基于PBL教學(xué)模式的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力
——建模能力培養(yǎng)的策略研究

北京市第十五中學(xué) 鄭毅斌

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中提到，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中逐步形成和發(fā)展的。高中數(shù)學(xué)確定了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)。從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的定義來看，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的必備成分，不可或缺，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力確保數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在內(nèi)涵上實現(xiàn)了知識與能力的統(tǒng)一。

新課標(biāo)指出要培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界（以下簡稱“三會”）。“三會”既在一定程度上詮釋了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，也體現(xiàn)了學(xué)生從數(shù)學(xué)視角提出問題、分析問題、解決問題的能力。構(gòu)建高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力操作性定義的基本結(jié)構(gòu)，如圖1所示，以數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)表達(dá)作為一級維度。其中，數(shù)學(xué)觀察維度包括數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象與化歸能力；數(shù)學(xué)思考維度包括數(shù)學(xué)猜想與論證能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；數(shù)學(xué)表達(dá)維度包括數(shù)據(jù)分析與預(yù)測能力、數(shù)學(xué)建模能力。數(shù)學(xué)建模能力是一個不容小覷的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。

圖1 構(gòu)建高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力操作性定義的基本結(jié)構(gòu)

一、PBL教學(xué)模式

PBL教學(xué)模式（problem－basedlearning），主要是以問題為導(dǎo)向的教學(xué)方法，體現(xiàn)了以學(xué)生為中心的教育理念，PBL教學(xué)模式是在傳統(tǒng)教學(xué)的基礎(chǔ)上，結(jié)合高中生認(rèn)知規(guī)律與思維特征，以自主、合作理念為核心的新型教學(xué)方法，是一種以問題為中心的教學(xué)模式。教師通過設(shè)置合理的教學(xué)情境，鼓勵學(xué)生自主探究、勇于提問，且通過分析、討論與實踐獲得知識結(jié)構(gòu)、應(yīng)用技能的提升，以促進(jìn)個體的全面綜合發(fā)展。PBL教學(xué)模式有著很強(qiáng)的應(yīng)用指向，學(xué)生通過獨立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流，分析問題直至解決問題，挖掘問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和隱含的知識內(nèi)涵，從而形成正確的數(shù)學(xué)思想方法，提高問題解決能力和自主學(xué)習(xí)能力。

PBL教學(xué)模式主要有以下特點：（1）以問題為教學(xué)的出發(fā)點，并將問題貫穿整個教學(xué)過程，學(xué)生的學(xué)習(xí)主要是通過問題進(jìn)行構(gòu)建的；（2）注重教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，通過任務(wù)性教學(xué)活動提高學(xué)生分析問題和解決問題的熱情；（3）體現(xiàn)學(xué)生的主體性，注重學(xué)生的獨立思考與合作探究，是以學(xué)生自主學(xué)習(xí)為中心的教學(xué)模式。

二、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力——建模能力

數(shù)學(xué)建模能力是指學(xué)生在日常學(xué)習(xí)生活中發(fā)現(xiàn)問題并運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，然后還原到實際問題中從而解決實際問題。數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)可以教會學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學(xué)的方法解決問題，可以極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。正是學(xué)生主動地探索和研究，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的渴求度得到極大提升。

三、策略研究

PBL教學(xué)模式和數(shù)學(xué)建模活動都與解決現(xiàn)實生活問題緊密聯(lián)系，都是以驅(qū)動型問題串作為主要的形式促使學(xué)生合作探究、動手實踐，更多地關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，而驅(qū)動型問題串的設(shè)置就要在合適情境下構(gòu)建。我們嘗試著從課上學(xué)生限時學(xué)習(xí)、課下學(xué)生拓展學(xué)習(xí)（選修課）、課外學(xué)生合作性學(xué)習(xí)這三方面做了探索。

（一）課上研討，設(shè)置驅(qū)動型問題串

隨著新教材的引入，建模能力的培養(yǎng)已經(jīng)滲透進(jìn)入教材，如每章的章前導(dǎo)語，以及每章最后的閱讀材料或者拓展材料都提供了相關(guān)的實際問題背景，學(xué)生都十分感興趣，如圖2所示。

