基于等時距處理和IOWHA算子的路基沉降預測

邱紅勝， 楊雨， 李東健， 羅剛

(武漢理工大學交通與物流工程學院， 武漢 430063)

軟土作為特殊土的一種尤為常見，江河中下游、湖泊以及沿海地區附近均有軟土覆蓋，因軟土具有強度低、壓縮性高、承載力低、易于擾動等不良工程特性，直接計算沉降是有一定難度的，因此技術人員常根據現場實測數據推測沉降量[1]。

大量工程經驗表明，全過程的地基沉降與時間的關系曲線呈S形[2]，路基的沉降過程經歷發生、發展、成熟、到達極限4個階段[3]。由于S形曲線能很好地描述路基固結沉降的發展規律，因而近年來受到各國學者青睞。張宇亭等[4]用Gompertz模型對濱海路基進行沉降預測，將預測值與實測值比對，證實該方法在軟土地基沉降預測的可行性。朱志鐸等[5]驗證了實測沉降曲線與Logistic曲線基本吻合，表明用于擬合的數據越多預測結果越精準。胡習陽等[6]建立GM(1,1)、灰色Verhulst和非等時距UGM(1,1)3種模型進行沉降預測，結果表明灰色Verhulst模型模擬和預測精度更高。

影響軟土路基沉降的因素有很多，單一的預測模型和預測方法不同發展階段的精確性和適用性不同，即便對單一模型進行改進，預測結果的可靠性難以保證。而組合預測將不同的預測方法進行適當組合，能夠綜合各單項模型優勢避免單一預測模型受隨機因素的影響，進而有效提高預測精度[2-3,7- 8]。王博林等[9]通過建立Gompertz和Logistic模型以及二者的最優化組合模型對高填方土體后期沉降量進行預測，結果表明最優組合模型的精度和可靠性均優于單一模型。劉光秀等[10]通過對灰色模型和Gompertz模型根據最優加權組合原理建立組合預測模型，驗證了新構建的組合模型能夠有效消除系統誤差提高擬合精度。王俊瑜等[11]基于三參數冪函數模型和Logistic模型，以最小誤差平方和為準則構建了最優組合沉降預測模型，發現組合模型擬合結果可靠，預測精度明顯高于單項模型。

根據上述研究成果，選用Gompertz、Logistic和灰色Verhulst 模型3種模型為單預測模型，分別以原始沉降數據、經過三次樣條插值處理的數據和經過分段三次插值處理的數據為樣本值建立3種單模型，經過對比分析得到每種模型的優勢方法。對3種單模型建立基于誘導有序加權調和平均(induced ordered weighted harmonic averaging，IOWHA)算子的組合預測模型，并用遺傳算法(genetic algorithm，GA)和MATLAB的非線性優化工具箱兩種求解方法。

1 單預測模型及等時距處理方法簡介

1.1 S形曲線簡介

Gompertz模型最初用來描述自然界生長變化的規律，之后Gompertz曲線廣泛應用于在市場經濟和交通預測中，其預估模型的表達式為

sg=Le-ae-bt

(1)

式(1)中：L、a、b為模型3個待定參數；t為時間；sg為Gompertz曲線的預測沉降量。

Logistic曲線是以美國生物學家和人口統計學家Raymond Pearl名字命名的曲線，可以反映生物生長過程，被廣泛應用于生物繁殖和產品生命周期分析等方面，目前也被應用于路基沉降預測中，其預估模型的數學表達式為

(2)

式(2)中：sl為Logistic曲線的預測沉降量。

運用Origin軟件對Gompertz和Logistic兩種S形曲線模型進行擬合，用擬合優度R2評價擬合程度，R2取值范圍為0～1，R2越接近1說明擬合效果越好。

1.2 灰色Verhulst預估模型

1.2.1 模型建立

灰色Verhulst模型主要用來描述具有飽和狀態的演化過程，如S形過程，反映了生物生長由加速到減速增長到最終趨于穩定的過程，這一過程和路基沉降基極為相似。

灰色Verhulst模型的表達式和灰色Verhulst模型的白化方程分別為

S(0)(k)+aZ(1)(k)=b[Z(1)(k)]2

(3)

