中學數學建模論文研讀課程教學模式設計與實施

北京市第十五中學 吳奇琰

一、研究背景

（一）《數學課程標準》關于數學建模的提出

《數學課程標準》對數學建模和數學建模素養有如下描述：數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養。

數學建模的過程主要包括：在實際情景中從數學視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型，確立參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題。數學模型搭建了數學與外部世界聯系的橋梁，是數學應用的重要形式。通過對數學建模課程的學習，學生能有意識地用數學語言表達現實世界，發現和提出問題，感悟數學和現實的關聯，學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐經驗。《數學課程標準》關于數學建模核心素養的闡述在頂層設計上突出了在中學開展數學建模課堂教學的重要意義。

（二）《數學課程標準》關于建模課程設計的要求

根據新修訂的《數學課程標準》中關于課程結構的描述，將數學建模活動和數學探究活動、函數、幾何與代數、概率與統計列為突出的四條主線，貫穿必修、選擇性必修和選修課程。數學建模活動和數學探究活動是綜合提升數學素養的載體，如何通過課堂教學，使學生了解數學建模的意義，掌握數學建模的基本過程，并結合實際情況開展建模活動，最終形成論文或報告，體驗一個微科研的過程，顯然論文研讀是一種很好的體驗式學習方式。通過論文研讀課堂學習，學生可以從類比、模仿到自主創新，從局部實施到整體構想，慢慢經歷完整的活動過程。

（三）校本數學建模教學實踐與研究的需要

北京市第十五中學從2000年就已經開始了數學建模教學的研究與實踐，多次組織學生參加數學應用知識競賽，并取得優異的成績。學校將學生獲獎論文匯編成集，出版了《數學之眼看世界》《思維與創造》這兩本論文集，為論文研讀課堂教學提供了必要的教學素材。通過對數學建模論文研讀課堂教學模式進行思考和探索，創新校本課堂教學實踐，促成新的優質數學建模論文產生，以形成良性循環。

二、概念界定

（一）數學建模

1．數學建模概念

把現實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋現實問題，數學知識的這一應用過程稱為“數學建模”。數學建模是一種數學思想方法，是運用數學語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學手段。數學建模的主要程序如圖1所示。

2．中學數學建模

在中學生現有知識水平和認知能力的基礎上，結合課堂教學所學，通過論文研讀，了解數學建模的基本過程和步驟，以實際問題為研究對象，建立科學合理的數學模型，體驗建模的過程，最終以論文或報告的形式呈現研究過程和結果。

（二）教學模式

（1）“引導—發現”模式：實質是以學生自主探索、合作交流為主，輔以教師的引導和幫助，充分發揮學生的主體性，激發學生的學習興趣。理論依據主要是布魯納的“發現學習”理論及布蘭達的“探究—研討”教學法等。

圖1 數學建模的主要程序

（2）“活動—參與”模式：強調學生的活動，以學生主體探究活動為中心組織教學，強調學生直接經驗的獲得、實踐能力的培養，在教學活動中引導學生動手、動口、動腦，在做中學、在用中學，通過動手操作、參與實踐等數學活動將知識“內化”為學生頭腦中的經驗。這一模式理論依據是皮亞杰的發生認識論和弗萊登塔爾的“數學化”思想。

（三）論文研讀課

論文研讀課是學生在教師的引導下，通過對選取的數學建模論文進行閱讀、思考、討論、分析、研究的課堂教學過程。一方面，通過學習，學生了解該論文或課題的研究方向和研究成果；另一方面，從實際問題的提出、數學問題的抽象與簡化、數學方法的運用、數學問題的求解、實際問題的反饋、研究經歷等各個環節了解數學建模的完整過程，為自己（或小組）開展數學建模活動并完成論文提供思路和借鑒。

三、研究過程

以校本選修課的組織形式開展教學實踐研究，選取兩篇有代表性的數學建模獲獎論文，帶領學生進行論文研讀。以下結合《對跑步時呼吸頻率的探究》論文研讀課的教學實踐，總結出一般論文研讀課的課例設計方案，重點突出論文研讀資料的選取、教學學案的準備、教學模式的選擇、教學環節的設置這幾個方面。

