半開放系統中的粒子逃逸問題*

張茂芳 游慧敏 尹相國 張云波

1)(山西大學理論物理研究所,量子光學與光量子器件國家重點實驗室,太原 030006)

2)(浙江理工大學物理系,浙江省光場調控重點實驗室,杭州 310018)

研究了半開放系統中粒子向開放空間的隧穿問題.考慮由無限高的墻和多個 δ 函數勢壘組成的半Dirac 梳模型,首先求解該模型的精確解析解,其能量本征函數可以用遞推關系以封閉解析的形式給出.對單個勢壘、多個勢壘、無序勢壘等不同情況,利用傅里葉積分計算了任意時刻單粒子波函數的明確表示,導出了由初態保真度定義的粒子生存幾率閉合形式的表達式,重點研究了粒子生存幾率對勢壘高度、無序強度等系統參數的依賴,以及利用相關參數對衰減規律的操控及抑制.發現多個勢壘將大幅度提高粒子的生存幾率,無序的加入會極大地抑制其隨時間的振蕩.

1 引言

粒子從勢阱隧穿到空間是量子力學的基本問題之一,已被用于分析諸如核α衰變[1,2]、質子發射[3,4]、聚變[5]、裂變[6]、光締合[7]、光解離[8]、或隧道二極管的功能[9]等現象.多年來,人們已經詳細研究了粒子隧穿進入開放空間的許多方面.如單粒子隧穿過程和多體玻色-愛因斯坦凝聚體的隧穿現在已經得到了很好的解釋[10-16].近年來,由于超冷原子物理領域實驗技術的快速發展,可以設計出特色新穎的隧穿系統,如改變外勢的形狀[17-19]、有效維度[20-23]、制備初態[24]、或調節粒子間相互作用的強度[25,26].這一領域最近的重要實驗成果包括海德堡的塞利姆·約希姆小組的實驗,他們研究了隧穿少費米子系統的衰變[27,28].

本文考慮的則是半開放系統,可以看作是Winter 模型[29]的一個推廣.Winter 模型由一個無限高的墻和一個δ函數勢組成,它的一個很好的特點是其能量本征函數可以以封閉解析的形式找到,使我們能夠很容易地洞察衰變粒子的性質.溫特指出衰變過程與指數律存在偏差,其長期演化遵循冪律.研究表明根據任意初始受限狀態的完整共振譜可導出生存幾率和非逃逸概率,它們在很長一段時間內遵循不同的冪律衰減[30],在各種實驗中也觀察到非指數衰減[31—33].實驗技術的新進展提供了以可控方式研究隧穿現象的機會[24,27],有助于更好地理解不穩定多體狀態的特性.如最近的研究包括兩個相同的非相互作用粒子系統[34]、超冷原子系統[35-42]、具有庫侖相互作用的兩粒子系統[43]、以及由一個核-核和兩個價質子組成的模型系統[44].雙勢壘情況下的Winter 模型已經得到了很好的應用,特別是最近關于不穩定Tonks-Girardeau 氣體從中逸出的研究[45]帶給我們很多啟發.

本文將Winter 模型進行推廣,初始位于寬度為a的無限深勢阱中的粒子,右勢壘突然撤掉后向開放空間隧穿,右方N個勢壘與原來的無窮高左勢壘組成的系統我們稱之為半Dirac 梳模型，如圖1所示.本文首先求解該模型的精確解析解,考慮其含時演化,利用生存幾率來分析粒子的逃逸情形,討論其衰減特性,以及加入無序后對隧穿過程的影響.

圖1 半開放系統中的粒子逃逸問題.初始位于寬度為a 的無限深勢阱中的粒子,右勢壘突然撤掉后向開放空間隧穿,右方N 個勢壘與原來的系統組成了半Dirac 梳.圖中顯示了初始時刻及 t=10t0 時在各阱的幾率密度分布.這里取N=10Fig.1.Particle escape problems from a semi-open system.A particle initially in the eigenstate of an infinite potential well of width a is released at t=0 and tunnels into open space when the right barrier is suddenly switched off,and the N δ-barrier on the right form a semi-Dirac comb with the original well.The probability density is shown fort=0 and 1 0t0 .

