模型觀念與應用意識：開展初中數學“綜合與實踐”的關鍵
——以七年級教學為例

范連眾，劉雪蓮，邢媛媛，高 婷

（大連市甘井子區教師進修學校，大連市匯文中學，大連市第十四中學）

人類社會從農業社會發展到工業社會，一直到當今的信息社會，人們對數學、對數學教育的認識、理解和要求都在不斷地發生變化。在信息社會，數學已不僅僅是思維、還是語言、更是文化，已經滲透到社會生活的方方面面，特別是它與計算機、工程技術等現代技術學科的結合，正為現實世界帶來巨大的變化。同時，信息技術的發展使數學學科從研究內容到研究手段，從研究思想到研究成果等方面都得到了新的發展機遇。《中國學生發展核心素養》要求發展學生的“關鍵能力”，這種“關鍵能力”可以比較集中地概括為用新技術獲取和處理信息的能力、主動探究能力、分析和解決問題的能力、合作交流能力、終身學習的能力等。

我國在2000 年頒布的《九年義務教育全日制初級中學數學教學大綱（試用修訂版）》中首次引入“探究性活動、實習作業”；2002年開始實施的《義務教育數學課程標準（實驗稿）》將“綜合與實踐”和“數與代數”“圖形與幾何”“概率與統計”一起，構成中學數學課程的四大學習主題，成為我國義務階段數學教育走向現代化數學教育的標志；2011年頒布的《義務教育數學課程標準（2011年版）》則強調數學課程要特別注重發展學生的應用意識，指出“在整個數學教育的過程中都應該培養學生的應用意識，綜合實踐活動是培養應用意識很好的載體”；《義務教育數學課程標準（2022年版）》將“綜合與實踐”賦予了更艱巨的任務，強調以項目式學習的方式，表現出跨學科學習的特點，這都表現出“綜合與實踐”發展的時代特征。

一、明確課程標準和教材中“綜合與實踐”的內容，正確理解課程內涵

在進行“綜合與實踐”的教學之前，教師先要洞察課程標準中“綜合與實踐”的內容要求演變。表1從概念界定、常見形式、內容要求三個維度對三版課程標準中的“綜合與實踐”進行比較，從中可以看出其演變過程。

表1 三版課程標準中“綜合與實踐”內容與要求演變過程

在此基礎上，教師要明確“綜合與實踐”的學習內容、課程目標、教學特征及現有教材中相關內容特點。

（一）明確“綜合與實踐”的學習內容

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中對初中學段的“綜合與實踐”提出了更明確的要求，就是在社會生活和科學技術的真實情境中，結合方程與不等式等具體的數學知識內容，經歷現實情境數學化，探索數學關系、性質與規律的過程；就是要用數學的思維方法，運用數學與其他相關學科的知識，綜合地、有邏輯地分析問題，經歷分工合作、試驗調查、建立模型、計算反思、解決問題的過程；就是要用數學的語言將現實問題轉化為數學問題，經歷用數學方法解決問題的過程。

由此可見，初中階段的“綜合與實踐”學習內容不是具體的數學知識點，而是表現出以真實的問題為載體，以解決問題為重點，以經歷過程為標志，以數學知識的應用為關鍵，以獲得活動經驗，發展創新意識和實踐能力為目標的思想方法特征。

（二）明確“綜合與實踐”的課程目標

初中階段“綜合與實踐”的課程目標，不是簡單地解決傳統意義的應用題，而是通過發現、提出、分析和解決問題的過程，使學生感悟數學知識之間、數學與其他學科知識之間、數學與科學技術和社會生活之間的聯系，積累數學活動經驗，體會數學的科學價值，發展應用意識、創新意識和實踐能力，進而逐步形成“會用數學的眼光觀察現實世界”“會用數學的思維思考現實世界”“會用數學的語言表達現實世界”的核心素養。作為四個課程領域之一，“綜合與實踐”課程目標應既服務于數學課程的總目標，同時又承擔著特有的使命。它包括幫助學生積累與條理化自身的數學活動經驗，特別是綜合運用數學知識、技能和方法分析問題、解決問題等方面的經驗；發展學生發現問題和提出問題的能力；幫助學生獲得分析問題、解決問題的基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識；發展學生與他人合作、交流的意識和能力；以及讓學生在活動過程中體驗獲得成功的樂趣、鍛煉克服困難的意志、建立自信，體會數學的應用價值。