（1）課例：數學建模論文《對跑步時呼吸頻率的探究》研讀。

（2）授課年級：高二年級。

課型：校本選修課（25人）。

（3）課時安排：課上學習交流三課時（每課時50分鐘），課下延伸研究4 5周。

（4）教學模式：“引導—發現”模式和“活動—參與”模式。

（5）教學準備如下。

材料準備：本校學生獲獎論文《對跑步時呼吸頻率的探究》；論文研讀提綱（學案）。

知識準備：通過前期教學，學生已經學習了數學建模的基本概念，并在對數學應用競賽試題分析和討論中，了解了數學建模問題的特點以及與日常課堂教學數學問題的區別，主要體現在問題提出的實際性、問題處理的靈活性、問題結論的開放性這三個方面。

（6）教學設計如下。

環節一（問題感知）：教師分發研讀論文資料，學生自行通讀全文（1課時）。

教師活動：①分發研讀論文資料，每人一份；②說明論文研讀對數學建模學習的重要意義；簡單介紹所研讀論文作者的基本情況，簡述作者開展問題研究的背景和經歷，以及該論文參加市級競賽的過程和優異成績，為學生對研讀論文初感知做好鋪墊；③在學生自行閱讀論文過程中，巡視并和學生做簡單交流，關注、收集學生的問題和困惑。

學生活動：認真通讀所發的研讀論文資料，問題初感知，從整體上了解和把握論文所涉及的問題，研究思路和解決方法，隨時記錄自己的困惑，以便后期繼續思考或者合作交流探討。

環節二（合作研討）：以學案為引導，以小組為單位進行小組研討，完成學案，從而全面深入地讀懂數學建模論文（1課時）。

教師活動：①分發論文導讀提綱（學案），介紹小組交流方式及內容，提出書寫學案要求；②深入學生，參與交流，了解學生研討情況并共同解決學生遇到的部分問題。

學生活動：3 4人為一組，共同研討，互相啟發，嘗試小組內解決問題，觀點基本達成一致后，完成學案（此環節學生在學習活動課堂上如果沒有完成，可延伸至課下）。

①通讀全文，你覺得數學建模的基本過程是什么？一篇規范的中學數學建模論文包含哪些基本內容？

②本論文研究的主要問題是什么？簡要說明問題提出的背景。

③影響研究問題的主要因素有哪些？為研究和解決問題，本文做了哪些合理的假設？

④在研究過程中，作者用到了哪些研究方法？涉及哪些數學知識？

⑤通過研究，作者在數學上得出了怎樣的結論？

⑥反饋到實際問題中，數學上的解還需要怎樣進行修正和補充？

⑦針對作者的研究過程及成果優缺點和改進措施，你覺得還需要考慮哪些因素？

⑧對這個研究方向，你還能提出哪些可研究的課題？（至少寫出兩個）

環節三（交流分享）：以小組為單位，選派學生講解所研讀的建模論文，師生間討論、交流分享，使學生能“讀懂論文，理解論文，講述論文”（1課時）。

教師活動：①組織學生以小組為單位，指派每組一人在課堂上對本篇研讀論文進行講解；②講解過程中，和學生即時互動交流，對學生講解過程中不完整的地方有針對性地進行補充和說明。