圖2 閱讀材料

章前導(dǎo)語正是這一章的起始課，當(dāng)學(xué)生對要學(xué)的知識很茫然時，有了這種很好的問題背景，加上教師設(shè)置一系列的問題串，使學(xué)生帶著問題繼續(xù)后續(xù)的學(xué)習(xí)，而這些新的情境多是生活中真實發(fā)生的，學(xué)生的代入感比較強(qiáng)，可以調(diào)動學(xué)生的積極性。而學(xué)到的新知識也正是解決這些問題的數(shù)學(xué)模型。這樣學(xué)生腦海里就形成了用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的流程，即數(shù)學(xué)建模的流程。正是這樣設(shè)置問題情境的問題串，使學(xué)生能帶著問題思考，學(xué)生站位高，才能認(rèn)識問題更深刻。

（二）開設(shè)校本課程，提高解決問題的能力

北京市第十五中學(xué)已經(jīng)參加北京市高中數(shù)學(xué)建模比賽很多年，有很多學(xué)生在學(xué)校這種教學(xué)模式下，通過自身努力撰寫的論文取得了很好的成績。

例如，部分獲一等獎數(shù)學(xué)建模論文如下：

《減少后視鏡視覺盲區(qū)的探究》《大型汽車右后視鏡的設(shè)計與擺放》《用小米手環(huán)探究跑步時對呼吸頻率的影響》《關(guān)于雙井橋路口東向路口交通擁堵狀況的影響及其緩解方法的初探》《高峰時段西單站地鐵換乘的優(yōu)化選擇》《出租車計價標(biāo)準(zhǔn)的合理性與優(yōu)化》《教室LED照明規(guī)劃與展望》《西單圖書大廈收銀臺合理化配置》《函數(shù)模型在中國人臉型區(qū)分及對應(yīng)發(fā)型選取》《信號控制交叉口左彎待轉(zhuǎn)區(qū)設(shè)置的合理性分析》《手動跟蹤太陽能光伏發(fā)電系統(tǒng)最大功率研究》，等等。

這些優(yōu)秀論文所撰寫的內(nèi)容、解決的問題都是學(xué)生身邊發(fā)生的事情，學(xué)生都能切身體會到。對高一、高二學(xué)生我們開設(shè)了論文研讀課，通過閱讀這些論文讓他們自己感悟。素材很好，如何發(fā)揮出最佳效果呢？首先，我們將學(xué)生分組，每組至少四人形成學(xué)習(xí)的共同體。第一步，讀懂論文；第二步，提出問題；第三步，評價論文并引發(fā)自己的想法。那么這三個環(huán)節(jié)中最關(guān)鍵的就是第一步，學(xué)生最先接觸到的是論文的情境，根據(jù)情境每個學(xué)生各抒己見提出相關(guān)的問題，有的學(xué)生針對研究的價值和意義，有的學(xué)生針對解決問題的策略，有的學(xué)生針對數(shù)據(jù)的采集，有的學(xué)生針對采用的數(shù)學(xué)模型等。學(xué)生將這些問題匯總后，帶著這些問題去研討從而將論文徹底弄清楚。其次，學(xué)生對這個選修課很感興趣，以小組形式匯報時很有感觸和啟發(fā)，為下一階段的論文撰寫打下基礎(chǔ)。在這個過程中，學(xué)生帶著問題在真實的情境下學(xué)習(xí)，極大地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，學(xué)生甚至?xí)门惺降难酃馊タ磫栴}，極大地提高了他們分析問題、解決問題的能力。

（三）利用課下時間鼓勵學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)建模論文

對學(xué)生而言，論文撰寫難點是如何確定論文的題目。通過論文研讀課他們很受啟發(fā)，選題來源之一：用同樣的方法研究與其相似的問題。選題來源之二：換個視角、增加問題的復(fù)雜性，進(jìn)一步研究相關(guān)的問題；學(xué)生在深入學(xué)習(xí)之后，思路逐漸打開，視野逐漸放大，關(guān)注篩選熱點問題、現(xiàn)實問題、身邊問題。選題來源之三：用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)現(xiàn)研究的新問題。題目方向確定后，教師鼓勵學(xué)生首先撰寫論文提綱，提綱內(nèi)容主要是設(shè)計成驅(qū)動型的問題串形式，如情境是什么，問題是什么，如何采集數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)模型？……學(xué)生在解決這一系列問題過程中也就將自己的論文整體流程梳理得清晰明了，論文撰寫也就水到渠成了。

正是通過這種課上教師設(shè)置問題情境，合理設(shè)置驅(qū)動型問題串，學(xué)生積極學(xué)習(xí)，選修課研讀優(yōu)秀論文，學(xué)生鞏固豐富自己的能力，課下運(yùn)用掌握的方法和策略完成建模論文，從而極大地提升了數(shù)學(xué)建模的能力，提升學(xué)生解決問題的能力。