（三）明確“綜合與實踐”的教學特征

基于“綜合與實踐”的內容特點和課程目標，其課堂教學表現出更鮮明的教學特征，即經歷數學學習、探究的過程；在與他人合作交流、解決問題的過程中，嚴謹、準確地交流，表達自己的觀點，形成批判性思維和創新意識。

1.注重問題特征

“綜合與實踐”的開展都是圍繞問題解決來進行，應表現出更強的探究性。無論是真實的實際問題，還是純數學問題，基本素材都應基于學生的現實，包括生活現實、數學現實、其他學科現實。問題應具有綜合性、開放性，有助于表現出學生思維的開放性、層級性。特別是要注意挖掘數學與其他學科的聯系，表現出跨學科解決問題的時代特點。

2.注重教學特征

“綜合與實踐”的一個顯著教學特征是重過程而非結果，包括使學生經歷獨立思考與合作交流的過程，經歷分析問題與解決問題的過程，經歷發現問題與提出問題的過程。另一個顯著教學特征是重個性化思考、方法，而非標準化程序、“最優化”解法。課堂上，教師更希望聽到學生這樣回答問題：我對問題的理解是……我的解決方法設計是……我還能想到……還有一個顯著教學特征是重方法而非知識。開展“綜合實踐”并非新知識學習，而是注重引導學生在建立數學建模的過程中發現數學關系，在從事數學探究過程中領悟探究的策略和方法的學習。

3.注重活動特征

“綜合與實踐”的主體是學生，其具備活動特征。教學中，應充分體現出學生活動的自主性。一般而言，活動過程主要包含：確定研究課題—設計解決方案—實施研究活動—撰寫研究報告—交流等。學生只有親身經歷發現與提出問題、分析與解決問題、反思與調整、概括與總結的全過程，才能積累數學活動經驗，提升數學素養。

4.注重評價特征

由于“綜合與實踐”的教學具有目標多元、過程內涵豐富、結果非標準等特點，對于學生從事“綜合與實踐”學習的行為評價絕非是簡單地打分所能完成的。通常，針對不同的活動形式（個人、團隊），評價的指標重心不盡相同。總體上應呈現指標多元化、行為描述化、結果等級化等基本特征。目的是激勵學生，使他們感受數學應用的廣泛性。

（四）明確現有教材中相關內容特點

現有的各版本教材中，已經設置了一些“綜合與實踐”的內容。如人教版、北師大版教材中的“數學活動”“課題學習”等欄目，內容上注意貼近學生生活和認識水平，可以讓學生體會數學思想，加深對數學的理解，開闊學生的視野，引領學生用數學的思考方式細致地觀察周圍生活。在教學中，教師同時需要將這些內容與學生自身實際生活相結合，充分挖掘學生身邊的相關內容，采用合理教學的方式，以更好地實現教學目標。