學生活動：每組選派一人，根據本組的討論內容和對研讀論文的理解，在課堂上講解自己的觀點，積極思考并參與討論交流。

環節四（思考延續）：結合研讀論文所提出的新研究方向或者新課題，運用課堂教學所學，開展數學建模實踐研究（課下4 5周）。

學生活動：選取結合研讀論文研究方向所提出的新話題或者重新選取新研究課題，以小組為單位確立研究內容、方法和研究思路，完成比較完整的研究報告。

教師活動：對學生進行過程性指導，幫助學生完善研究，最終形成研究報告，并選擇優異的建模論文參加相應等級數學應用競賽。

四、研究結論

（一）論文研讀素材挑選的基本原則

（1）論文研讀素材的選取最好是學生獲獎論文，其具有權威性，可以保障科學性。獲獎學生的論文結構非常完整，不僅呈現了選題—建立模型—求解模型—研究結論的全過程，而且參與并通過了全市統一由大學教授作為評委的論文答辯，因而確保論文在一定程度上具有權威性、嚴謹性和科學性。盡管從專業視角來看有的論文研究角度和深度還略顯稚嫩，但在課堂教學中使用這樣的素材，也便于學生從同齡人的視角進行思考和分析。

（2）論文研讀選題要貼合學生實際生活，要兼具趣味性。數學建模研究的課題本身源于生活實際，所以在論文研讀課上選取素材時一定選接地氣的實際生活中的問題。興趣是學生學習的最大動力，濃厚的興趣，能提升學生課堂學習效率和教學效果。

（3）論文研讀課題研究過程中用到的數學知識要在中學生能力掌握范圍之內；研究課題涉及的知識最好是多學科知識的融合；課題的研究成果或結論具有開放性，可拓展深化。

（二）教學模式及組織形式的思考及建議

在教學模式的選擇上，考慮到學生研讀材料所涉及問題的開放性以及知識的綜合性，包括所需知識的廣度和深度，因此在教學中建議采用“引導—發現”模式和“活動—參與”模式相結合的方式組織教與學。以學生為主體，使學生在對所給論文的探究活動中直接獲得經驗，了解開展課題研究的基本思路和過程，教師輔以引導，幫助學生主動發現解決問題的思路和方法，完成經驗積累。教師在課堂上要給予學生充分的思考、討論時間與空間，培養學生的主體意識、參與意識和創新意識。教師課下鼓勵學生主動提出問題，初步掌握科學研究方法，在建模活動參與中主動形成初步數學建模能力。

在教學組織形式方面，數學建模學習和實踐操作的過程都需要應用到綜合數學基礎知識，因此要求學生擁有較系統的基礎知識和較好的數學能力。同時數學建模論文研讀的課堂教學開放性很大，組織形式較為靈活，課下還需要拓展延伸，所以建議以校本選修課形式開展教與學，選定20 30名學生組成一個或兩個選修課教學班，每周固定時間開展教學或合作研究，以一學期為教學時段。如果學生課下已經開始開展相關課題研究或者參加相應的數學應用知識競賽，可以將教與學適當延伸至一學年。

（三）課堂教學評價的思考

不同于其他課堂教學通過考試來評價學生的學習效果，論文研讀課主要側重過程性評價，分為課上和課下兩個維度評價教學目標的達成情況。

（1）教師通過在論文研讀課堂上的教學和引導，關注學生對研讀論文的分析和理解效果。在課堂教學中，教師和學生共同學習與交流的重點應該是思考所研究論文數學建模的思維過程，就是研究者的想法和解決辦法，不過多糾結于過難的數學知識。對學生來說，思考和分析問題比解決問題更重要，建模論文的研讀是為學生打開一扇窗，促使學生養成積極思考的習慣。

（2）結合所研讀論文的思路和方法，學生能否提出有價值的新課題，課題可以是研讀論文的深入和延續，也可以是全新的研究方向。課下評價主要看學生能否按照數學建模的基本步驟完成研究，并完成比較完整的數學建模論文（小組合作）。在數學建模活動中，學生是認知活動的主體，方案的探索、實施、調整和反思應盡量由學生自主或者合作探究完成。教師評價學習效果時，不要過多地強調研究的結果，主要關注問題是否有價值、數學方法使用是否得當，研究過程是否合理完整，研究結果是否有一定的實際意義。本學期學生在進行論文研讀課的學習之后，以小組為單位提出了很好的研究課題，并結合課堂教學所學，經過實踐研究，有的學生已經初步形成了比較完整的研究報告。