的模擬麻雀覓食行為的一種優化算法，這種算法由于引入了發現者、追隨者與隨機預警機制，使其在耐早熟能力以及求解迭代速度等方面具有非常優良的性能。但原始的SSA發現者粒子在更新過程中搜索范圍是逐漸減小的，從而嚴重影響了算法的迭代收斂速度；另外，原始算法陷入局部解的可能性也很大。針對這些問題，本文提出一種Levy-SSA優化算法，算法具體建模過程如下。

首先，對于維數為D,群體個數為N的算法，可初始化其種群為X=(X1…Xi…XN)，具體個體可表示為Xi=(xi1…xii…xiM)，所以對于群體中發現者粒子的更新方式可按式(4)進行

(4)

式中Xbest(t)為當前最優位置，R與α均為服從0到1之前隨機分布的隨機數，t為當前迭代次數，ITERmax為最大迭代次數，ST為0.5～1之間的數，Q服從標準正態分布，W為確定維數的單位向量。所以由此可知，此時發現者粒子在警戒值較小時會向著全局最優位置移動，從而使得算法的迭代速度加快。對于算法中追隨者粒子更新方式與原算法相同，具體按式(5)進行

(5)

式中A+按式(6)進行計算

A+=AT(AAT)-1

(6)

最后是種群中隨機預警粒子，其更新方式引入Levy隨機步長，具體更新按式(7)進行

Xi(t+1)=

(7)

式中η為隨機步長，本文經過多次實驗，取值為0.51，對于Levy(ξ)為滿足式(8)約束的隨機搜索路徑[9]

(8)

式中u，v服從標準的正態分布，對于φ計算如式(9)所示

(9)

由此，當隨機選擇的預警粒子當前位置處于最優時，則按Levy飛行機制進行更新，從而提高算法搜索范圍，進而減小算法發生早熟的概率。由此對于所提算法的具體流程如圖1所示。

圖1 算法運算流程

3 Levy-SSA分數階PID參數整定方法

Levy-SSA分數階PID對于實際系統控制過程圖如圖2所示。即首先利用Levy-SSA對分數階PID的5個參數進行優化選擇，隨后利用優化后的分數階PID控制器對實際系統進行控制[10]。

圖2 控制過程

對于圖2中的適應度函數，本文選擇使用如式(10)所示的時間誤差絕對值函數作為分數階PID控制器5個參數優化選擇過程中的適應度函數

(10)

式中T為采樣周期大小，N為總采樣次數以及e(k)為第k次采樣誤差。

4 實驗驗證

為驗證Levy-SSA分數階PID控制方法的有效性，本文針對如式(11)所示的一階系統與二階延時系統給出了分別利用粒子群優化(particle swarm optimization,PSO)算法、SSA以及Levy-SSA對于分數階PID的5個參數的計算結果

(11)

對于三種算法參數設置具體如下：設置PSO，c1與c2均為1.5,慣性因子w為0.5;設置SSA，ST為0.8，隨機預警粒子與發現者粒子個數均為種群總數的20 %；設置Levy-SSA其他參數與SSA一樣，ξ為1.47。以上算法種群個數均設置為20，迭代100次。另外設置被控系統G1(s)PID參數優化區間為[0,200]，分數階區間為[0,1.5]，對G2(s)PID參數優化區間為[0,500]，分數階區間為[0,1.5]。本文利用上述算法對分數階PID參數分別進行計算20次取平均值所得出的運算結果如表1所示。

表1 運算結果

由表1給出的計算結果中的ITAE值可以看出：基于Levy-SSA的分數階PID控制方法在對被控系統進行控制過程中，控制精度高于其他兩種方法。另外由給出的上升時間tr也可以看出：所提方法在控制過程中被控系統達到穩定的速度也相對較快。給出三種方法對兩種被控系統控制輸出曲線與運算迭代結果分別如圖3與圖4所示。

圖3 G1(s)系統運算結果

圖4 G2(s)系統運算結果

由圖3與圖4給出的計算結果圖可以看出：所提出的Levy-SSA在計算收斂速度上相對其他兩種算法有著明顯的優勢，同時在對被控系統的控制上有著非常優良的控制效果。綜上，以上實驗計算結果充分顯示了本文所提方法具有非常好的應用前景。

最后，為了驗證所提方法對于分數階模型控制的有效性，本文利用所提方法對如式(12)所示的分數階模型，進行了優化控制。具體優化輸出效果如圖5所示，優化得到的5個參數分別為291.39,41.741,181.21,0.5406 1以及1.968 8。由此驗證了所提方法對于分數階模型控制的有效性，進而驗證了所提方法的普適性

圖5 分數階模型控制效果

(12)

5 結 論

為提高分數階PID參數整定的精度，本文提出了一種基于Levy-SSA的分數階PID參數整定方法。

1)針對原始SSA所存在收斂速度低以及易早熟問題，本文提出了一種Levy-SSA，即同時引入全局最優位置對發現者粒子更新方法進行改進計算，以及Levy隨機步長對預警粒子更新方法進行改進計算，有效提高了算法的收斂速度與抗早熟能力。

2)利用基于Levy-SSA的分數階PID控制方法對實驗系統進行控制，通過給出的計算結果驗證了所提方法在計算精度、迭代速度以及控制效果等方面的優勢。