2 模型

考慮一個 (0,∞)的一維系統,其中有N個均勻分布的δ勢壘:

勢壘強度hl≥0,a為勢壘間隔.在此之外,外勢為零,x＞Na時V(x)0 .最初,粒子被限制在(0,a)的勢阱之間,假定初態為由n1,2,3,···標記的基態或激發態:

這里展開系數Cn(p)由初始波函數確定:

可以證明這個積分是收斂的,并且得到的波函數對于給定的邊界條件是平方可積的,也即它屬于相關的希爾伯特空間.

為了得到Ψ(x,t)的解,首先需要求解哈密頓量H由p標記的連續譜本征態?p,其定態方程為

這里′表示空間一階導數.在不同的區域系統波函數設為如下統一的形式:

其中l0,1,2,···N-1,注意該式對x＞Na區域也成立.由邊界條件可以得到系數Al,Bl滿足的遞推關系如下:

其中因波函數在x0 處為0,所以有A01及B00.由此得到系數A1和B1,A2和B2,···,最終得到AN和BN.本征函數?p在如下內積定義下是正交、歸一、完備的:

因其本征值為連續譜,正交歸一關系為δ函數歸一化:

這里采用的狄拉克δ函數的極限表達式為

由此可得(8)式中的歸一化系數D為

之后將波函數?p代入(4)式中的積分,可得到Cn(p)的解析表達式:

根據生存幾率(也稱量子保真度)來分析系統的衰變特性:

這是時間演化狀態保持其初始狀態的概率,以此來衡量二者之間的差異.

為了方便快捷地求解S(t),在數值上可以用傅里葉變換計算(15)式積分.為此令ωp2/(2m?),則 dω/dpp/(m?),可以得到

其中F(t)是f(ω)的傅里葉變換,即

這里

本文選擇空間坐標和時間坐標單位分別為a0a和t0ma2/?,勢壘強度以h0?2/(ma)為單位.注意這里的勢壘強度的量綱是: 能量·長度,它與δ函數中提出的 長度-1量綱一起貢獻勢能.

3 結果分析

3.1 單個勢壘

首先討論單個勢壘的情形,此時系數

表明勢壘強度hh1完全決定了系統的隧穿性質.為方便起見,在以下的分析中考察生存幾率的對數函數隨時間的變化規律.對S(t)取對數,直線部分表示指數衰減,在某個時間段TT2-T1內的衰減快慢可以用其斜率k來描述

首先考慮單個勢壘時固定勢壘強度,生存幾率隨初始能量的變化情況.圖2 給出了勢壘強度h10h0,粒子處于最低的5 個初態能級(n1,2,3,4,5)情況下的隧穿動力學.粒子的衰減情況可分為三個階段,指數衰減伴隨著劇烈振蕩: 在開始時的第一階段,短時t0-30t0情況,高能成分迅速逃逸,生存幾率在短時內指數衰減,n越高的初態生存幾率到達振蕩點的時間越短,l nS的斜率k隨著能級n的增加逐漸增大,說明粒子的衰減速率隨初始能量的增大而加快;中間時段t20-140t0時,隨著狀態的演化,高能成分被耗盡,粒子的平均能量接近能譜中的最低能量,粒子仍然保持指數衰減的趨勢,但衰減速率減慢,所有初始能級的斜率k趨于一致;長時t300t0-∞時,粒子衰減逐漸趨于穩定,生存幾率降低到某個平衡值便不再變化,這個值 l nS∞隨能級n的增大而減小.圖2的小圖分別給出了衰減速度及平衡值隨初始能級的變化趨勢.

