磁懸浮徑向軸承振蕩電磁力控制仿真研究

趙青云，楊培林

(山西師范大學物理與信息工程學院，山西 臨汾 041000)

1 引言

磁懸浮徑向軸承利用其特有的電磁力，使物體懸浮于空中，最突出的特點就是轉子的旋轉過程與定子不接觸，不會產生摩擦，可最大程度延長軸承的使用壽命。在航空、工業、軌道交通等領域起到了非常重要的作用。與常見的滾珠軸承有所區別的是，磁懸浮軸承的轉子在運行狀態下不接觸傳感器，而是直接懸浮于空中，極易受到振蕩電磁力的影響，產生較大的振動，使轉子偏離預先的位置。磁懸浮徑向軸承在運行過程中存在振蕩現象，會引發嚴重的安全事故，造成經濟財產和人員傷亡，因此，需要對振蕩電磁力進行有效控制。

參考以往研究內容，在各種控制方法中，由于磁懸浮軸承是一種強烈的非線性系統，很難實現對其進行精準建模，就此文獻[1]深入研究轉子與電磁鐵之間的關系，并結合神經網絡算法，尋找滑膜控制律；通過調整模型參數，控制誤差權值，實現模型對轉子的穩定性控制。但是該算法的模型參數需要反復測試才能得到合適的數值，過程較為繁瑣；文獻[2]則將分散PID與濾波交叉反饋法相結合，提出了一種數字化控制方法。通過對軸承中轉子的特性進行深入分析，并以此構建了轉子偏轉動力學模型，實現對轉子系統耦合特性的精準劃分，引入PID控制器與濾波交叉反饋結合，消除模型中的陀螺效應；最后，構建數字控制系統，利用雙線性變換實現對轉子的穩定性控制。該方法有效克服了強陀螺效應對轉子的穩定性影響，但是沒有消除穩態誤差的影響，不能滿足精準度要求。

基于以上方法存在的問題，本文提出了一種高效的振蕩電磁力自動控制方法。首先，對磁懸浮徑向軸承的特性進行深入分析，確定電磁力的主要影響因素是電學系統和力學系統；利用模糊自整定PID控制器對一階慣性環節的電磁力系統中三個參數實時調整，使值保持在合理范圍內。通過與傳統方法展開對比實驗，結果驗證了所提方法具有更為明顯的優勢，在有效控制振蕩電磁力的同時保證了響應時間最快、超調量最小，具有非常優秀的靜態/動態性能。

2 磁懸浮徑向軸承特性分析

磁懸浮徑向軸承的機械構成和控制系統非常復雜，屬于高科技機電一體化產品，構成模塊和實現過程如圖1所示。

圖1 磁懸浮徑向軸承控制系統結構圖

電磁鐵產生的磁力對轉子在運行狀態下的穩定性會產生一定的影響，本文利用差動控制法實現轉子的穩定懸浮。差動控制的基本原理主要分為兩個部分：一是利用一個磁極對偏磁電流I0和控制電流i(t)進行相加運算，所得的和即為I0+i(t)；二是進行相減運算，所得的差即為I0-i(t)。在控制系統中功率放大器的作用下，調整電磁鐵的電磁力大小，從而調節轉子的懸浮點位置。

轉子相對于電磁鐵而言，自身剛度為無窮大，所以本文對研究過程中轉子的形態變化和彈性振動忽略不計。將Φm1、Φm2定義為兩個電磁鐵的氣隙磁通，F1、F2分別表示兩個電磁鐵產生的磁力大小，S表示電磁鐵磁極所占的面積大小，μ0表示沒有空氣供應時電磁鐵產生的磁導率，Ψ1、Ψ2分別表示兩個電磁鐵產生的磁鏈。

1)電磁力方程

在物理學理論的基礎上，計算兩個電磁鐵的氣隙磁通[3]

(1)

(2)

式中，N表示線圈的繞組匝數，z(t)表示轉子與平衡位置之間的偏差程度，z0表示轉子在指定懸浮點時的氣隙。

電磁鐵繞組產生的互感系數為

(3)

(4)

電磁鐵繞組產生的瞬時電感為

(5)

