多途徑搭建平臺，發(fā)展空間觀念
——“由三視圖描述幾何體”的教學(xué)及其思考

樊貞慧（浙江省寧波市第七中學(xué)）

空間觀念是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）提到的核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。空間觀念的內(nèi)涵包含了“根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象并表達(dá)物體的空間方位和相互之間的位置關(guān)系”，《標(biāo)準(zhǔn)》不僅將發(fā)展空間觀念作為核心概念和目標(biāo)，同時(shí)也在三個(gè)學(xué)段都重視了發(fā)展學(xué)生空間觀念的內(nèi)容設(shè)置。長久以來，傳統(tǒng)的教學(xué)方式往往停留在機(jī)械式地呈現(xiàn)立體圖形，缺少合理的組織方式，使“發(fā)展學(xué)生的空間觀念”流于形式。如何有效利用教材內(nèi)容發(fā)展學(xué)生的空間觀念？筆者認(rèn)為應(yīng)當(dāng)合理運(yùn)用現(xiàn)實(shí)情境和學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，利用多種途徑搭建平臺。下面以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）“3.3 由三視圖描述幾何體”一課的教學(xué)為例，具體闡述對“空間觀念”的教學(xué)過程與思考。

一、教材分析

教材在第3章“投影與三視圖”中安排了4節(jié)課內(nèi)容來學(xué)習(xí)。本節(jié)課是在學(xué)生已有投影、畫簡單幾何體的三視圖的基礎(chǔ)上，反過來從三視圖想象幾何體或?qū)嵨锬Ｐ汀Ｓ捎诳臻g圖形是三維的，而平面圖形是二維的，從二維圖形向三維圖形轉(zhuǎn)換，對學(xué)生的空間想象力和推理能力有較高的要求。因此，本節(jié)課既要借助直觀使學(xué)生對抽象圖形有形象的感受，又要進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，為學(xué)生學(xué)習(xí)高中立體幾何打下基礎(chǔ)。本節(jié)課具有承前啟后的重要作用，也是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要載體。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：學(xué)會根據(jù)三視圖描述出簡單幾何體的形狀或?qū)嵨镌停唤?jīng)歷探索簡單幾何體的三視圖還原為幾何體的過程，進(jìn)一步發(fā)展空間想象力；讓學(xué)生學(xué)會關(guān)注生活中有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，在探索中養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)思維的習(xí)慣，獲得成功的體驗(yàn)。

二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

上課伊始，筆者利用多媒體演示如下問題：如圖1，你能根據(jù)以下信息制作這個(gè)幾何體模型嗎？長方體的長為20 cm，寬為10 cm，高為10 cm；圓柱底面半徑為5 cm，高為10 cm。

圖1

【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)情境的主要目的是體現(xiàn)由三視圖描述幾何體的必要性。在教學(xué)片斷中創(chuàng)設(shè)了這樣的情境：給出一個(gè)由圓柱體和長方體組合而成的幾何體，雖然給出了圓柱體和長方體的數(shù)據(jù)，但是由于未明確給出圓柱體在長方體上的確切位置，使得學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些信息不足以描述該幾何體，從而引發(fā)學(xué)生思考：是否有更好的方法描述這個(gè)幾何體？

接著，筆者介紹在實(shí)際生活中家具、汽車的建造往往從三視圖開始設(shè)計(jì)，體現(xiàn)三視圖描述的廣泛性和實(shí)用性，再次提出問題：如何根據(jù)三視圖想象幾何體？

【設(shè)計(jì)意圖】提出問題“能否確切描述幾何體”，讓學(xué)生初步感受三視圖描述幾何體的優(yōu)越性，再通過三視圖在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，啟發(fā)學(xué)生思考如何利用三視圖描述幾何體，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和強(qiáng)烈的求知欲望。

