景觀異質種群空間重構模型設計與仿真

王玉虎，張 楠

(1. 晉中信息學院食品與環境學院，山西 晉中 030800；2. 山西大同大學機電工程學院，山西 大同 037003)

1 引言

隨著人類對自然環境的改造和破壞，景觀破碎化進程逐漸加快，程度加深，恢復破碎化景觀成為當前環境保護的重要方向[1，2]。景觀破碎化導致種群空間隔離，進而造成原始種群分裂成局域種群，演變出相互連接的異質種群生存方式。因此，研究異質種群動態也是研究破碎化景觀動態。

在研究景觀空間時，張金茜使用GeoDA軟件工具進行景觀破碎化研究[3]，但該方法的功能較少，不能批量導入數據，效率較低。魏莉莉曾提出使用遙感技術進行景觀破碎化研究[4]，遙感技術動態監測能力較差，受影響因素多。除此之外，還有學者使用一階泰勒級數展開進行近似求解關系式，但一階構造精確度較低。因此本文選擇空間現實異質種群模型的處理方式，建立基于二階泰勒級數展開優化的景觀異質種群空間重構模型，通過該模型研究破碎化景觀動態，為宏觀調控破碎化景觀，維持生態平衡提供科學依據。

2 景觀異質種群空間重構模型

2.1 空間現實異質種群模型

空間現實異質種群模型作為異質種群模型進化的第三階段，其具有多樣空間特征，比如局域種群的空間位置和面積等，還含有破碎化景觀的幾何特征及其中異質種群的全部信息，擁有的信息能夠直接模擬真實景觀，其中關聯函數模型較為典型。關聯函數模型通常使用一階線性馬爾可夫模型，該模型以單個生境斑塊為基礎，是離散時間的隨機模型[5，6]。

破碎化景觀的結構為斑塊化網絡，斑塊的性質特征決定了景觀和種群動態。生境斑塊存在定居和未定居兩種狀態，通過定居概率和滅絕概率可以確定這兩種狀態間的轉化，并且相互獨立[7]。令一個斑塊為i，用Ci描述定居概率，Wi描述滅絕概率，因此有式(1)

(1)

其中，Ji為單位時間斑塊i被占據的靜態概率，表示斑塊i和物種間的關聯。

Wi的數學表達式為

(2)

其中，Ai表示i的面積，當Ai≤e1/x時，i的滅絕概率為100%，這時Ai最小，等于A0；e、x為相關參數。

引入一個概念——遷入種群i的個體總數Mi，表達式見式(3)

(3)

其中，Si描述斑塊i的連接度；Pi描述斑塊格局，它的值取為0或1，在空白斑塊取0，被占領斑塊取1；dij描述斑塊i到斑塊j的距離；α、β、b是相關參數。由此確定定居概率的表達式

(4)

其中，y′=y/β，y為相關參數。由此式(1)可以擴展為

(5)

模型參數估計通過極大似然值θ進行，具體表達式見式(6)

(6)

當假定異質種群與隨機穩定假設相近，Pi可通過極大似然函數直接用于建模，使建模效率大幅提升。模型的參數估計是關鍵問題。可以由非線性極大似然回歸得到上文中的相關參數，此方法能夠提高參數的準確性，其中，α、β、b、A0可以通過觀察數據確定，但存在一定誤差，因為它們和被研究物種的生物學特性相關，以上定義的特性可能會造成實際應用中的麻煩，比如定居概率的恒定性和生境斑塊的獨立性，以及局域種群的平衡條件和觀測數據的質量等都對參數估計有一定影響，因此通過二階泰勒級數展開完成這4項參數的優化，以應對這些可能出現的特性，提高參數估計的準確性和可操作性。