(4)

式中：S(0)為原始沉降數據序列；k=2,3,…,n；S(1)為S(0)的1-AGO序列；Z(1)為S(1)的緊鄰均值生成序列。

白化方程的解為

(5)

灰色Verhulst模型的時間響應式為

(6)

Verhulst模型的參數用最小二乘法估計表示為

(7)

式(7)中：

(8)

(9)

1.2.2 模型的精度檢驗

后驗差檢驗是最灰色預估模型常用的檢驗方法。檢驗步驟如下。

步驟1計算原始時間序列S(0)的均值和方差，其表達式分別為

(10)

(11)

步驟2計算殘差數列e0={e0(1),e0(2),…,e0(n)}的均值和方差，計算公式分別為

(12)

(13)

步驟3計算后驗差比值，其計算公式為

c=s2/s1

(14)

步驟4計算小誤差頻率，其計算公式為

p=|A|/n

(15)

步驟5根據表1判定預測精度的等級。

表1 模型預估精度檢驗等級Table 1 Test scale of model prediction accuracy

1.3 等時距處理方法簡介

1.3.1 分段三次Hermite插值

在實際中不僅要求插值在節點的函數值相等，同時要滿足節點導數值相等，甚至要滿足高階導數值相等，滿足這種要求的插值多項式稱為Hermite插值多項式。構造的插值多項式的次數過高可能會出現龍格現象，因此采用分段插值的方法構造多項式。設函數f(x)在[a,b]上的節點xi處函數值為yi(i=0,1,…,n)，導數值為mi(i=0,1,…,n)，對任意兩相鄰節點xk、xk+1(k=0,1,…,n-1)可構造兩點三次埃爾米特插值多項式，可表示為

k=0,1,…,n-1

(16)

(17)

分段三次Hermite插值多項式為

(18)

因此分段線性插值函數Ih(x)在[a,b]上用插值基函數表示為

(19)

式(19)中：

(20)

(21)

則余項可表示為

|R3(x)|=|f(x)-Ih(x)|

(22)

式(22)中：

(23)

式(23)中：f(4)(ξ)為f(x)的四階導數在ξ處的函數值,ξ∈[xk,xk+1]。

1.3.2 三次樣條插值

若函數P(x)∈[a,b]，在區間[xi,xi+1]上是三次多項式，x0,x1,…,xn是區間[a,b]上的節點，則稱P(x)為節點x0,x1,…,xn上的三次樣條函數。若yi=f(xi)(i=0,1,…,n)是在節點xi上給定的函數值，且滿足P(xi)=yi(i=0,1,…,n)，則稱P(x)為三次樣條插值函數。P(x)需滿足式(24)的條件，mi(i=0,1,…,n)為節點上的導數值。Pk(x)為[xk,xk+1]上的兩點三次樣條插值多項式，滿足式(25)，令hk=xk+1-xk,k=0,1,…,n-1，整理后得到基本方程組如式(26)所示。

(24)

i=k,k+1；k=1,2,…,n-1

(25)

λkmk-1+2mk+μkmk+1=gk

(26)

插值函數不僅要滿足中間節點的限制要求，也要滿足下述邊界條件。

(27)

當滿足第一類邊界條件時，基本方程組可簡化為式(28)，矩陣形式如式(29)所示。

(28)

(29)

當滿足第二類邊界條件時，基本方程組可簡化為式(30)，矩陣形式如式(31)所示。

(30)

(31)

2 組合預測模型的建立

2.1 基于IOWHA算子的組合模型權重系數的確定

利用MATLAB中的最優化工具箱計算得到基于IOWGA的組合預測模型的最優權系數。

基于IOWHA算子的組合預測模型克服了傳統加權調和平均組合預測方法賦權的缺陷，綜合考慮了每個單項預測模型在各個時間點的預測精度的高低按順序賦權。

第t時刻IOWHA組合預測值可表示為

IOWHAL(〈p1t,s1t〉,〈p2t,s2t〉,…,〈pmt,smt〉)=

(32)