2. 合作學(xué)習(xí)，探索規(guī)律

筆者出示教材中的“合作學(xué)習(xí)”，讓學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行合作交流，然后由小組學(xué)生代表進(jìn)行個(gè)別回答，筆者追問：你是如何推斷的？幫助學(xué)生逐步體會從三視圖推斷幾何體的方法。

這里，對每組三視圖采用的策略是：學(xué)生描述推斷過程—電腦驗(yàn)證—共同歸納方法。最后，學(xué)生談體會，從中歸納出由三視圖描述幾何體的一般方法：視圖想象、綜合定形和確定尺寸位置。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過獨(dú)立思考，再進(jìn)行合作探究，往往會形成學(xué)生自己的個(gè)人經(jīng)驗(yàn)。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師通過追問學(xué)生如何推斷來暴露學(xué)生的思考過程，進(jìn)而固化為經(jīng)驗(yàn)，再上升到方法，從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，符合學(xué)生的心理特點(diǎn)，也體現(xiàn)了學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知過程。

為了鞏固學(xué)生體會的經(jīng)驗(yàn)和獲得的方法，教師設(shè)計(jì)練習(xí)：如圖2，根據(jù)兩組三視圖推斷幾何體。

圖2

【設(shè)計(jì)意圖】雖然給出兩組不同的三視圖，但是認(rèn)真思考可以發(fā)現(xiàn)兩組三視圖描述的是同樣的幾何體——直三棱柱，使學(xué)生感受“不同的三視圖，可能表達(dá)的是同一幾何體的不同擺放方式”。通過練習(xí)，學(xué)生進(jìn)一步熟悉了由三視圖推斷幾何體的方法，同時(shí)也為后續(xù)練習(xí)做了較好的鋪墊。

3. 視圖計(jì)算，體現(xiàn)應(yīng)用

學(xué)生利用已有經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)如圖3所示的三視圖，推斷其表示的幾何體，再結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算側(cè)面積，同時(shí)歸納出計(jì)算直棱柱側(cè)面積的方法，即底面周長×高。

圖3

【設(shè)計(jì)意圖】給出視圖尺寸，將三視圖與物體更緊密地聯(lián)系起來，進(jìn)一步鞏固了由三視圖推斷幾何體的方法，體現(xiàn)了三視圖描述幾何體的特點(diǎn)。

接著，筆者給出如下配套練習(xí)。

練習(xí)1：如圖4，推斷三視圖表示的幾何體，并計(jì)算側(cè)面積。

圖4

練習(xí)2：用相同大小的小立方塊搭幾何體，它的主視圖和俯視圖如圖5 所示，這樣的幾何體需要幾塊小立方體？

圖5

練習(xí)3：用6個(gè)相同的小立方塊搭幾何體，它的俯視圖如圖6所示，能搭多少種不同的幾何體？

圖6

【設(shè)計(jì)意圖】三個(gè)練習(xí)依次遞進(jìn)。練習(xí)1 給出了三個(gè)視圖，推斷幾何體并計(jì)算側(cè)面積，需要學(xué)生對范例進(jìn)行模仿；練習(xí)2 給出兩個(gè)視圖，推斷幾何體，學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何體有多種情況；練習(xí)3 給出一個(gè)視圖，并通過同一個(gè)幾何體的不同放置方式與上述內(nèi)容聯(lián)系起來。三個(gè)練習(xí)從“三視圖—二視圖—一視圖”，難度逐步提高，挑戰(zhàn)學(xué)生思維。

4. 寓教于樂，拓寬視野

筆者給出如下游戲：有一個(gè)人，收藏了三只形狀各異的瓶子，它們的瓶口形狀分別如圖7 ～9 所示。現(xiàn)在他想做一只瓶塞，對三個(gè)瓶子都適用，能做到嗎？發(fā)揮你的想象力，用橡皮泥嘗試設(shè)計(jì)。