人教版七年級數學教材在各個章節的最后都安排了“數學活動”，為開展“綜合與實踐”提供了內容素材，其在各章節的常規教學中，也都注意所提問題來源于現實世界。如在七年級上冊第二章“整式的加減”之后安排了數學活動：分別從探索規律，實際應用和日歷表中的數字規律，引導學生綜合運用整式的相關知識解決數學問題和實際問題，進一步發展學生的數感和符號意識。在第三章“一元一次方程”的內容設計中，從基本概念的學習到方程的解法，實際問題背景貫穿始終，在此基礎上，教材還特意設計了“實際問題與一元一次方程”一節課，除了涉及傳統意義上的配套類、工程類應用題之外，還以當今社會真實的打折購物、球賽積分、電話計費為背景，設計了探究性學習活動。這一設計思路，在七年級下冊第八章“二元一次方程組”的學習中，得到了進一步地延續和發展，其第三節課設計的3 個實踐與探索內容，進一步發展了學生的模型觀念和應用意識。學生在社會生活和科學技術的真實情境以及數學知識的橫向聯系、縱向拓展中，結合方程（組）等具體的學習內容，經歷了現實情境數學化的過程，感悟了如何從數學的角度發現問題和提出問題，逐步形成了“三會”的核心素養。

二、厘清模型觀念與應用意識的內涵，暢通實施渠道

學生具備一定的模型觀念和應用意識是開展“綜合與實踐”的基本保障。教師只有厘清模型觀念與應用意識的內涵，通過扎扎實實的日常教學，才能暢通實施“綜合與實踐”的渠道。

（一）厘清模型觀念的內涵，合理建模

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》指出，在小學階段學生形成模型意識的基礎之上，學生在初中學段要形成模型觀念。教師對運用數學模型解決實際問題要有清晰的認識，要知道數學建模是數學與現實聯系的基本途徑；要使學生初步感知數學建模的基本過程，從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。模型觀念有助于學生開展跨學科主題學習，感悟數學應用的普遍性。

在七年級的數學學習中，方程、方程組、不等式、不等式組的學習都需要學生經歷用數學符號提煉現實生活中的等價關系和不等價關系的過程，方程就是用等號將相互等價的兩件事情聯系起來。方程只是闡述了一個事實本身，是一個沒有經過任何加工的事實本身，只是在說明兩件事情是等價的。方程模型觀念的核心在于建模、化歸。解一元一次方程就是最終將方程化歸為x=a的形式，即將含有未知數的項放到方程的一邊，將不含未知數的項放到方程的另一邊，就可以解出未知數的值，解的具體過程要用到四則運算。學生用自然語言闡述數學的事實，然后抽象成數學表達，最后用數學符號建立方程，解決問題，這正是建模的過程。

（二）厘清應用意識的內涵，解決問題

應用意識主要是指有意識地利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象與規律，解決現實世界中的問題。教師要使學生能夠感悟現實生活中蘊含著大量與數量和圖形有關的問題，可以用數學的方法予以解決；初步了解數學作為一種通用的科學語言在其他學科中的應用，通過跨學科主題學習建立不同學科之間的聯系。應用意識有助于學生用學過的知識和方法解決簡單的實際問題，養成理論聯系實際的習慣，發展實踐能力。

例如，七年級學生學會抽象——將關系抽象為數學符號，要經歷兩個過程，一個是抽象過程，一個是運算過程。這兩個過程都含有邏輯問題，每一步都不能出錯。列方程解實際問題需要學生具體問題具體分析，要在錯綜復雜的事實中，將最本質的東西抽象出來，同時在運算中遵循最佳的途徑，將復雜的問題簡單化，這種優化思想對于人的思維習慣的影響是深遠的。日常教學中，教師只有將這些工作做實，使學生具備一定的探究能力、模型觀念和應用意識，才能為開展“綜合與實踐”提供保證。

三、探索“綜合與實踐”的教學策略，助力課程實施落地

課堂上，設計恰當的問題情境和問題串引導學生學習是發展學生模型思想和應用意識的基本策略。好的問題情境能夠充分調動起學生原有的生活經驗和數學經驗，更能促使學生由情境引起數學意義上的思考。好的問題串在一般觀念的引領下，連貫系統，自然而然，可助力學生的數學學習。

