非互易Aubry-André 模型的經典電路模擬*

成恩宏 郎利君2)?

1)(華南師范大學物理與電信工程學院,廣東省量子調控工程與材料重點實驗室,廣州 510006)

2)(華南師范大學量子物質研究院,廣東省核物質科學與技術重點實驗室,廣州 510006)

非厄米的引入擴展了傳統厄米量子系統中的概念并誘導出許多新奇的物理現象,比如非厄米系統所獨有的非厄米趨膚效應,這使得對非厄米量子模型的模擬成為大家關注的熱點.相比于量子平臺,經典系統具有成本低廉、技術成熟、室溫條件等優勢,而其中的經典電路系統則更加靈活,原則上可以模擬任意維度、任意格點間躍遷、任意邊界條件下的量子緊束縛模型,已經成為模擬量子物態的有力平臺.本文利用經典電路通過SPICE 成功模擬了一個重要的非厄米量子模型——非互易Aubry-André 模型——的穩態性質,此模型同時具有非互易的格點躍遷和準周期的格點在位勢.以此為例,詳細介紹了如何建立經典電路的拉普拉辛形式與量子緊束縛模型哈密頓矩陣在不同邊界條件下的映射,尤其是如何利用電流型負阻抗變換器構建模型的非互易性.然后,根據電路的格林函數,通過AC 電流驅動并測量電壓響應的方式,用SPICE 模擬了周期邊界條件下的復能譜和相應的能譜纏繞數,以及開邊界條件下的趨膚與局域模式的競爭.其中,為了使電路的響應不發散,本文還解析地給出輔助元件的設置原則.結果顯示,SPICE 模擬與理論計算很好地符合,為進一步的實驗實現提供了詳細的指導.由于本文電路設計與測量方案的普適性,原則上可以直接應用于其他非厄米量子模型的電路模擬.

1 引言

近些年,非厄米物理[1]引起了物理學各個領域的廣泛關注,它除了傳統上可以描述經典系統中增益損耗帶來的現象,還被用來描述量子開放系統的性質[2].不同于封閉系統的厄米哈密頓量,非厄米的引入擴展了傳統量子力學的范式[3],如復數能譜、雙正交基等,這誘導出許多新奇現象: 手征-時間反演對稱性(PT 對稱性)的破缺[4-9]、非厄米簡并點[10,11]、模式轉換(mode switching)[12]等.非厄米性同樣擴展了大家對拓撲態的理解.一個典型的反常是,在厄米拓撲系統中作為基本原則的體-邊對應關系在非厄米系統中不總是適用[13-26],而僅在非厄米系統中存在的非厄米趨膚效應[16,23]被認為是此原則失效的一個重要原因.非厄米趨膚效應的發現引發了對傳統的厄米量子效應與其競爭關系的廣泛研究,如與安德森局域化的競爭[27-33]和與Hubbard相互作用的競爭[34-39]等.

鑒于非厄米物理的重要性,在實驗上模擬非厄米模型及其獨有的新奇現象就顯得格外重要.相比傳統的量子平臺(如冷原子系統[8,9,40]),經典系統對于模擬非厄米模型有著天然的優勢,除了成本低廉、技術成熟等特點,它可以非常直接地利用自身的增益和損耗實現非厄米性,并已成為模擬非厄米系統的有力平臺,如光學系統[7,41-45]和機械系統[46,47]等.其中,經典電路系統因其不受限的網絡形式和高度的調控自由度,原則上可以模擬任意維度、任意格點間躍遷、任意邊界條件下的量子緊束縛模型,成為量子系統模擬的有力競爭者.目前在電路系統下已經成功實現了很多非厄米的量子模型及其現象,如PT 對稱性破缺[48,49]、非互易Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型[50,51]、二維非互易陳絕緣體[52,53]、非互易高維模型[54,55]、非互易狄拉克模型[56]及非厄米異常線[57]等.

