高斯色噪聲和諧波激勵共同作用下耦合SD 振子的混沌研究1)

周碧柳 靳艷飛

(北京理工大學宇航學院,北京 100081)

引言

具有負剛度的非線性振子由于自身的多穩(wěn)態(tài)屬性一直受到機械設計領域的關注[1-3].作為一種典型的負剛度振子,耦合SD 振子[4]由兩個SD 振子[5]剛性耦合而成,如圖1 所示.該振子具有兩個主要參數(shù)α和β,隨著參數(shù)的變化,系統(tǒng)由光滑向不連續(xù)轉遷,且呈現(xiàn)出多重屈曲和多重負剛度的動力學特性.基于上述特性,學者們對耦合SD 振子的動力學行為開展了廣泛的研究[6-10].特別是由于具有多重負剛度的特性,該振子在工程設計中備受青睞[11-12].例如,基于耦合SD 振子設計的準零剛度被動隔振器[12],更接近理想的高靜、低動剛度狀態(tài),更符合低頻隔振概念.然而,負剛度的引入使隔振系統(tǒng)產(chǎn)生了同宿軌道,這可能引發(fā)系統(tǒng)產(chǎn)生復雜的混沌運動,對低頻隔振造成很大的危害.由于混沌的參數(shù)區(qū)域很小,采用數(shù)值方法很難捕捉到混沌邊界.為了克服數(shù)值方法的局限性,有必要使用解析的梅爾尼科夫理論來確定耦合SD 振子的混沌閾值.

經(jīng)典的兩穩(wěn)態(tài)系統(tǒng),例如達芬振子,由于具有明確的同宿軌道表達式,可以直接給出系統(tǒng)的混沌閾值[13-14].對于耦合SD 振子來說,由于其剛度項是超越函數(shù)[4],很難解析表示其同宿軌道.為了解決這一難題,Cao 等[15]提出了分段線性近似,并驗證了其在分析確定性系統(tǒng)混沌閾值方面的有效性.由于隨機因素廣泛存在于現(xiàn)實環(huán)境中,并可能顯著改變多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的動力學行為[16-17].因此,研究隨機性對耦合SD 振子混沌的影響至關重要.關于白噪聲和有界噪聲激勵對該類振子動力學行為的影響已有研究[18-19].然而,色噪聲激勵對耦合SD 振子混沌動力學的影響,迄今為止尚未見報道.有必要指出的是,在隨機激勵下,分段線性近似被推廣來研究該類振子的混沌閾值是本文的出發(fā)點之一.

研究隨機系統(tǒng)混沌動力學的方法較多,如最大李雅普諾夫指數(shù)、功率譜和梅爾尼科夫理論等.其中,梅爾尼科夫理論為混沌邊界的預測提供了一種解析途徑.眾所周知,如果確定性系統(tǒng)的梅爾尼科夫函數(shù)存在簡單零點[20],系統(tǒng)就會發(fā)生混沌.而隨機系統(tǒng)的梅爾尼科夫函數(shù)是一個隨機過程,很難直接討論其簡單零點的存在性.對于弱噪聲激勵下的光滑系統(tǒng),通常采用均方準則[21]來解決這一問題.當噪聲強度增大時,即使在均方意義下也很難探測到隨機梅爾尼科夫過程的簡單零點,在這種情況下,需要借助相流函數(shù)理論[22]來分析系統(tǒng)的混沌閾值.將均方準則和相流函數(shù)理論發(fā)展到隨機非光滑系統(tǒng),是本文的另一個出發(fā)點.

已有不少工作采用隨機梅爾尼科夫理論,研究了噪聲對多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)混沌動力學的影響[23-27].例如,文獻[27]討論了三值噪聲對達芬振子和約瑟夫森結系統(tǒng)混沌動力學的影響,并利用均方準則下的隨機梅爾尼科夫理論給出了混沌的必要條件.然而,以往的研究大多是基于光滑系統(tǒng)的隨機梅爾尼科夫分析.本文需要采用非光滑梅爾尼科夫方法,分析高斯色噪聲和諧波激勵共同作用下耦合SD 振子的混沌閾值.現(xiàn)有的非光滑梅爾尼科夫理論只適用于確定性非光滑系統(tǒng)[28-34]或有界噪聲下[35]的隨機非光滑系統(tǒng).關于高斯色噪聲和諧波激勵共同作用下的隨機非光滑梅爾尼科夫過程,尚未見報道.