(6)

通過計算上式可以得出

(7)

(8)

(9)

(10)

在某一時刻下，磁懸浮軸承所承受的電磁力F(z，i)為

F(z，i)=F1-F2

(11)

由式(11)可知，當i(t)?I0時，只需要一個電磁鐵產生磁力即可，此時可以計算得到最大回復力[4]，將式(11)進行轉換可得到

(12)

通過計算式(12)可知：電磁力F與電流I0+i(t)的平方呈正比例、與氣隙z0+z(t)的平方呈反比例。由此可以得出結論，磁懸浮徑向軸承屬于一個非線性模型[5]。

2)電學方程

將R定義為繞組中的直流電阻，即可得到回路中的電壓方程為

(13)

3)動力學方程

在徑向軸承的方向上，電磁鐵的動力學方程公式為

(14)

式中，fd(t)表示磁懸浮軸承在運行狀態下所受的干擾力[6]，m表示轉子的質量，G表示轉子的重力。

通過式(15)即可計算得到磁懸浮軸承的數學模型為：

(15)

式中，u(t)表示磁懸浮軸承中的控制電壓。

該數學模型由一組非線性方程組成，表示的是磁懸浮徑向軸承的基本特性。

3 磁懸浮徑向軸承振蕩電磁力控制的實現

3.1 控制策略

通過上文對磁懸浮軸承的特性分析可知，磁懸浮軸承的電磁力系統主要由電學系統和力學系統構成。電學系統類似于一個一階慣性環節，而力學系統中，電磁力F的大小由電流I0+i(t)和氣隙z0+z(t)共同影響。在電磁鐵中，由于線圈帶有一定量的電感，所以電學系統的控制效率要遠遠小于力學系統的控制效率[7]。由于磁懸浮軸承數學模型為一個非線性方程，所得結果更接近于實際結果，而線性方程計算結果與實際結果相差較大，所以本文利用非線性方程組，控制電磁鐵振蕩，降低誤差的影響。

由于磁懸浮軸承的特殊性，使其在運行狀態下，氣隙內不免進入其它雜質，產生不同程度的干擾影響。所以，本文在動力學理論的基礎上，提出振蕩電磁力控制策略。將力引入到控制器中，可以更加有效地處理外界干擾因素的影響，從而提高算法整體的穩定性和可靠性[8，9]。

磁懸浮徑向軸承控制器的動態方程組如式(16)所示

(16)

利用拉普拉斯對式(16)進行變換，得到如式(17)所示的公式

mS2Δz(S)=-ΔF(S)+Fd(S)

(17)

控制策略狀態方程為

(18)

綜上所述，磁懸浮軸承的傳遞函數為

(19)

由此可得：磁懸浮徑向軸承的特征方程式為

mS2=0

(20)

通過勞斯判據對式(20)進行分析可知：對振蕩電磁力控制的過程屬于二階不穩定方程的計算過程，可以更好地控制系統中參數的變化，使其具有更強的兼容性。

3.2 模糊自整定PlD控制器結構

本文利用PID控制器(如圖2所示)實現對振蕩電磁力的自動控制。在電磁力系統內，輸入誤差e和誤差變化率ec，在對其進行控制的過程中，通過e和ec實現對參數的自整定約束，并依照模糊準則，對參數進行合理的修改。

圖2 模糊自整定PID控制器

PID控制器對參數進行自整定的過程，就是確定三個參數與e和ec之間關系的過程。在磁懸浮軸承運行狀態下，通過模糊控制原理約束e和ec兩個誤差，實時調整三個參數的值，使其控制在合理的范圍內，避免出現較大的振蕩，保證磁懸浮徑向軸承的靜態/動態性能。

3.3 模糊自整定PID參數整定

綜合考慮控制器的控制精度、穩定性以及其它方面的因素，對kp、ki和kd三者的作用和影響進行深入分析。

1)比例系數kp：kp的主要作用是使控制器具有理想的響應速度，同時保證控制器具有較高的控制精度。當kp的值較大時，控制器的響應速度也較快，控制精度也就越高，但是這種情況下極易出現超調現象，使磁懸浮軸承處于振蕩運動狀態下。當kp的值較小時，控制器的精度[10]也會相應降低，響應速度也較為緩慢[11]，降低控制效率，破壞控制器的動態/靜態特性。