對于非厄米趨膚效應與準無序的競爭關系,文獻[27]提出了非互易(non-reciprocal)Aubry-André(AA)模型:

其中,κe±α描述最近鄰格點間的躍遷強度,如0表示前后兩方向的躍遷強度不相等,即躍遷具有非互易性;vn2λcos(2πβn)表示在位的準周期/無序勢,λ表示無序強度,β一般取無理數.對于有限尺寸的系統,可以取格點數NFs且βFs-1/Fs以保證準周期勢的周期與格點的周期在系統尺寸內不匹配,其中Fs表示斐波那契數列的第s個值.為清楚表示有限尺寸下的邊界條件,在(1)式中特別將首尾之間的躍遷項顯示寫出(第二個圓括號內),并且可以表示在整個一維環中間加入磁通Φ后的哈密頓量(取特定規范后).為方便后面的電路模擬,以格點態{|n〉}為基矢寫出哈密頓量的矩陣形式:

此模型的非厄米拓撲性質以及趨膚效應與局域化的競爭關系,文獻[27]已經在理論上詳細討論,這里簡單回顧下主要結論: 在周期邊界條件下,準無序強度較弱(λ＜max{eα,e-α}≡λc)時,系統的本征態為擴展態,其本征能譜在復平面上為繞原點的圈,表明處于非厄米拓撲相,可由能量纏繞數ν±1 表征;隨著準無序強度的增強,當λ＞λc時,系統的本征態經歷從擴展態到局域態的轉變,與此同時,本征能譜收縮成實軸上的一條線,表明處于拓撲平庸相,相應的能量纏繞數ν0 .有趣的是,拓撲相變與局域相變點完全一致,這是由于局域化改變了系統的本征能譜在復平面的分布,進而影響了能量纏繞數.相應地,在開邊界條件下,因為局域的轉變使系統對邊界不再敏感,系統具有同樣的相變點,區別只是拓撲相區的本征態由于趨膚效應變為趨向某一邊緣(由α的正負決定哪個邊緣),且本征能譜變為實數;局域相區的本征態兩邊的衰減長度變得不同.

本文的主要目的是通過對非互易AA 量子模型的經典電路模擬,詳細介紹如何用電路的拉普拉辛形式模擬量子緊束縛模型,便于感興趣的讀者利用類似方法模擬其他量子模型,以及為實驗實現提供詳細指引.剩下的內容安排如下: 第2 節詳細介紹如何構建經典電路的拉普拉辛形式與量子緊束縛模型的映射,第3 節具體給出實現不同邊界條件下非互易AA 模型的電路設計方案,第4 節和第5 節利用SPICE 分別模擬非互易AA 模型在周期邊界條件下的能譜和能量纏繞數以及在開邊界條件下趨膚與局域模式的競爭,最后一節進行總結.

2 經典電路的拉普拉辛形式與緊束縛模型的對應

任意經典電路組成的網絡都可以用一個圖(graph)來表示,其節點和邊分別對應電路的連接點和元件[48,58,59].如由電阻、電感和電容(RLC)等被動元件組成的電路,元件各自的物性方程為

這里的V和I分別表示元件兩端的電壓差和通過元件的電流,(R,L,C)分別為元件的電阻、電感和電容.根據基爾霍夫電流定律,利用以上物性方程,可以得到圖中每個節點關于時間t的微分方程:

其中,In(t)和Vn(t)分別代表電路節點n的外界輸入電流和對地電壓,這里用 (Rnm,Lnm,Cnm)分別表示從節點n到節點m(下標 g 代表接地)的等效電阻、等效電感和等效電容,以便描述更一般的具有非互易特性的元件,通常的被動RLC 元件為互易的,即RnmRmn ≡R,LnmLmn ≡L,CnmCmn ≡C.上述方程可以寫成更緊湊的矩陣形式:

其中,I(t)和V(t)分別表示節點輸入電流和對地電壓的列矢量,(R,L,C)分別為等效電阻、等效電感和等效電容構成的系數矩陣,矩陣元分別為

對于微分方程(5),考慮具有固定頻率ω的AC電流源I(t)及其電壓響應V(t),其形式為

將它們代入方程(5),得到不含時的矩陣方程:

這里定義的J(ω)被稱為電路的拉普拉辛矩陣或基爾霍夫矩陣[48],具有導納的量綱,其矩陣元一般為復數,并且依賴于驅動頻率ω.如果沒有外界電流輸入,即J(ω)V0,則 detJ(ωc)0 決定了電路的本征頻率譜{ωc}.另外,也可以將(8)式的兩邊求逆,得

其中,G(ω)≡J-1(ω)被稱為電路格林函數,具有阻抗的量綱.

實際上,對于具有(7)式形式的穩態解,任意電路網絡都可以表示為拉普拉辛的形式,如包含放大器的主動電路[49,50,53]和具有非線性元件的非線性電路[60,61]等.