圖2 (a)單個強度為 h=10h0 的勢壘,能量最低的5 個初始態的生存幾率(n 表示初態時粒子所處的能級);(b)短時情況,黑色虛線處粒子的衰減率隨著能級增高而增大;(c)中間時刻,黑色虛線部分粒子的衰減率不隨能級而變化;(d)長時情況,粒子生存幾率最后趨于的平衡值(l n S∞),隨著能級增高而減小Fig.2.(a)The survival probability of the five initial states with the lowest energy for single barrier (N=1)with strength h=10h0;(b)the decay rate of the particle (black dotted lines)in short-term becomes faster for higher energy level;(c)in the medium-term,the decay rate of the particle (black dotted lines)does not change with n;(d)the equilibrium value (l n S∞)of the survival probability after the long-term decay decreases as the energy level increases.

然后考慮單個勢壘時粒子處于基態,生存幾率隨勢壘強度變化的情況.圖3 給出了勢壘強度分別為h(10,20,30,40)h0,基態n1 時粒子的生存幾率隨時間演化的情形.四個圖分別給出了不同時間段下粒子的衰減情況,可分為兩個階段: 短時t0-30t0中,粒子呈指數衰減,勢壘強度大時粒子會更多地困在阱中,l nS的斜率k隨著勢壘強度h的增大逐漸減小,說明粒子的衰減速率隨勢壘強度的增大而減慢;中間時段t300t0-3000t0時,粒子保持指數衰減的趨勢,隨著h的增加,生存幾率到達振蕩點的時間越來越長,粒子的衰減速率與短時內保持一致;長時t6000t0-∞時,粒子衰減逐漸趨于穩定,生存幾率降低到某個平衡值便不再變化,這個值(l nS∞)隨勢壘強度h的增大而減小.圖3 中的小圖分別給出了衰減速度及平衡值隨勢壘強度的變化趨勢.

圖3 (a)單個強度為 h=(10,20,30,40)h0 的勢壘初始基態的生存幾率(n=1);(b)短時情況,黑色虛線處粒子的衰減率隨著勢壘強度的增大而減小;(c)中間時刻,粒子保持短時內的衰減率;(d)長時情況,粒子生存幾率最后趨于的平衡值隨著勢壘強度的增大而減小Fig.3.(a)The survival probability of the initial ground state (n=1 )when N=1 and the barrier strengthsh=(10,20,30,40)h0;(b)the decay rate of the particle (black dotted lines)in the short-term decreases with the increase of the barrier strength;(c)particle maintains a short-term decay rate in the medium-term;(d)the equilibrium value of the particle survival probability after the long-term decay decreases with the increase of the barrier strength.

從以上單個勢壘的隧穿情況來看,不同衰減時間范圍內,粒子生存幾率的衰減服從不同趨勢.所有處于基態或激發態的粒子的生存幾率在短時間內按S～e-Γ t的形式指數衰減.在一段時間后,激發態的衰變會以與基態相同的衰變常數進行.最終S(t)的衰減遵循一個長時間的反冪律.在不同的衰減時間區間曲線會有突變,并伴隨著明顯的振蕩,這些過渡區域的振蕩是由指數率和反冪律項的干涉導致的,而長時非指數衰減則是由于系統能譜具有下限[46].增加勢壘強度h會極大地增加粒子留在阱中的幾率.我們期待增加勢壘個數也會達到同樣的效果,以下討論多個勢壘對粒子隧穿特性的影響.