2)積分作用系數ki：ki的主要功能是檢測[12]控制器中存在的誤差并進行有效消除。當ki的值較大時，控制器的誤差消除效率隨之加快，當ki的值過大時，控制器在某一階段就會出現過度飽和的情況，使得控制器出現較為嚴重的超調。當ki的值較小時，很難實現在較短的時間內消除掉控制器內的誤差，使軸承轉子偏離原始點位，產生較大的偏差。

3)微分作用系數kd：kd的主要作用是提高控制器的動態性能，確保電磁力在運行過程中不會產生較大的偏差，提前感知偏差并進行預防。當kd的值較大時，控制器提前被動響應，此時外界干擾對控制精度影響較大。

PID控制器在模糊規則的約束下，對e和ec進行模糊推理，并依照模糊矩陣表中所示的內容，對控制器參數進行合理的自整定修改。

4 仿真研究

為了驗證本文方法在磁懸浮徑向軸承振動電磁力自動控制方面是否有效，與上述所提文獻神經網絡和濾波交叉反饋進行了對比實驗。實驗在MATLAB仿真軟件上實現，磁懸浮徑向軸承的參數設定如表1所示。

表1 磁懸浮徑向軸承參數設定

對三種方法的振蕩電磁力控制性能進行測試，實驗環境為：從0s開始，氣隙從初始位置移動到指定懸浮點1mm處，經過一段時間的振蕩和調整，軸承逐漸進入工作狀態。對三種方法在這個過程中產生的振蕩電磁力控制進行性能測試，結果如圖3所示。

圖3 三種方法對于振蕩電磁力的控制結果

從圖3中可以看出，運用神經網絡對振蕩電磁力進行控制，從響應開始到氣隙移動到懸浮點的時間大約為0.18s，而且可以很明顯地看出振蕩現象較為嚴重；濾波交叉反饋算法的響應時間較神經網絡還要長，約為0.24s，振蕩現象同樣較為嚴重；而本文方法僅僅用了約0.08s就完成了位移，整個過程沒有明顯的振蕩曲線，使磁懸浮軸承處于相對穩定的運行狀態下。綜上所述，本文方法在控制振蕩電磁力方面性能最優。

接下來調整懸浮點的位置，從0s開始，經過0.5s的運行后，由原先的1mm突變為1.5mm，再經過0.5s后，懸浮點再突降為原先的1mm。測試三種方法是否能夠穩定地控制振蕩電磁力。圖4為懸浮點突變時的氣隙響應圖，圖5為控制振蕩電磁力時電流變化曲線。

圖4 懸浮點突變時氣隙響應圖

圖5 振蕩電磁力控制時電流變化曲線

從圖5中可以看出，神經網絡算法在控制過程中存在較大的超調量，電流振蕩現象較為明顯；濾波交叉反饋算法超調量有所減少，變化曲線較神經網絡相比趨于平緩，振蕩現象有所緩解；本文方法具有較小的超調量，并且電流沒有出現明顯的振蕩現象，較其它兩種方法相比性能最優。這是由于本文方法實時調整kp、ki、kd的值，使其在任意時刻下都滿足磁懸浮軸承穩定性的要求。

5 結論

由于傳統方法無法實現對磁懸浮徑向軸承振蕩電磁力的有效控制，常常存在控制偏差較大、響應效率過低等問題，為此，本文深入分析磁懸浮軸承特性，利用模糊自整定PID控制器，

修正傳統方法中存在的缺點，提出了一種高效的自動控制方案。通過模糊自整定PID控制器對比例系數、積分作用系數、微分作用系數進行實時調整，防止其在運行過程中偏離原始位置，影響軸承的正常工作。在仿真中，也驗證了本文方法具有較高的控制精度和較低的響應時間，總結如下：

1)模糊自整定PID控制器，使所提方法能夠適應實際的磁懸浮軸承工作需要；

2)在動力學理論的基礎上，將力引入到算法中，提高了算法整體的抗干擾能力。