式(32)中：pit為第i種預測方法第t時刻的預測精度；sit為第i種預測方法第t時刻的預測值i=1,2,…，m；t=1,2,…,N；li為m種單項預測序列在組合預測種的加權系數(滿足非負性和歸一性)；sp-index(it)為預測精度第i個大的預測值。

(33)

基于IOWHA算子的組合預測模型可表示為

(34)

式(34)中：L為由權重系數構成的列向量，L=[1, 2,…,m]。

2.2 組合預測模型評價標準

為反映基于IOWHA的組合預測模型的有效性，按預測效果的評價原則，選擇誤差平方和、均方誤差、平均絕對誤差和平均絕對百分比誤差作為評價指標，如式(35)所示，這4項指標值越低表明模型預測精度越高。其中MAPE的精度分級原則如表2所示。

(35)

式(35)中：SSE為誤差平方和；MSE為均方誤差；MAE為平均絕對誤差；MAPE為平均絕對百分比誤差。

表2 MAPE預測精度等級劃分Table 2 MAPE classification of prediction accuracy

3 等時距處理方法對比研究

3.1 常張高速公路軟土路基

常張高速公路K159+585是一典型觀測斷面[2]，原地基為軟土地基，土質為低液限黏土，施工進行了粉噴樁處理。高路堤填土為紅砂巖，設計填方高度為15.1 m，觀測板板底距原地面1.392 m，主要觀測原地基的沉降量。

為提高模型預測精度，通過對樣本值的比選，適當剔除觀測前期數據，以351 d以前的觀測數據作為各預測模型的樣本值，對351～409 d共58 d的4期數據進行預測。Gompertz模型和Logistic模型以166～341 d的觀測值作為樣本值，灰色Verhulst模型以184～341 d的觀測值作為樣本值。

根據第2節中所述的分段三次Hermite插值和三次樣條插值求解方法，分別對3種單一預測模型進行處理得到等時距的沉降數據樣本值。對原始觀測沉降值以及兩種等間距處理的沉降數據樣本值用Gompertz模型、Logistic模型、灰色Verhulst模型3種模型進行擬合求解并預測后4期沉降值，各模型的沉降預測曲線如圖1所示。各預測模型精度指標值的比較如表3所示。

圖1 常張高速各模型等時距處理方法對比Fig.1 Comparison of equal-interval processing methods for different models of Chang-Zhang highway

表3 常張高速各預測模型精度評價指標的比較Table 3 Comparison of precision evaluation indexes of different prediction models for Chang-Zhang highway

由表3可知，3種模型的3種情況的擬合優度均大于95%，置信水平顯著；MAPE均小于10%，屬于高精度預測。其中Gompertz模型和Logistic模型基于分段三次Hermite插值后的樣本值的擬合程度和預測精度都更高于其他兩種情況。灰色Verhulst模型3種情況的小誤差概率均為1，后驗差比值均小于0.35，預估模型精度等級為“好”，根據擬合優度和SSE、MAPE、MSE、MAE預測評價指標，以原始沉降數據作為樣本值灰色Verhulst模型的預測精度更高。

由圖1(a)、圖1(b)可知，在沉降速率明顯下降的時候，如291～309 d和318～341 d時間段，三次樣條插值雖然有連續曲率(二階導數連續)具有足夠的光滑性，但是明顯比三次分段Hermite插值更偏離原始沉降數據。對于Gompertz和Logistic兩種模型，以分段三次Hermite插值處理的數據作為樣本值的擬合效果和預測效果更優。

3.2 內蒙古烏-噶一級公路軟土路基

內蒙古沙漠地區烏審召生態工業園區——噶魯圖段一級公路(簡稱烏-噶一級公路)在K35+100～K35+800之間為軟土路基[12]，地勘資料表明在該路段地勢低洼，表層0.2 m范圍內為細砂，0.2 m以下為3.5～5.4 m厚的粉土及淤泥質粉土夾層，地下水位較高為0.6 m，透水性不好，力學指標較差，地基承載力低。該路段主要采用了置換、擠密等綜合方法對土體改良加固，對加固后的軟土路基進行動態監測。