3.2 多個勢壘

首先討論勢壘強度相同的多個勢壘情況.更具體的來說考慮初始處于基態的粒子向勢壘強度都為h的N10 個勢壘組成的右半空間的逃逸問題.圖4 給出了勢壘強度分別為h(5,15,50)h0時,基態能級n1 粒子的生存幾率隨時間演化的情形,四個圖分別展示了不同時間段下粒子的衰減情況.可以看出勢壘強度較小(h5h0)時,粒子仍然指數衰減,隨著強度增大,生存幾率迅速升高并開始隨時間不規則地振蕩,并且在很長時間內保持,振蕩幅度隨h的增大也迅速增大.我們看到短時t0-120t0中,三種勢壘強度情況下粒子的生存幾率分別在t ≈(20,40,110)t0左右開始振蕩,開始振蕩時間隨勢壘強度增加.我們發現這種振蕩可以在某個時刻將生存幾率恢復到相當高的值,圖4中間時刻t300t0-600t0,黑色箭頭標記出了h50h0時粒子生存幾率的振蕩最高點,此時其對應的時間為tmax394t0,l nSmax值為-0.8543,意味著生存幾率達到了初始態的 4 2.56%;長時t4800t0-6000t0時,生存幾率持續在高位振蕩,在某些時刻仍然可以達到非常高的量子保真度.

圖4 (a)勢壘數目 N=10,勢壘強度 h=(5,15,50)h0 時能量最低的初始基態的生存幾率;(b)-(d)分別為短時、中時、長時的行為.(c)圖黑色圓圈處為 h=50h0 時粒子生存幾率的振蕩最高點Fig.4.(a)The survival probability of the initial state with the lowest energy for N=10 identical barriers for three barrier strengths h=(5,15,50)h0;(b)-(d)are short-term,medium-term,long-term behavior,respectively.The black circle in panel (c)indicates the highest point of oscillation of the survival probability for h=50h0 .

多個勢壘時粒子在勢壘間反射透射相互干涉,對較大的勢壘強度,粒子發生反射的概率增大,隧穿出去的粒子可能被反彈回來,生存幾率的振蕩也越來越劇烈,并在某些時刻達到較高的保真度.從短時內可以看出粒子的衰減速率隨著勢壘強度的增大而變慢,到達發生振蕩所需要的時間也更長.從長時來看,勢壘強度增大到一定程度時,衰減速率基本保持穩定,非常緩慢衰減.可以找到振蕩最高處的峰值,觀察其隨勢壘數目的變化.

圖5 給出了勢壘強度分別為h(5,15,50)h0時,粒子生存幾率的振蕩最高點 l nSmax及其對應的時間tmax隨勢壘數目N變化的規律,每個點表示不同勢壘數目所對應的值,線表示其擬合結果.可以看到粒子生存幾率的振蕩最高點 l nSmax隨著勢壘數目的增加而線性降低,隨著勢壘強度的增大而略微升高,但不同的勢壘數目有較大的漲落.為了更清楚地理解生存幾率最高點隨勢壘數目的變化,取h40h0情況下20 個振蕩最高峰值的平均,可以看出粒子達到多個最高點的平均幾率雖然總體降低,但更加表現出隨勢壘個數線性降低的趨勢.而振蕩最高點所對應的時間tmax隨勢壘數目的增加而呈現拋物線型增大,隨著勢壘強度的增大也逐漸變長,可以看到對某些勢壘數目(如N14,18 等處)仍然會有最高點時間或遲或早出現的情形.

圖5 勢壘強度 h=(40,50,60)h0 時,粒子生存幾率的振蕩最高點(a)及其對應的時間(b)隨勢壘數目的變化.淺藍色圓點對應 h=40 時不同勢壘數目下粒子生存幾率振蕩多個最高點(此處取20 個)的平均值Fig.5.Variation of the peak value of the oscillation of survival probability (a)and its corresponding time (b)with the number of barriers for barrier strengths h=(40,50,60)h0.The light blue dots in (a)correspond to the average of 20 highest points in the oscillation for different numbers of potential barriers with strength h=40 .