本文主要發(fā)展了高斯色噪聲和諧波激勵共同作用下的隨機非光滑梅爾尼科夫方法,并驗證分段線性近似在研究隨機激勵下耦合SD 振子混沌運動時的有效性.首先,通過分段線性近似擬合了耦合SD 振子的剛度項并建立了分段近似系統(tǒng).然后,發(fā)展了高斯色噪聲和諧波激勵共同作用下的隨機非光滑梅爾尼科夫方法,并基于均方準則和相流函數(shù)理論給出了隨機非光滑系統(tǒng)的混沌閾值條件.最后,討論了弱噪聲和強噪聲情況下主要參數(shù)對耦合SD 振子的混沌運動的影響.

1 耦合SD 振子的動力學方程

Han 等[4]提出了耦合SD 振子,如圖1 所示,質量為m的振子被一對剛度為k且原長為L的斜彈簧固定在剛性支撐上.剛性支撐的間距為 2a,質量塊到剛性支撐的垂直距離為b.該質量塊在諧波激勵下沿X方向運動.本文在該模型的基礎上考慮高斯色噪聲激勵的影響,可得系統(tǒng)的無量綱動力學方程

圖1 耦合SD 振子的結構示意圖Fig.1 The structural diagram of a coupled SD oscillator

其中 δ(t)為高斯色噪聲,其自相關函數(shù)定義如下[36]

其中 τ 表示噪聲相關時間,D表示噪聲強度,δ(t)的功率譜密度為

非線性剛度F(x)具有如下形式[4]

其中,α=a/L和 β=b/L為非負參數(shù).

由式(4)可以看出F(x)是超越函數(shù),隨著α 和 β本文取α=0.3和 β=0.6來研究系統(tǒng)(1)在兩穩(wěn)態(tài)的變化系統(tǒng)(1)會呈現(xiàn)兩穩(wěn)態(tài)特性[37],不失一般性,下的混沌動力學.此時,方程F(x)=0有三個解,(0,0)和.為了解析研究系統(tǒng)(1)在同宿軌道附近的混沌動力學,引入如下形式的分段線性函數(shù)來擬合超越函數(shù)(4)

根據(jù)式(4)和式(5),圖2 給出了函數(shù)F(x)和隨x變化的曲線.

圖2 函數(shù) F(x)和的變化曲線.Fig.2 The plot of functions F(x)and

在不考慮激勵和阻尼擾動的情況下,系統(tǒng)(1)對應的哈密頓系統(tǒng)具有如下勢函數(shù)

其對應的圖像如圖3 所示.從圖中很明顯可以看出它具有兩穩(wěn)態(tài)的結構.

圖3 勢函數(shù) V(x)Fig.3 The plot of the potential function V(x)

結合近似函數(shù)(5),相應分段近似系統(tǒng)可表示為

一般來說,從解析角度研究兩穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的混沌動力學,需要在同宿流形的基礎上進行梅爾尼科夫積分.而分段線性近似是否有效,首先要驗證原始系統(tǒng)(1)和分段系統(tǒng)(7)同宿軌道的近似度.

系統(tǒng)(1)的哈密頓函數(shù)如下

圖4(a)表示哈密頓方程H(x,y)=E在不同能量值E下的相圖.圖中過鞍點(0,0)的紅色曲線是同宿軌道,黑色曲線是同宿軌道外側的一族周期軌道.藍色曲線是同宿軌道內側的兩族周期軌道.

分段近似系統(tǒng)(7)的哈密頓函數(shù)可表示為

通過比較圖4(a)和圖4(b)可以發(fā)現(xiàn),分段近似系統(tǒng)(7)和原系統(tǒng)(1)的哈密頓系統(tǒng)的相圖吻合較好,因此下面利用系統(tǒng)(7)來分析原系統(tǒng)的混沌動力學.

圖4 哈密頓方程的相圖Fig.4 Phase portrait is plotted via Hamiltonian equation

2 高斯色噪聲和諧波激勵共同作用下非光滑系統(tǒng)的梅爾尼科夫方法

考慮如下高斯色噪聲和諧波激勵共同作用下的分段線性系統(tǒng)

其中

式中,wl(x,y)=0和wr(x,y)=0分別表示非光滑分界面Σl和Σr,g(x,y,t)表示確定性擾動,δ(t)是式(2)中定義的高斯色噪聲.

系統(tǒng)(10)同宿軌道附近的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形如圖5 所示.