人教版數學教材在七年級下冊第八章“二元一次方程組”中有這樣的安排：在學習完方程組的解法之后有一節探究活動，3 個探究問題既各具特色，又指向同一目標，使學生在經歷建模過程中感悟二元一次方程組的模型價值；經歷估算與精確計算的比較，體悟數學模型的應用價值。

（一）創設生活化的問題情境，幫助學生理解數學術語

借助生活場景來構建問題情境，既能夠使學生主動融入到熟悉的環境中，感受到數學知識與生活的聯系，強化對生活問題的探究動機，又能夠以生活問題為導向，使學生結合自身的生活經驗與認知，不斷感受蘊含在問題中的數學原理，建立數學世界與現實世界的聯結。學生運用已有經驗，化解對生澀的數學術語的理解，為探究活動的開展掃清障礙。以“探究活動二：面積劃分問題”為例，教師設計了下面的問題情境。

1.把一個長為200 m，寬為100 m 的長方形土地分成面積比為1∶3 的兩個長方形部分，可以怎么分？你能畫出示意圖嗎？

這一情境的設計意圖是從學生熟悉的學習經驗出發，在解決簡單數學問題的過程中使學生體會“怎么分”的數學表述，同時一題多解，減輕學生的心理壓力，助力教學難點的突破。

2.在一片面積為200 m2的土地上種植甲種農作物，已知該農作物的單位面積產量為10 kg/m2，則該土地的農作物總產量為________；

在一片面積為200 m2的土地上種植甲、乙兩種農作物，且種植面積相等，已知甲、乙兩種農作物的單位面積產量分別為10 kg/m2和30 kg/m2，則該土地的兩種農作物總產量為________。

這一情境的設計意圖是引導學生根據生活經驗，在解決簡單實際問題的過程中認識、分析陌生的實際問題背景，并能應用于實際問題，為探究活動提供方法經驗。

與此類似，在學習“探究活動三：方案決策問題”時，學生需要理解復雜的單位，為此教師設計了下面的情境。

某快遞公司發快遞的費用細則如下：每千米0.2元，每千克0.2元（kg·km）。

（1）1 kg 的貨物運送2 km，需要付________元的運費；

（2）2 kg 的貨物運送2 km，需要付________元的運費；

（3）已知A 市到B 市距離為30 km。若從A 市運送20 kg 的貨物到B 市，選擇該公司需付費用為__________元。

（二）注重思維發展規律，逐步喚醒學生已有的模型意識

經過小學階段和初中七年級上半學期的學習，學生已有了初步的模型意識。因此，熱身問題的設計需要能夠喚醒學生已有的模型意識，這就要求熱身題目必須起到“搭臺階”的作用，要既簡單、不擠占課堂時間，又為后續問題做準備。同時，熱身題要切中要害，直指問題本質，要啟發學生的模型意識。在“探究活動一：大牛小牛問題”中，教師創設了這樣的情境：

一種商品有大小瓶兩種包裝，3 大瓶、4 小瓶共裝 108 千克產品，2 大瓶、3 小瓶共裝 76 千克，那么 4大瓶、2小瓶能裝多少千克？

本題簡單易做，能有效地引發學生運用已有模型意識設未知數、找等量關系、列方程組，對接下來的探究活動產生了潛移默化地影響。美國課程理論家施瓦布指出，課程死氣沉沉，是由于課程研究者脫離了他們所研究的對象——實際教育情境。合適的問題情境能啟發學生的模型意識，聚焦研究問題的本質。情境的設計與使用是樹立模型觀念與發展應用意識的“起跑線”，是教學設計必須考慮的基本問題。

（三）圍繞核心問題設計階梯型問題串，引導學生感悟數學模型的應用價值

學生只有自己經歷建模的過程才能感悟數學模型的應用價值，這就要求與例題相關的問題串設計要有階梯性、條理性和啟發性，能促進學生自己找到等量關系、建立數學模型、厘清解題思路。同時，教師也要通過問題串強化學生的模型意識，進而轉化成模型觀念。對于“大牛小牛問題”，教師在出示例題之后，可以提出以下問題串并引導學生思考。