為了利用經典電路系統模擬量子緊束縛模型,可以將電路拉普拉辛矩陣J(ω)直接與緊束縛模型在實空間的哈密頓量矩陣H相對應[59],且拉普拉辛J(ω)的本征方程

可以直接對應哈密頓量矩陣的定態薛定諤方程.這里,jn(ω)為拉普拉辛矩陣的第n個本征值,構成本征導納譜,可以完整模擬H的能譜.特別地,由detJ(ωc)0 可知,本征頻率ωc使至少一個本征導納為零,即jn(ωc)0 .由于J(ω)一般為非厄米矩陣,即J?(ω)(ω),相應的本征矢通常包含本征右矢和本征左矢利用電路的交流分析,可以得到J(ω)的右本征模式從而模擬H的右本征態;左本征態可以用J?(ω)模擬.通過元件以及驅動頻率的設計和調節,J(ω)具有高度可控性,原則上可以模擬任意維度、任意邊界條件、非線性和非厄米等非常廣泛的量子模型的穩態性質.

接下來,應用以上電路的拉普拉辛形式構建J(ω)與非互易AA 模型哈密頓量矩陣H的對應關系,從而對其穩態性質進行模擬,包括周期邊界條件下的能譜和纏繞數以及開邊界條件下趨膚和局域模式的競爭.

3 非互易AA 模型的電路拉普拉辛

在交流驅動下,被動元件往往呈現出互易性,這是由最基本的基爾霍夫電流定律決定的,如電容與電感的導納JC(ω)iωC和JL(ω)1/(iωL)均不依賴于正向或反向測量即可表征.而根據(8)式的描述,要實現拉普拉辛矩陣的非互易性Jmn(ω)(ω),則需要電路中某一元件的導納值依賴于測量的方式,這通常需要引入主動元件,如電流型負阻抗變換器(INIC)[53].如圖1(b)所示的INIC由放大器和若干線性元件構成,根據基爾霍夫電流定律,容易得出兩端的輸入電流分別為

圖1 (a)上圖: 非互易AA 模型的電路模擬示意圖,包含 N 個有效電壓節點 Vn (n=1,···,N),節點間元件 C0和I NIC(b) 模擬格點間的耦合,其中 I NIC(b) 用于實現關鍵的非互易耦合,其定義見圖(b);接地元件 (L0,R0,C0,r,n)模擬格點的在位勢;X相關模塊和開關控制對不同邊界條件的模擬.下圖: X相關模塊的定義.(b)I NIC 元件的內部電路圖,由理想放大器、阻抗 Z±和目標元件 CI (沒有 Xb )構成,可以實現 Vl,r 兩端不同方向的導納不同;I NICb 僅需將INIC 中的目標元件 CI 再并聯一個 Xb 即可.(c)負阻抗模塊[49],左右圖分別實現對地單端口和自由兩端口間的等效負阻抗 -Z,其中理想放大器上的標記表示輸出電壓與輸入電壓的關系.各元件的具體功能描述詳見正文.Fig.1.(a)Upper panel: Sketch of an electrical circuit simulating the nonreciprocal AA model.It includes N voltage nodes Vn (n=1,···,N)with elements C0 and I NIC(b) simulating the intersite couplings,where I NIC(b) defined in panel (b)is the key element to realize the nonrecprocity,and the grounded elements (L0,R0,C0,r,n)simulating the on-site potentials;X modules and the switches control the simulation of boundary conditions.Lower panel: Definitions of X modules.(b)The internal circuit of the INIC,constructed by the ideal operational amplifier (opamp),impedance elements Z±,and the targeted element CI (without Xb),which can realize unequal effective input inductances from the two different ports Vl,r;I NICb is defined by adding an extraXb module in parallel with CI in INIC.(c)Modules of negative impedance[49].The internal circuits of the grounded one-port and the floated two-port negative impedances -Z for the left and right panels,respectively,where the labels of the ideal opamps represent the relation of the output voltage to the input voltages.See relevant texts for the detailed description of each element.

這表明一般情況下INIC 兩端不同方向的導納不相等:

為方便起見,理論上選取INIC 中的阻抗滿足Z+Z-,使得元件兩端流向放大器的電流大小相同方向相反,即IlIr,從而得到兩個方向符號相反的導納:Jl(ω)-Jr(ω).