為提高模型預測精度，通過對樣本值比選，適當剔除觀測前期數據，以201 d前的觀測數據為各個預測模型的樣本值，對234～328 d共94 d的4期數據進行預測。其中Gompertz模型和Logistic模型以29～201 d的觀測值作為樣本值，灰色Verhulst模型以76～201 d的觀測值作為樣本值。

根據第2節中所述的分段三次Hermite插值和三次樣條插值求解方法，分別對3種單一預測模型進行處理得到等時距的沉降數據樣本值。對原始觀測沉降值以及兩種等間距處理的沉降數據樣本值用Gompertz模型、Logistic模型、灰色Verhulst模型3種模型進行擬合求解并預測后4期沉降值，沉降預測曲線如圖2所示。各個預測模型精度指標值的比較如表4所示。

圖2 烏-噶一級公路各模型等時距處理方法對比Fig.2 Comparison of equal-interval processing methods for different models of Wu-Ga first class highway

由表4可知，除灰色模型情況2外，3種模型的3種情況的擬合優度均大于95%，置信水平顯著；MAPE均小于10%，屬于高精度預測。Gompertz模型和Logistic模型以分段三次Hermite插值后的數據為樣本值的擬合程度和預測精度都更高于其他兩種情況。灰色Verhulst模型3種情況的小誤差概率均為1，后驗差比值均小于0.35，預估模型精度等級為“好”。根據擬合優度和預測評價指標，原始沉降數據為樣本值時，灰色Verhulst模型的預測精度更高。

由圖2(a)、圖2(b)可知，91 ～116 d和134 ～176 d時間段沉降速率明顯下降，經三次樣條插值處理的數據比三次分段Hermite插值處理的數據更偏離原始沉降數據。烏-噶一級公路用Gompertz和Logistic兩種模型預測時，以三次分段Hermite插值處理的數據為樣本值的擬合效果和預測效果更優。

結合常張高速公路和烏-噶一級公路兩工程實例分析，在用Gompertz和Logistic兩種模型以沉降速率發生明顯變化時刻的數據作為最后一組樣本值進行預測時，推薦選用分段三次Hermite插值對原始沉降數據進行等時距處理后再預測沉降量。對于灰色Verhulst模型，推薦采用原始沉降數據為樣本值進行沉降預測。

4 組合預測模型對比分析

4.1 常張高速公路軟土路基

第3節中計算結果表明，常張高速公路Gompertz和Logistic模型經分段三次Hermite插值的沉降數據為樣本值時預測精度更高，因此在組合預測中將兩種模型的情況3作為單預測模型。灰色Verhulst模型以原始沉降數據為樣本值預測精度更高，因此在組合預測中將灰色模型的情況1作為單預測模型。

基于建立的3種單模型，將其每時刻的預測值按照精度高低進行排序，分別運用MATLAB的非線性優化工具箱和遺傳算法(genetic algorithm，GA)兩種方法求解基于IOWHA算子的組合模型的最優權系數，并將這兩種方法的組合預測結果及單項預測模型的精度進行對比分析。由GA得到組合模型1的最優權系數為l1=0.832,l2=0.010,l3=0.158。由MATLAB非線性優化工具箱計算得到的組合模型2的最優權系數為l1=0.424,l2=0.288,l3=0.288。

各單項模型及組合模型的預測結果及評價指標值分別如表5、表6所示。各單項模型、組合模型的預測曲線與實測值的對比結果如圖3所示。

由表5、表6、表1可知， 5種模型均屬于高精度預測。組合模型1的MAPE分別比Gompertz模型、Logistic模型、灰色Verhulst模型和組合模型2降低75%、76%、26%和49%。由圖3可見，在后4期的預測結果中組合模型2的曲線更接近實際沉降量。所以GA求解基于IOWHA算子的組合模型的最優權系數的方法能夠提高模型的精度。

4.2 內蒙古烏-噶一級公路軟土路基

第3節的計算結果表明，烏-噶一級公路Gompertz模型和Logistic模型經過分段三次Hermite插值的沉降數據為樣本值預測精度更高，灰色Verhulst模型以原始沉降數據為樣本值預測精度更高。因此在組合預測中將因此在組合預測中將Gompertz模型和Logistic模型兩種模型的情況3和灰色模型的情況1作為單一預測模型。