隨著勢壘強度增大、數目增多,粒子的衰減速率逐漸減慢,在某些時刻生存幾率長時間在高位振蕩,甚至不再衰減.根據安德森局域化的理論,無序會導致波函數發生指數衰減,出現局域化現象.這里考慮引入無序勢壘,勢壘強度滿足如下分布:

其中hmin為勢壘最低強度,Δh為無序強度,R為[-1,1]范圍內的隨機數,即開放區間的勢壘強度在(hmin+Δh)和(hmin-Δh)間隨機分布.

圖6 給出了不同勢壘數目、不同勢壘強度情況下引入無序后粒子的生存幾率隨時間演化的情形.首先選取較少勢壘個數N10 時兩種最小勢壘強度分別為hmin10h0和4 0h0,無序強度分別為零Δh00,較小 Δh1,較大 Δh2情況進行比較.對hmin10h0,較小無序強度取作 Δh13h0,較大無序強度取作Δh29h0;而對hmin4 0h0,Δh15h0為較小,Δh235h0為較大.圖6 中所有數據都是100 次無序勢壘構型的平均.可以看到引入無序會極大地增加生存幾率,而且隨著無序強度的增大,粒子的生存幾率增大,衰減速率減慢.hmin40h0時無序的引入會抹平沒有無序時的劇烈振蕩.另一方面,較多勢壘個數N100 時,無論hmin取值大小,隨著無序強度的增大,粒子生存幾率的振蕩都會被抹平,在hmin10h0情況下,抹平的保真度大大超過了沒有無序系統的振蕩最高點.

圖6 N=10和N=100 個無序勢壘組成的半開放系統中粒子的生存幾率在大小兩種無序強度下與沒有無序(Δh0=0)情況的對比.圖中所有數據都是100 次無序勢壘構型的平均 (a),(b)hmin=10h0,Δh1=3h0,Δh2=9h0;(c),(d)hmin=40h0,Δh1=5h0,Δh2=35h0Fig.6.The survival probability of the particle for N=10 and N=100 barriers with randomly distributed strengths.Here Δh0=0denotes the case of regular barriers without disorder.All data in this figure are averaged over 100 disorder realizations of the barrier configuration.(a)(b)hmin=10h0,Δh1=3h0,Δh2=9h0;(c),(d)hmin=40,Δh1=5h0,Δh2=35h0 .

4 結論與展望

本文詳細研究了半開放系統中的粒子的逃逸問題,即初始位于無限深勢阱中的粒子右勢壘突然撤掉后向開放空間隧穿,右方等間距分布的多個δ勢壘組成了半Dirac 梳,重點研究系統初態的生存幾率或量子保真度.解析得到了該系統的連續譜本征態,根據傅里葉積分計算了任意時刻單粒子波函數的精確解,導出了粒子一般情況下生存幾率的閉合形式的表達式,利用其揭示了粒子逃逸過程的機制,分析了單個勢壘和多個勢壘時的衰減規律.發現對多個勢壘,粒子生存幾率可以達到 4 2.56% .引入無序勢壘可以大幅提升生存幾率,并極大地抑制其隨時間的振蕩.本文的研究將有助于理解粒子在無序系統中的衰變過程,并對利用勢壘對系統進行相關的量子調控有指導作用.該研究同樣適用于其他類型的勢壘,比如有寬度的方形勢壘,它在寬度b趨向0,高度V趨向無窮大的極限情況下等效于一個強度為V b的δ勢壘,粒子在勢阱中的逃逸問題可以類似求解.此種情況下可以單獨考慮粒子逃逸隨兩個參數的依賴關系,我們期望得到和多個δ勢壘的情況定性一致.此外,還可以利用均方位移[47,48]對時間的依賴σ2(t)～tγ來研究初始波包隨時間的演化過程,除了均勻晶格中的彈道擴散 (γ2)和無序晶格中的局域化 (γ0)以外,在準周期晶格中可能存在超擴散 (1＜γ＜2)和亞擴散 (γ＞2)等現象,這些現象進一步豐富了粒子隧穿的動力學行為.