另外,這里會用到具有負值的元件(如負電阻等),其兩種實現形式如圖1(c)所示[49],它們通過放大器分別實現了對地單端口和自由兩端口的等效負阻抗(導納).根據基爾霍夫定律,可得對地單端口電路(圖1(c)左圖)的輸入阻抗為

類似地,自由端口電路(圖1(c)右圖)兩端的輸入阻抗分別為

即,ZjiZij-Z.

利用以上關鍵元件,在由電感L0和電容C0組成的左手傳輸線離散模型(lumped-element circuit model for a left-handed transmission line)[62]的基礎上,設計了如圖1(a)所示的非互易AA 模型的電路模擬示意圖,由RLC和INIC 等元件組成,包含有N個有效電壓節點,對應模擬模型的N個格點.根據方程(8),容易寫出此電路的拉普拉辛矩陣:

其中,

電容Cn,I、電感La,b、電阻Ra,b和R0在圖1 中定義,E為單位矩陣;邊界條件由圖1(a)中 X相關模塊與開關控制: 當兩端的開關同時接入端口 o 并且 X相關模塊(Xa,b和Xl,r)均開路時,系統對應于開邊界條件;當兩端的開關同時接入端口 p 時,下文中將會看到,通過 X相關模塊參數的調節可以模擬具有磁通的周期邊界條件.

將此電路的拉普拉辛矩陣(15)與非互易AA模型的哈密頓量矩陣(2)相比較,可以建立除D(正比于單位矩陣E)外兩者間的映射A ?H,并利用對應的無量綱化參數得到如下等式關系.

對于電路的主體部分(不包含邊界),由

可得

這里將C0作為參考電容.由此可以理解電路主體各元件的作用: (C0,Cr,L0)構成緊束縛模型的整體參考勢((15)式中的D部分),C0還承擔格點間互易耦合的作用,非互易耦合和變化的在位勢由INIC 中的電容CI和接地電容Cn分別實現;隨后可以看到,電阻R0和電容Cr的引入是為了使電路的響應不發散,它們僅使導納譜在復平面內作整體平移.需注意的是,Cn隨著節點n的變化會被要求為負數,等效負電容可以使用圖1(c)的方案實現.

對于邊界部分,同樣利用對應的無量綱化參數關系

可得

4 周期邊界條件下能譜和纏繞數的模擬

眾所周知,即使在周期邊界條件下,無序系統也不再具有平移不變性,因而無法通過將哈密頓量變換到動量空間的方法計算系統的纏繞數,而通常的辦法是在鏈環中心加入磁通量為Φ的磁場,此時系統變為Φ的周期函數(周期為 2π),從而進行計算.對于非厄米系統,由于能量一般為復數,可以定義復能量在復平面的纏繞數來刻畫非厄米系統的拓撲相[17,27]:

其中,θ(Φ)是detH(Φ)的幅角.對于非互易AA 模型,由文獻[27]可知,不同的纏繞數表示不同的拓撲相: 在周期邊界條件下,ν0 表示拓撲平庸的局域相,ν±1 表示兩種拓撲非平庸的擴展相.

為了通過電路模擬并測量非互易AA 模型的纏繞數ν,利用兩者的對應關系可以將定義(21)式中的H用拉普拉辛矩陣(15)中的A/C0替換(這里除以C0是為了保證 ln 等函數的作用對象是無量綱的,整體的倍數并不會影響ν的結果).因此,只要能從實驗上測量出不同Φ下的A(Φ)矩陣,即可計算出相應的纏繞數.

本文利用電路的格林函數形式(9)進行SPICE模擬.對于具有周期邊界(將圖1 所示電路兩端的開關均置到 p 端口)的電路,僅在第n節點接入頻率為ω的AC 電流源,測量所有N個節點的電壓響應,并除以輸入電流強度,即可得到電路的格林函數矩陣G(ω)的第n列矩陣元;每個節點均操作一次,便可得到整個電路的格林函數矩陣.然后根據關系J(ω)G-1(ω)得出拉普拉辛矩陣以及相應的矩陣A[63].得到實驗測量的拉普拉辛矩陣J(ω),就可以計算其導納譜及相應的左/右本征矢量,以及由此定義的一切物理量,從而和理論相比較.