1.（緊跟熱身問題，針對例題再次提出）“包含哪些相等關系？”“你都能直接求出哪些量？”（引導學生找到建模依據，建立數學模型）

2.“怎樣檢驗李大叔的估計呢？”（體會運用模型觀念解決問題）

對于“面積劃分問題”，教師將產量比的關系改為相等關系，重在引導學生體會用方程組模型描述相等關系，之后再給出單位產量之比和總產量之比，更合適學生現有的知識水平。

據統計資料，甲種作物的單位面積產量是10 kg/m2，乙種作物的單位面積產量是30 kg/m2，現要把一塊長200 m，寬100 m 的長方形土地，分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物。怎樣劃分這塊土地，能使甲、乙兩種作物的產量相等？

在“方案決策問題中”，教師設計了下面的問題串，引導學生學會分析問題。

1.從題目敘述中你直接獲取了哪些信息？請有條理地表述出來。

2.怎樣理解“這批產品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元？”我們必須知道哪些量？

3.你能先列表梳理已知量，進而計算出運輸費用，再列出方程組嗎？

階梯型的問題串設計，可引導學生逐步認識到問題的本質，使其學會分析問題的一般方法，為問題解決創造條件。

（四）設計引發學生深入思考的課后討論題，促使學生應用數學模型

現實生活中的問題復雜多變，在很多實際問題中，我們無法進行精確統計，但可以忽略掉無關或不關鍵因素，抽象出數量和關系，并運用數學模型這種語言進行表達、計算、分析和預估，這對學生來說是非常重要的數學素養。所以，設計的問題要能促使學生樹立模型觀念，產生應用數學模型的愿望。因此，課后討論問題的設計也充分體現了教師的教學格局和教育智慧。在“大牛小牛問題”的課后討論中，教師提出這樣的問題：“實際生活中，還有這樣用估計進行計算的實例嗎？”

這一問題的提出意在使學生了解生活中還有很多需要估計的實例，知道雖然無法具體精確統計數據，但考慮到測量誤差和實際操作中的損失等因素，可以對總體情況進行比較準確地估計，如家里裝修時提前估計所需材料及數量就可以少跑路，少花錢；食堂提前估計用餐人數就可以在既提供服務的同時又節約成本。這一問題還能促進學生理解模型的廣泛應用，使他們利用數學模型進行初步預測和估計。此外，樹立模型觀念，產生應用數學模型的愿望，也能為學生未來形成模型思想做好鋪墊。

在學習活動中，學生需要自己感悟數學模型的價值，這是難能可貴的數學學習經驗。所以，教師必須做到不替代，只引領，可緊跟例題提出諸如“你還有其他的計算方法嗎？”之類的問題，這樣可啟發學生選取不同的等量關系、不同的數學模型（一元一次方程、算術），甚至是不同的思維方向；意在使學生體悟到各種方法和模型之間的不同，感悟到二元一次方程組模型的價值。

課后思考問題“你能用李大叔估計的范圍來推斷大牛和小牛的飼料數值嗎？”意在激發學生的逆向思維，引出控制變量法和反證法的思想，促進學生的深入思考，也能夠拓寬學生的視野、發散學生的思維。當學生運用逆向思維，提出運用控制變量法的解決方法具有局限性之后，教師再總結當定量和不定量同時出現時，要從定量入手建立數學模型解決問題，更突顯出模型運用的價值。

總之，開展“綜合與實踐”，需要教師在教學中注重教學方式的變化，積極尋找契機發展學生自主探索、合作交流與實踐創新的數學學習方式；通過現實的、有趣的、富有挑戰性的數學學習內容引導學生主動地從事觀察、實驗、猜測、驗證、推理、交流、反思等數學活動，發展學生的模型觀念和應用意識。