表4 烏噶一級公路各預測模型精度評價指標的比較Table 4 Comparison of precision evaluation indexes of different prediction models for Wu-Ga first class highway

表5 常張高速公路各模型預測結果Table 5 Prediction results of various models of Chang-Zhang highway

表6 常張高速公路各預測模型精度評價指標的比較Table 6 Comparison of precision evaluation indexes of different prediction models for Chang-Zhang highway

圖3 常張高速公路沉降預測曲線Fig.3 Settlement prediction curve of Chang-Zhang highway

基于建立的3種單模型，分別運用MATLAB的非線性優化工具箱GA兩種方法求解基于IOWHA算子的組合模型的最優權系數，并將這兩種方法的組合預測結果及單項預測模型的精度進行對比分析。由GA得到組合模型1的最優權系數為l1=0.553,l2=0.447,l3=0.000。由MATLAB非線性優化工具箱計算得到的組合模型2的最優權系數為l1=0.501,l2=0.251,l3=0.248。

各單項模型及組合模型的預測結果及評價指標值分別如表7、表8所示。各單項模型、組合模型的預測曲線與實測值的對比結果如圖4所示。

表7 烏-噶一級公路各模型預測結果Table 7 Prediction results of various models of Wu-Ga highway

表8 烏-噶一級公路各預測模型精度評價指標的比較Table 8 Comparison of precision evaluation indexes of different prediction models for Wu-Ga highway

圖4 烏-噶一級公路沉降預測曲線Fig.4 Settlement prediction curve of Wu-Ga highway

由表8可知，組合模型2 的平均絕對百分比誤差分別比Gompertz模型、Logistic模型、灰色Verhulst模型和組合模型2降低79%、83%、93%和81%。由圖3可知，灰色Verhulst模型后四期的預測結果大于沉降實測值，而Gompertz模型和Logistic模型后4期的預測結果小于沉降實測值，所以采用Gompertz模型、Logistic模型和灰色Verhulst模型進行組合預測是合理的。同時，在后4期的預測結果中顯然組合模型2的曲線更接近實際沉降量且該模型的曲線更加平穩。

5 結論

通過分析常張高速公路K159+585斷面和烏噶一級公路K35+270斷面處軟土路基的實測沉降數據和預測模型，得出以下主要結論。

(1) 路基沉降是一個復雜非線性的過程，固結沉降的發展過程符合“S”形曲線的變化規律。同時通過兩個工程實例表明，Gompertz模型、Logistic模型和灰色Verhulst模型能夠較好擬合軟土路基中短期沉降，Gompertz模型、Logistic模型的預測值比實測值偏小，而灰色Verhulst模型預測值比實測值總體偏大，所以進一步驗證用這3種類模型作為單一模型進行組合預測來描述軟土路基的沉降是合理的。

(2)通過用Gompertz模型、Logistic模型和灰色Verhulst模型分別以原始沉降數據、經三次樣條插值處理的數據、經分段三次樣條插值處理的數據作為樣本值進行預測。結果表明，在沉降速率發生明顯變化時刻的數據作為最后一組樣本值進行預測時，Gompertz和Logistic模型選用分段三次Hermite插值對原始沉降數據進行等時距處理后預測的預測效果更好。灰色Verhulst模型將原始沉降數據作為樣本值進行沉降預測的預測結果精度更高。

(3)基于IOWHA算子的組合預測模型包括Gompertz模型、Logistic模型和灰色Verhulst模型3種模型，能夠充分發揮3個單一模型的優勢，考慮了每時刻單一模型的預測精度克服傳統加權調和平均組合預測方法的缺陷，有效降低單項預測模型預測結果的誤差，提高了模型的預測精度。

(4) 對于組合模型加權系數的求解MATLAB的非線性優化的工具箱求解的結果與給定的初始值有關，采用GA較使用MATLAB的非線性優化的工具箱求解組合模型的加權系數更為可靠，得到的組合模型的預測精度更高。