需要注意的是,上述分析是基于電路系統在AC 電流驅動下的穩態響應,即(7)式.而事實上,在驅動頻率接近本征頻率時,除了會產生明顯的共振響應外,還會激發電路系統的其他本征模式,這類響應通常被稱為暫態響應.實驗上獲得穩態響應的方法一般是進行延時測量,待暫態響應消逝后再使用鎖相放大器實現對穩態響應信號的捕捉.而在周期邊界條件下,非互易AA模型的本征能量會出現復數,相應地,此電路的本征頻率ωc一般也為復數(圖2(b)、2(c)左圖),這就意味著此頻率下的暫態響應會隨著時間發散 (I m[ωc]＜0)或衰減(I m[ωc]＞0 ).對于以頻率ω∈R 為驅動頻率的系統,發散的產生不利于系統響應的穩定,因此必須考慮對暫態響應的抑制,這里通過選取合適的R0達到此目的.

可以采用無磁通(Φ0 )的電路(此時的A與ω無關)計算本征頻率的虛部,從而估算出所需要的R0.將公式J(ωc)V0 寫成本征方程的形式:

可以求出本征頻率ωc滿足

其中,rCr/C0;an表示矩陣A/C0的第n個本征值,在周期邊界條件下一般為復數[27].因此,只要選取合適的R0以及Cr使所有本征頻率的虛部都不小于0,即 m inn(Im[ωc,n])≥0,則系統的響應不會隨時間發散.當系統以特定頻率ω驅動時,系統的穩定響應將以ω模式為主[27].根據附錄的推導,可以得出使電路響應不發散的條件為

另外,為了盡可能多地誘導出本征模式,驅動頻率需要處于本征譜中間.由于非互易AA 模型H的能譜分布于復平面的原點附近,相應地,矩陣A(Φ0)/C0的本征值an也具有同樣的特點,所以根據(23)式,設γan0 可以得到合適的驅動頻率這樣的取值同時可以保證(15)式中D盡可能簡潔.除特別說明外,以下計算保持ω的取值.

利用SPICE 模擬周期邊界條件下含有N21個節點的電路(圖1(a)),基本的元件取值為(L0,C0,R0,Cr)(10μH,0.4μF,5 Ω,1.6μF),即ω00.5MHz和(r,γ)(4,1),驅動頻率選為ω0.2 MHz,其他元件的取值(CI,Cn,La,b,Ra,b)根據(18)式和(20)式由模型參數確定,準周期勢的周期參數選為β13/21 .利用以上方案,對理論相圖(圖2(a))中的3 個典型區域進行SPICE 模擬.在ν±1的拓撲區,模擬的A/C0本征譜在復平面內是繞原點的圈(圖2(b)右圖),而在纏繞數ν0的局域區,則變成了實軸上的直線(圖2(c)右圖);用模擬得到的A(Φ)/C0計算相位θ(Φ)detA(Φ)/C0隨Φ的變化(圖2(d)),可以得到相應纏繞數的模擬值.結果顯示,模擬結果與理論結果符合得很好.

5 開邊界條件下趨膚與局域模式競爭的模擬

文獻[27]里證明了非互易AA 模型在開邊界與周期邊界條件下的相圖一致,只是拓撲相區的態在開邊界條件下表現出趨膚態,而在周期邊界條件下表現為擴展態.本節將同樣利用電路的拉普拉辛方法模擬開邊界條件下趨膚與局域模式的競爭.

在電路的設計上,只需要將圖1(a)中兩端的開關同時接入端口 o 并且令 X相關模塊均開路,即可實現開邊界條件.同樣地,可以利用與第4 節周期邊界條件類似的方法,通過SPICE 模擬重構出開邊界條件下的電路拉普拉辛矩陣以及相應的矩陣A/C0,然后用此矩陣計算出相應的本征左/右矢,即可看到趨膚和局域模式在不同參數下的競爭關系.這里將采用一個相對簡單的方法,無須將AC 電流源依次接入每個節點也可以達到此目的.

電路的格林函數形式(9)可以用拉普拉辛的本征左/右矢表示為這里,趨膚或局域模式表現為本征左/右矢矩陣元的分布是趨向于一端還是局域在某個中間位置.可以簡單地在單一節點接入AC 電流源,測量相應的電壓響應,根據(25)式可知,此電壓響應是同一相區下所有本征右矢按系數線性疊加的結果,所以必然表現為趨膚或局域效應.