圖5 系統(tǒng)(10)同宿軌道附近的穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形Fig.5 Stable and unstable manifolds near Homoclinic orbit of system(10)

在圖5 中,過鞍點p2的紅色曲線為同宿軌道,其解析表達式如下

其中 υ1(-Δ1)=υ2(-Δ1)∈Σr,υ2(Δ1)=υ3(Δ1)∈Σr.綠色穩(wěn)定流形 υs(t;t0,ε)橫截相交,υu(t;t0,ε)與υs(t;t0,ε)曲線為擾動后的軌道,此時穩(wěn)定流形 υu(t;t0,ε)與不的距離表達式如下

其中M(t0)為系統(tǒng)(10)對應的隨機梅爾尼科夫過程,可表示為

該隨機過程由兩部分構成,其中確定性部分為

隨機部分為

這里

由于隨機系統(tǒng)的梅爾尼科夫函數(shù)是一個隨機過程,并不能直接討論其零點的存在性.對于弱噪聲激勵下的隨機光滑系統(tǒng),通常使用均方準則來討論梅爾尼科夫函數(shù)零點的存在性[21],下面將這種方法發(fā)展到隨機非光滑系統(tǒng).

在均方準則下,將Mξ(t0)考慮為高斯色噪聲 δ(t)的輸出,于是

其中h(t)是脈沖響應函數(shù),其表達式如下

h(t)對應的頻率響應函數(shù)為

根據(jù)式(19),可推出式(14)中隨機部分Mξ的均方為

假設式(14)中確定性部分MG=,則系統(tǒng)(10)在弱噪聲激勵下的混沌閾值為

對于強噪聲激勵下的隨機光滑系統(tǒng),在均方準則下探測M(t0)的零點很困難,針對這種情況,往往需要結合相流函數(shù)理論[22]來分析系統(tǒng)的混沌.對于隨機非光滑系統(tǒng)(10),其相流函數(shù)具有如下形式[22]

其中,ψ 為M(t0)關于時間的均值,根據(jù)文獻[22]可求得

其中

相流函數(shù)Φ 代表系統(tǒng)(10)在所對應的相空間內,從穩(wěn)定區(qū)域轉移到不穩(wěn)定區(qū)域的流量,穩(wěn)定區(qū)域的流量流失的越多,系統(tǒng)(10)越容易發(fā)生混沌,Φ=0對應于系統(tǒng)(10)的混沌閾值.由于弱噪聲很難造成相流函數(shù)的量變,因此通常使用ψ 的漸近函數(shù)來計算系統(tǒng)的混沌閾值.

當D→∞時,ψ 的漸近表達式為ψ=MG/2,則系統(tǒng)(10)在強噪聲激勵下的混沌閾值為

3 耦合SD 振子的混沌

為了分析不同色噪聲強度對混沌的影響,本文圍繞噪聲強度D對色噪聲作進一步劃分,當D?1時對應于弱噪聲,反之對應于強噪聲[38].

3.1 弱噪聲情形

根據(jù)上一節(jié)的理論,可求得系統(tǒng)(7)的隨機梅爾尼科夫過程如下

其中

根據(jù)式(21),系統(tǒng)(7)在弱噪聲情形下的混沌閾值為

根據(jù)條件(26),分段近似系統(tǒng)(7)的混沌閾值如圖6 所示,該閾值用來預測原系統(tǒng)(1)的混沌.從圖6可以看出,當(c,f0,D)落在曲面上側區(qū)域時,原系統(tǒng)(1)將產(chǎn)生均方意義下的混沌.此外,圖6 還表明隨著諧波激勵頻率的增加,混沌區(qū)域逐漸減小.不失一般性,以圖中ω=0.8為例來探討原系統(tǒng)(1)的混沌.在ω=0.8,c=0.02和τ=0.5時,關于f0和D的混沌閾值如圖7 所示,在該臨界曲線上方的對應混沌區(qū)域,為了驗證理論結果(26)的正確性.現(xiàn)從混沌區(qū)域選取一點(D,f0)=(0.0001,0.05),此時D?1對應于弱噪聲情形,在這種情況下,原系統(tǒng)(1)具有如圖8 所示的smale 馬蹄混沌吸引子.圖9是相應的分段近似系統(tǒng)(7)的混沌吸引子.比較圖8和圖9,發(fā)現(xiàn)理論預測與數(shù)值結果吻合較好,證明了分段線性近似在弱噪聲情形下是有效的.

圖6 弱噪聲情形下系統(tǒng)(7)的混沌閾值Fig.6 Chaos threshold for system (7) with weak noise

圖7 弱噪聲情形下在 ω=0.8 和 c=0.02 處系統(tǒng)(7)的混沌閾值Fig.7 Chaos threshold for system (7) with weak noise at ω=0.8 and c=0.02

圖8 弱噪聲情形原系統(tǒng)(1)的混沌Fig.8 Chaos for the original system (1) with weak noise

圖8 弱噪聲情形原系統(tǒng)(1)的混沌(續(xù))Fig.8 Chaos for the original system (1) with weak noise (continued)

圖9 弱噪聲情形分段系統(tǒng)(7)的混沌Fig.9 Chaos for the piecewise linear system (7) with weak noise

固定D和ω ,分析高斯色噪聲對混沌閾值的影響.圖10 中的實線對應于諧波激勵的混沌閾值,虛線、點劃線和長虛線分別對應不同噪聲強度下的混沌閾值.從圖10 可知,隨著噪聲強度的增大混沌區(qū)域增大,這表明增大噪聲強度更容易誘發(fā)混沌.當阻尼一定時,混沌閾值隨噪聲強度的增加而減小.

