淺析積分法求解空間曲面的面積

劉余嬌，羅守雙

(綿陽師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，四川綿陽 621000)

0 引言

本文從四個方面介紹了空間曲面面積的求解方法：一般曲面面積的求法、曲面參數(shù)方程的面積公式、柱面?zhèn)让娣e的求解及定積分求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積.在絕大多數(shù)《高等數(shù)學(xué)》教材中，只是介紹了一般曲面面積的求法，其他三種方法沒有相關(guān)介紹，而對大多數(shù)非數(shù)學(xué)專業(yè)的理工科學(xué)生來說，求解空間曲面面積既是重點也是難點，同時也具有很重要的實際意義.

1 曲面面積的計算方法

1.1 利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積

設(shè)平面光滑曲線y=f(x)∈C(a,b),且f(x)≥0,求它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.取側(cè)面積元素：位于[x，x+dx]上的圓臺的側(cè)面積

積分得到旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積：

(1)

注：側(cè)面積元素dS=2πydS≠2πydx，是因為2πydx不是薄片側(cè)面積的線性主部，從幾何意義的角度來說，側(cè)面積元素是位于[x，x+dx]上的圓臺側(cè)面積，二不是圓柱側(cè)面積[1].

例1計算圓x2+y2=4在x∈[0,1]?[-R,R]上繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積S.

例2計算由內(nèi)擺線x=acos3t,y=asin3t繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積

解利用對稱性

1.2 一般曲面面積的求法

例3求圓柱面x2+y2=2x被球面x2+y2+z2=4截取的面積值[5].

故球面在圓柱面截取的側(cè)面在第一掛限內(nèi)的面積為

因

則

故所求球面在圓柱面上截取的側(cè)面積為4S=16

1.3 曲面參數(shù)方程的面積公式

設(shè)曲面∑的參數(shù)方程：x=x(u,v)，y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)∈Duv,其中Duv為uv平面上的有界閉區(qū)域，若函數(shù)x=x(u,v)，y=y(u,v),z=z(u,v)的所有偏導(dǎo)數(shù)在Duv上連續(xù)，則曲面∑的面積為：

(3)

這里E=xu2+yu2+zu2,G=xv2+yv2+zv2,F=xu·xv+yu·yv+zu·zv.[6]

證明在曲面S中，若

z=z(u(x,y),v(x,y))

(4)

(5)

將(4)(5)代入zx=zu·ux+zvvx,zy=zu·uy+zvvy并計算公式中的被積函數(shù)如下：

1+(zx)2+(zy)2=1+(zu·ux+zvvx)2+(zu·uy+zvvy)2

=1+zu2(ux2+uy2)+zv2(vx2+vy2)+2zuzv·(uxvx+uyvy)

將上式展開并配方得

-(xu·xv+yu·yv+zu·zv)]

故公式(2)可化為

記E=xu2+yu2+zu2,G=xv2+yv2+zv2,F=xu·xv+yu·yv+zu·zv，故(3)式得證.

故所求面積為：

1.4 柱面?zhèn)让娣e的求解

在求解柱面的側(cè)面積時，因柱面的側(cè)面垂直于坐標(biāo)平面，若采用一般曲面的計算方法，往往計算比較復(fù)雜，故通常利用第一曲線積分的幾何意義求解.

例5(如上例1)求圓柱面x2+y2=2x被球面x2+y2+z2=4截取的面積值[10].

由第一曲線積分的幾何意義可知，圓柱面x2+y2=2x被球面x2+y2+z2=4截取在第一象限的面積，即為圓柱面x2+y2=2x夾在球面x2+y2+z2=4，(z≥0)與xoy之間的部分，也即球面在x2+y2+z2=4，(z≥0)在平面xoy上的曲線l:x2+y2=2x上的積分，故所求面積為：

2 結(jié)論

本文側(cè)重于利用積分方法對空間曲面面積主要的計算方法的歸類與闡述，也是對高等數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)于側(cè)面積求解的補(bǔ)充與擴(kuò)展.在實際的應(yīng)用問題中，曲線或曲面方程的形式的多樣化，曲面類型的多樣化，求解曲面面積的方法也不一樣：一般曲面方程采用直角坐標(biāo)方程表示簡單，計算時采用一般求面積的方法，而有的曲面方程采用參數(shù)方程簡單，或者只能采用參數(shù)方程表示，則只能采用參數(shù)方程的公式求面積；若所求曲面的類型為柱面的一部分，通常采用第一曲線積分的幾何意義求解，計算較為簡單，而對旋轉(zhuǎn)曲面的面積計算，采用定積分的方法進(jìn)行求解.