景觀連接度是景觀破碎化研究的重點，它不僅能反映出景觀破碎化的趨勢，還能反映其程度。連接度Si能夠在一定條件下描述破碎化景觀動態，機制和破碎化景觀動態格局的關系也可以根據模型預測結果呈現在Si上。由于比格局分析法幾何學角度反映的景觀破碎化機制更真實，因此關聯函數模型得到廣泛應用。

2.2 二階泰勒級數展開優化算法

2.2.1 二階泰勒級數展開

為了使計算變得更加簡潔，通常使用簡單的函數關系近似表達一些復雜的函數關系，利用泰勒級數展開的多項式函數表達最為常見[8，9]。已知函數的某一點，這一點鄰域內的函數關系可以通過一個多項式函數近似表達，而這個多項式函數由泰勒級數展開這一點的每階導數構成。

假設函數z=z(x)在x0的鄰域內連續，且有(n+1)階導數，由泰勒中值定理有

(7)

其中，h=x-x0；ξ表示在x0到x區間內的某個值。

同理對n元函數z=z(x1，x2，…，xn)在點(x10，x20，…，xn0)某鄰域內進行泰勒級數展開，得到式(8)

z(x1，x2，…，xn)=z(X0)+h1z′x1(X0)+h2z′x2(X0)

(8)

其中，X0=(x10，x20，…，xn0)；hi=xi-xi0。

隱函數不能直接進行求導，而建模參數和模型響應間恰好為這種關系，因此利用差分法求得隱函數的近似導數，解決這個難題。

擾動其中一個建模參數，使用關聯函數分析軟件計算出其相應的響應計算值，利用該值變化量與該建模參數的擾動量相除得到的結果為一階偏導數，此一階偏導數為一個近似導數，數學式見式(9)

(9)

其中，z′xi(X0)為與建模參數X0關聯的模式響應函數，xi為建模參數，Δxi為xi的擾動量。

然后繼續擾動xi，再得到一個一階偏導數，該一階偏導數的變化量和Δxi的比值則為二階偏導數，模式響應關于xi的二階偏導數為一個近似導數，具體數學式見式(10)

(10)

2.2.2 空間現實異質種群模型參數優化

令Uj，c為響應計算值，Ei為優化參數，它們之間的關系式為Uj，c=U1jEi，該關系式是一個近似函數，通過一階泰勒級數展開求得。構造一個目標函數H

(11)

其中，Uj，t為模式響應的試驗值。

向前1%擾動第i個優化參數初始值Ei0得到1.01Ei0，用fj，c和ur，c描述響應計算值，通過在優化模型中代入1.01Ei0得到fj，c(E10，…，1.01Ei0，E40)和ur，c(E10，…，1.01Ei0，E40)，在式(9)中代入1.01Ei0對應的模型響應計算值和Ei0對應的模型響應計算值fj，c(E0)和ur，c(E0)求出一階偏導，即為頻率初始計算值和位移初始計算值對優化參數的一階泰勒級數展開。

通過一階泰勒級數展開進行響應計算，構造目標函數，對其進行最小化處理，得到優化參數值。目標函數表達式見式(12)：

(12)

3 實驗

將某地景觀用作研究區域，研究二階優化的效果和景觀異質種群空間重構模型觀測與預測的破碎化程度，觀察人類活動對景觀變化的影響，驗證本文模型的應用性。

3.1 二階優化

為了驗證二階優化的效果，對最小化目標函數得到的優化參數誤差進行分析，將實驗得到的誤差值制成圖1。

圖1 泰勒級數展開優化參數誤差

由圖1可知，二階泰勒級數展開優化后的參數誤差與一階相比大幅降低且更穩定，優化后最大誤差為2.86%，低于3%。

將一階和二階泰勒級數展開優化結果制成表1，對優化后及優化前的響應計算值進行誤差分析。

表1 泰勒級數展開優化響應計算值誤差

由表1可知，一階和二階優化后的響應計算值誤差和優化前相比均有大幅降低。一階優化后的響應誤差在1%左右，而二階優化后的誤差不超過0.2%。綜上可知經二階優化后的模型比一階效果更好，更符合實際情況。由于二階優化的計算量較大，泰勒級數展開階數可根據實際進行調整，減少計算量。