圖10 固定 D和ω 時系統(tǒng)在弱噪聲情形的混沌閾值Fig.10 Chaos threshold for system with weak noise when D and ω are fixed

3.2 強噪聲情形

由條件(24),可求得系統(tǒng)(7)在強噪聲激勵下的混沌閾值為

根據(jù)條件(27),分段近似系統(tǒng)(7)的混沌閾值如圖11 所示,該閾值用來預測原系統(tǒng)(1)的混沌.從圖11 可以看出,當(c,f0,D)落在曲面下側區(qū)域時,原系統(tǒng)(1)將產(chǎn)生混沌.此外,圖11 還表明諧波激勵頻率對混沌區(qū)域的影響與弱噪聲情況相同.不失一般性,以圖中ω=5.2 為例來探討原系統(tǒng)(1)的混沌.在 ω=5.2,c=0.05和τ=0.5時,關于f0和D的混沌閾值如圖12 所示,在該臨界曲線下方的對應混沌區(qū)域,為了驗證理論結果(27)的正確性.從圖12的混沌區(qū)域中選取一點(D,f0)=(3,60),此時D大于1 符合強噪聲情形,值得注意的是,此時原系統(tǒng)(1)具有如圖13 所示的非斯梅爾馬蹄混沌.圖14 是相應的分段近似系統(tǒng)(7)的混沌.比較圖13 和圖14,盡管強噪聲對混沌吸引子的形狀改變較大,但并沒有改變混沌的本質屬性,表明分段線性近似在強噪聲情形下仍然有效.

圖11 強噪聲情形下系統(tǒng)(7)的混沌閾值Fig.11 Chaos threshold for system (7) with strong noise

圖12 強噪聲情形下在 ω=5.2 和 c=0.05 處系統(tǒng)(7)的混沌閾值Fig.12 Chaos threshold for system (7) with strong noise at ω=5.2 and c=0.05

圖13 強噪聲情形原系統(tǒng)(1)的混沌Fig.13 Chaos for the original system (1) with strong noise

圖14 強噪聲情形分段系統(tǒng)(7)的混沌Fig.14 Chaos for the piecewise linear system (7) with strong noise

圖14 強噪聲情形分段系統(tǒng)(7)的混沌(續(xù))Fig.14 Chaos for the piecewise linear system (7) with strong noise(continued)

固定D和ω ,分析高斯色噪聲對混沌閾值的影響.圖15 中的虛線、點劃線和長虛線分別對應不同噪聲強度下的混沌閾值.從圖15 可知,強噪聲情況下噪聲強度對混沌區(qū)域的影響與弱噪聲情況相同,但是當阻尼一定時,噪聲強度對混沌閾值的影響與弱噪聲情況相反.

圖15 固定 D和ω 時系統(tǒng)在強噪聲情形的混沌閾值Fig.15 Chaos threshold for system with strong noise when D and ω are fixed

4 結論

混沌運動具有運動軌道不穩(wěn)定及對初始條件敏感等特征,因此在工程實際問題中需要避免出現(xiàn)該“有害”現(xiàn)象,此時如果能確定混沌閾值的解析表達式,通過選取系統(tǒng)參數(shù)可使系統(tǒng)避免出現(xiàn)混沌.本文主要研究了高斯色噪聲和諧波激勵下耦合SD 振子的同宿混沌,發(fā)展了相應的非光滑系統(tǒng)的梅爾尼科夫分析方法,通過均方準則和相流函數(shù)理論獲得了弱噪聲和強噪聲情況下的混沌閾值表達式,討論了噪聲強度和諧波激勵對混沌閾值的影響.研究結果表明,分段近似系統(tǒng)與原光滑系統(tǒng)的混沌分析具有較好的一致性,進一步說明分段線性近似用于分析高斯色噪聲下耦合SD 振子的混沌仍然有效.此外,高斯色噪聲的引入可以擴展由諧波激勵確定的混沌區(qū)域.本文的方法為研究隨機激勵下非光滑系統(tǒng)的混沌提供了一定的理論支持.

附錄A