含隨機(jī)分布裂紋材料的剪切模量

崔 崧, 呂 嫣, 陳嵐峰

(1. 沈陽(yáng)師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034;2. 沈陽(yáng)師范大學(xué) 遼寧省射線儀器儀表工程技術(shù)研究中心, 沈陽(yáng) 110034)

0 引 言

研究?jī)?nèi)部缺陷對(duì)材料機(jī)械性能的影響,可以采用損傷力學(xué)的方法。損傷力學(xué)的方法大致可分為2種:基于宏觀性能的唯象方法[1-4]和基于損傷本質(zhì)的細(xì)觀方法[5-8]。還可以將二者結(jié)合起來(lái),探究損傷的細(xì)觀機(jī)理和材料宏觀的力學(xué)性能之間的聯(lián)系,這也是今后損傷力學(xué)發(fā)展的趨勢(shì)。

剪切模量是材料的機(jī)械性能之一,是衡量材料機(jī)械強(qiáng)度的一個(gè)重要指標(biāo),當(dāng)材料內(nèi)部存在缺陷時(shí),其剪切強(qiáng)度會(huì)相應(yīng)地下降,下降的程度與裂紋的分布狀況有關(guān)。通過(guò)平均化方法求出一個(gè)代表性體積單元局部的細(xì)觀應(yīng)力和應(yīng)變,再利用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算其宏觀應(yīng)力和應(yīng)變,進(jìn)而可得到剪切模量與裂紋分布之間的關(guān)系。

1 遠(yuǎn)端受剪切薄板內(nèi)部的代表性單元

考慮一個(gè)二維平面問(wèn)題的無(wú)限大薄板,薄板遠(yuǎn)端受均布剪力q,如圖1所示。薄板內(nèi)部取一個(gè)代表性單元ΔV,其中含有多條微裂紋,這些裂紋的長(zhǎng)度和方向按照某種規(guī)律隨機(jī)分布。

當(dāng)某些裂紋受到壓剪載荷作用時(shí),裂紋面間可能會(huì)有摩擦滑動(dòng)[9-11],這必然會(huì)對(duì)ΔV的剪切模量產(chǎn)生影響。設(shè)想ΔV里的每一條裂紋都包含在一個(gè)局部的代表性單元里,如圖2所示,該單元長(zhǎng)為2l,寬為2h,裂紋長(zhǎng)為2L,且與x軸夾角為θ。在遠(yuǎn)端剪力q的作用下,設(shè)裂紋面上的正應(yīng)力為N′,剪應(yīng)力為q′,則裂紋的可能狀態(tài)有3種:

圖1 遠(yuǎn)端受剪力的薄板Fig.1 Plate under remote shear

圖2 ΔV內(nèi)的局部代表性單元Fig.2 Local representative element in ΔV

1) 裂紋面受拉伸作用而張開(kāi),此時(shí)N′≥0,q′=0;

2) 裂紋面受壓剪作用閉合,且裂紋面間沒(méi)有摩擦滑動(dòng),此時(shí)N′<0,|q′|<μs|N′|,其中μs為材料的摩擦系數(shù);

3) 裂紋面受壓剪作用閉合,且裂紋面間有摩擦滑動(dòng),此時(shí)N′<0,|q′|>μs|N′|。

裂紋面處于上述的何種狀態(tài)取決于裂紋的角度θ。根據(jù)文獻(xiàn)[11],當(dāng)90°≤θ<180°時(shí),裂紋面處于張開(kāi)狀態(tài);當(dāng)0°≤θ

為了求出薄板內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變,可以采用彈性力學(xué)理論中的復(fù)變函數(shù)法[12],先根據(jù)應(yīng)力邊界條件給出適合的復(fù)變函數(shù)φ1(z),ψ1(z)的具體形式,再按照公式:

(1)

和

(2)

分別求出薄板在平面應(yīng)力條件下任意一點(diǎn)(x,y)的位移分量u和v以及應(yīng)力分量σx,σy和τxy。其中,式(1)中的E為材料的楊氏模量,μ為泊松比。

圖2中的裂紋面處在不同的狀態(tài)時(shí),函數(shù)φ1(z),ψ1(z)具有不同的形式,具體可參考文獻(xiàn)[11]。比如裂紋面之間若有摩擦滑動(dòng),則裂紋面間就有摩擦力τf=μs|N′|,這種應(yīng)力邊界條件對(duì)應(yīng)的復(fù)變函數(shù)為

同理,由公式(2)可求出局部代表性單元邊界上各點(diǎn)的剪應(yīng)力分量,再求出其平均值,就得到了局部代表性單元上的局部剪應(yīng)力τxy。局部代表性單元上的剪應(yīng)力τxy和剪應(yīng)變?chǔ)脁y可看作ΔV內(nèi)每一條微裂紋附近的局部剪應(yīng)力和剪應(yīng)變。

顯然,ΔV內(nèi)的每一條裂紋附近的局部剪應(yīng)力τxy和局部剪應(yīng)變?chǔ)脁y均與裂紋的長(zhǎng)度和角度有關(guān),即

τxy=τxy(L,θ),γxy=γxy(L,θ)

如果ΔV內(nèi)的裂紋分布概率密度函數(shù)為f(L,θ),則ΔV的總體剪應(yīng)力和剪應(yīng)變分別為

(3)

利用上式,就可以得到含隨機(jī)分布裂紋的代表性單元ΔV的有效剪切模量:

(4)

若將ΔV看作薄板內(nèi)的一點(diǎn),則用上述方法可求得薄板內(nèi)任一處的剪應(yīng)力、剪應(yīng)變和剪切模量。

2 微裂紋完全隨機(jī)分布的薄板剪切模量的計(jì)算

假設(shè)圖1中的薄板含有方向完全隨機(jī)分布的微裂紋,裂紋半長(zhǎng)為a,則公式(3)可以變?yōu)?/p>

如果忽略微裂紋之間的相互作用,則每一條微裂紋附近的局部剪應(yīng)力τxy就可近似為遠(yuǎn)場(chǎng)剪力q[13],這時(shí)薄板的有效剪切模量可表示為

α=Na2

圖3 h/l的變化對(duì)曲線的影響Fig.3 Influence of h/l on relation cueve

圖4 μs的變化對(duì)曲線的影響Fig.4 Influence of μs on relation cueve

3 結(jié) 語(yǔ)

本文利用彈性力學(xué)方法,結(jié)合基于細(xì)觀力學(xué)的統(tǒng)計(jì)方法,分析了受剪切作用薄板內(nèi)部含分布裂紋的一個(gè)代表性單元的剪切模量,并用分析得到的公式計(jì)算了微裂紋完全隨機(jī)分布的薄板的有效剪切模量。該方法可以分析含各種隨機(jī)分布裂紋的平面問(wèn)題薄板的剪切損傷模量,還可用來(lái)分析含缺陷材料受拉伸和壓縮時(shí)的有效楊氏模量,進(jìn)一步可研究復(fù)雜載荷作用下的材料和結(jié)構(gòu)的各項(xiàng)力學(xué)性能。