圖7

圖8

圖9

【設(shè)計(jì)意圖】不僅在生活中可以由三視圖描述幾何體，利用三視圖也能設(shè)計(jì)游戲。在練習(xí)中，主要以規(guī)則形狀描述幾何體。為了激發(fā)學(xué)生的深度思考，本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)為游戲形式，加大圖形的復(fù)雜程度，利用橡皮泥，讓學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)腦中鍛煉其動(dòng)手能力和空間想象力。

接著，筆者介紹數(shù)學(xué)史上著名的“牟合方蓋”，拓寬學(xué)生的視野。你能想象出三個(gè)視圖分別是兩個(gè)半徑相等的圓和一個(gè)正方形的幾何體嗎？“牟合方蓋”就是這樣的幾何體，并利用“牟合方蓋”找到了球體體積的計(jì)算方法。

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)中通過對“牟合方蓋”的欣賞，介紹我國古代數(shù)學(xué)家的成就，體現(xiàn)了三視圖的廣泛應(yīng)用，潛移默化地傳播了數(shù)學(xué)文化。

5. 總結(jié)歸納，反思課堂

根據(jù)三視圖描述簡單的幾何體，你有哪些方法或經(jīng)驗(yàn)？幫助學(xué)生整理方法。

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)的梳理由三視圖描述幾何體的方法和經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在思考整理中進(jìn)一步體會推斷幾何體的方法和經(jīng)驗(yàn)，并在相互交流分享中共同提高。

三、教學(xué)反思

本節(jié)課從“為什么要利用三視圖描述幾何體？如何利用三視圖描述幾何體？利用三視圖描述幾何體有哪些應(yīng)用？”三個(gè)方面循序漸進(jìn)地整體架構(gòu)教學(xué)，體現(xiàn)了幾何對象的研究規(guī)律，遵循了學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的特點(diǎn)，注重發(fā)展學(xué)生的空間觀念，主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面。

1. 合理運(yùn)用現(xiàn)實(shí)情境和學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念

空間觀念的形成基于對事物的觀察和想象，而現(xiàn)實(shí)世界中的物體及其關(guān)系是學(xué)生觀察的最好材料，學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)也是觀察、想象、分析的基礎(chǔ)。在教學(xué)中，筆者給出學(xué)生熟悉的實(shí)物模型，讓學(xué)生感受使用三視圖描述幾何體的必要性，又通過現(xiàn)實(shí)生活中的汽車、家具等實(shí)物展示，通過觀察讓學(xué)生從現(xiàn)實(shí)模型感悟如何描述幾何體。

2. 搭建操作、思考和想象的平臺，發(fā)展空間觀念

發(fā)展學(xué)生的空間觀念有多種途徑，如生活經(jīng)驗(yàn)的回憶與再現(xiàn)、實(shí)物觀察與描述、擺拼與畫圖、折紙與展開、分析與推理，在教學(xué)中關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)匕才艑W(xué)生的活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中獲得切身的體驗(yàn)。通過三個(gè)層級遞進(jìn)的練習(xí)，從三視圖到二視圖再到一視圖，學(xué)生通過畫圖、思考和想象，感悟三視圖與幾何體之間的關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象力。

3. 及時(shí)梳理、歸納經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)化認(rèn)知，發(fā)展空間觀念

學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)不是一蹴而就的，它需要經(jīng)驗(yàn)的不斷積累和認(rèn)知的不斷強(qiáng)化。在本節(jié)課教學(xué)中，教材提供了三組根據(jù)三視圖想象幾何體的素材，學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)說出結(jié)果時(shí)，筆者及時(shí)追問怎么想的，通過學(xué)生思維過程的暴露不斷總結(jié)出有序思考的經(jīng)驗(yàn)：視圖想象、綜合定形和確定尺寸位置。在練習(xí)中，使學(xué)生感受“不同的三視圖，可能表達(dá)的是同一幾何體的不同擺放方式”。這些經(jīng)驗(yàn)有助于學(xué)生更好地認(rèn)識幾何體，強(qiáng)化對圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識，從而發(fā)展空間觀念。