取與周期邊界條件時相同的元件參數,除了γ0 (即R0開路),這是因為開邊界條件下所有的本征頻率都是實數,如圖2(b)和圖2(c)所示,不存在響應發散的問題,所以不需要用電阻抑制發散.另外,需要拉普拉辛矩陣中的D(ω)0,否則當此項很大時,所有本征值jn(ω)趨向于常數j,由(25)式可知V →j-1I,其正比于輸入電流,無法反映出競爭關系,這也是取γ0 的一個原因.

用SPICE 同樣模擬了開邊界條件下N21個節點的電路系統,在節點ni11接入頻率為ω的AC電流源,然后測量每個節點頻率為ω的電壓幅值,得到如圖3(a)和圖3(b)所示結果,可以清楚地看出,在拓撲相區時,響應電壓分布在右/左邊界附近,表現為右/左趨膚態;在非拓撲相區時,響應電壓始終分布在驅動節點附近,表現為局域態.為了表征相應電壓的局域化程度,定義倒參與率(inverse participation ratio,IPR):

圖3(c)和圖3(d)顯示IPR 最低的點與理論相變點很接近,因為趨膚和局域態都有較大的局域性,對應較大的IPR 值,而相變點附近擴展性最強,對應的IPR 值都很小.在左右趨膚的相邊界(即ν±1之間的邊界),對應于互易模型,因為趨膚效應消失,所以其本征態為擴展態;在趨膚與局域的相邊界(即ν±1 與ν0 之間的邊界),對應于趨膚與局域競爭的平衡,同樣為擴展態.

圖3 (a),(b)由SPICE模擬得到的電壓響應(已經歸一化)在節點上的分布,分別對應圖2(a)中α=0.5和λ=0.5的兩條虛線.頻率為ω=ω0/的AC電流源接在第11個節點上.(c),(d)分別為由圖(a)和(b)中的電壓分布根據(26)式計算的IPR,其中菱形為模擬值,虛線為理論值,箭頭指的是最小模擬值,虛線標出的是理論相變值.Fig.3.(a),(b)Node distributions of voltages (normalized)simulated by SPICE along dashed lines of α=0.5 and λ=0.5 in Fig.2(a),respectively.The AC current source with ω=ω0/ is connected to the 11 th node.(c),(d)IPRs of the voltage distributions in panels (a)and (b),respectively,calculated by Eq.(26),where diamonds (dashed lines)are the simulation (theoretical)results.The arrows indicate the minima of simulated IPRs,while the dashed lines indicate the phase transition points in theory.

6 結論

本文通過構建經典電路,將其拉普拉辛矩陣與非互易AA 模型的哈密頓量矩陣對應,利用SPICE成功模擬了非互易AA 模型重要的穩態性質,包括周期邊界條件下體現系統非厄米拓撲性質的復能譜和能譜纏繞數,以及開邊界下非厄米趨膚效應與準無序局域化的競爭.其中,詳細討論了電路參數的設置原則和理論依據,為進一步的實驗實現提供了具體的指導方案.由于方案的普適性,本文所討論的設計原則和理論可以直接應用于其他量子緊束縛模型的模擬和實驗,如文獻[27]中提到的非互易AA模型的對偶模型,僅需將圖1 中的電路方案適當修改,去除節點間的INIC 元件以實現互易躍遷,并調節相應的接地元件以實現準周期復在位勢即可.

本文中的SPICE 模擬使用了LTspice 軟件.為了更接近于理論結果,采用的電容、電感和電阻均為理想線性器件,并且將INIC 中放大器的開環增益倍數與輸入阻抗分別設置為 500 G和500 G Ω用于模擬理想放大器.由于實際器件的非理想性,模擬或者實驗結果可能會有一定偏差,需要根據情況具體分析.

本文只涉及對量子緊束縛模型穩態性質的模擬,實際上,經典電路也可以用于對動力學性質的模擬.對于非互易AA 模型,文獻[27]已有討論.另外,由于電路元件的豐富特性,同樣可以利用非線性的電路元件實現對非線性量子系統的模擬[64].所以,對于模擬量子系統而言,經典電路是一個成本低廉、技術成熟、模擬范圍廣的有力平臺.

附錄

根據本征頻率的表達式(23),如使電路響應不發散,需要滿足≥0,即

兩邊再平方并化簡,得

由于不等式右方為非負數,所以必須要求

且

因為需保證所有本征頻率都滿足以上條件,所以要求