3.2 景觀破碎化分析

根據景觀類型把該地景觀分成六類：1.耕地；2.林地；3.草地；4.水域；5.建筑用地；6.未開發地。研究范圍共18276km2。使用斑塊密度指數(PD)來衡量景觀破碎化程度，值越高表示破碎化程度越高。將2010年、2015年、2020年該地各類景觀異質種群斑塊密度指數制成圖2。

圖2 景觀斑塊密度指數

根據圖2可以看出，不同景觀類型密度變化有所差異，但建筑用地密度指數始終最高。耕地斑塊密度在前五年有所上升，后五年下降，而林地和草地密度在前五年下降后均有上升，這是由于隨著我國退耕還林還草政策的開展與實施，增加了林地與草地的面積。但耕地分布較為集中，破碎化程度低，林地與草地由于人類活動的影響導致破碎化程度較高。

將三個時間點的景觀異質種群斑塊數量破碎化指數(FN)制成圖3。其中FN∈(0，1)，當景觀未被破壞時FN值為0，當景觀被完全破壞時FN值為1。

圖3 景觀斑塊數量破碎化指數

從圖3中可以看出，2010年到2015年，除了6號景觀，其它景觀數量破碎化指數均有所下降；該地十年間景觀破碎化程度呈整體降低趨勢。其中，2號景觀是景觀數量破碎化指數最大的景觀類型，其次是6號和3號，而1號景觀的數量破碎化指數最小。主要原因為人類活動對景觀的影響，隨著人類活動的增加，生活區域不斷發展，耕地和建筑用地平均斑塊面積也逐漸增大，且圍繞人類生活區域分布均勻，破碎化程度逐漸降低。

將三個時間點的景觀異質種群分離度指數(N)制成圖4，當N值越大，斑塊離散程度越大。

圖4 景觀分離度指數

從圖4可看出2010年到2020年這十年間景觀分離度指數的變化，建筑用地的景觀分離度指數始終最高。景觀分離度指數也與人類活動有密切關聯，早年間建筑用地和水域景觀分離度指數較高，這是由于發展初期建筑用地離散程度較大，人類活動強度較小。隨著社會發展建筑用地面積顯著提高，但由于其它景觀類型的限制，如耕地的位置，退耕還林還草面積的上升，可開發的景觀數量逐漸減少，只能在原有建筑用地基礎上進行擴充，建筑用地離散程度隨之降低。綜上景觀異質種群分離度指數隨著人類活動強度增加而減小，即分離度也減小。

4 結論

本文設計的基于二階優化的景觀異質種群空間重構模型能夠準確體現局部地區的景觀破碎化程度，為景觀建設提供有效參考。

1)通過二階泰勒級數展開對景觀異質種群空間重構模型進行優化，優化后的參數誤差和響應計算值誤差均有大幅降低，一階優化后最大誤差值分別為2.86%和1.62%，而二階優化后最大誤差值分別小于1%和0.2%，說明二階泰勒級數展開的優化效果更好。

2)自然條件和人類活動共同影響景觀破碎化程度，人類活動區域的發展和景觀破碎化息息相關，相互制約。本文對某地景觀2010年起五年為一個步長到2020年選取了景觀異質種群斑塊密度指數、景觀異質種群斑塊數量破碎化指數和景觀異質種群分離度指數三個指標進行實驗分析。2020年該地建筑用地景觀密度指數和分離度指數均比之前降低，而景觀數量破碎化指數有所上升，整體景觀破碎化逐年降低。主要原因為人類活動影響其它景觀類型的連續性，早期景觀離散度增加，但隨著生態建設意識和水平的不斷提高，景觀破碎化程度逐漸降低，體現出各項環保政策的正確性。