一類退化尖點環附近Melnikov函數展開式

尚德生，王政

(山東理工大學 數學與統計學院,山東 淄博 255049)

在平面分支理論研究中，同宿和異宿分支的研究是奇閉軌分支研究中的一個非常復雜而又有意義的課題。當一個給定系統的奇閉軌同宿或者異宿于有限個非退化的雙曲鞍點時，已經有很多相對比較完善的理論和應用結果[1-3]。但是當奇閉軌同宿或異宿于非雙曲鞍點，或者更加復雜的退化奇點(如退化鞍點或者尖點)時的分支問題研究，卻是一個非常復雜而有意義的挑戰。對于奇點是冪零鞍點和冪零尖點的情形下的奇閉軌分支問題，學者都進行了比較系統的討論，并給出了具體的同宿軌附近的Melnikov函數的展開式[2,4-5]，并對一些不同類型的相關微分系統作了討論和應用[6-8]。但是對更進一步的退化奇點情形的同宿或異宿分支問題，至今還沒有見到比較系統的研究。本文在文獻[2,4]的啟發下，對一類具有退化尖點的同宿軌附近的Melnikov函數的展開式進行探討，并給出m=1情形下展開式前幾項的系數。

考慮微分系統

(1)

式中：φ(x)是次數大于2m的解析函數；p(x,y),q(x,y) 為x,y的多項式。顯然原點O(0,0) 是未擾動系統(即ε=0 時)的一個退化尖點，這里假設ε=0時,未擾系統具有連接尖點O(0,0)的同宿軌。

因為未擾系統是一個哈密爾頓系統，且系統的哈密爾頓函數為

(2)

圖1 未擾動系統(1)尖點環附近軌線分割圖Fig.1 Orbit division near the cuspidal loop of the unperturbed system(1)

在周期區域Lh:H(x,y)=h,0<|h|?1 內擾動系統(1)的極限環可由周期擾動下的一階Melnikov函數M(h,δ) 的零點來確定。

下面討論系統(1)的一階Melnikov函數

(3)

首先，當0<|h|?1時，在原點附近存在唯一的解析函數x=θ(u) ，使得

(4)

成立。

若設

(5)

則將式(5)代入式(4)后，借助數學計算軟件Mathimatica可根據需要遞推求得前面各項的系數ej,j=2,3,… 。

(6)

式中：

∈Cω。

記

(7)

(8)

式中

(9)

引理1對非負整數i=0,1,2,…,j=0,1,2,…，有Iij(h,u)滿足如下遞推公式:

(10)

(11)

因為對非負整數i,j存在唯一的k,l,r,s，使得i=(2m+1)k+r,j=2l+s，其中0≤r≤2m,0≤s≤1 成立。這樣根據引理1的遞推公式，容易得到引理2。

(12)

式中:

由于當i=2m時，有

(13)

證明首先討論當h<0 時的情形。對

(14)

通過變量變換

(15)

可將式(14)化為

(16)

根據泰勒展開式

(17)

是與u0無關的收斂級數的和，而

|h|j∈Cω。

(18)

這樣，一方面對式(18)關于h求偏導數，得

(19)

另一方面，由式(14)取u0=1，再關于h求偏導數，得

(20)

同樣，經過變換(15)，可將式(20)化為

(21)

這樣，當4r+2(2m+1)s<3(2m+1)-4 時，結合式(19)、式(21)得

而當4r+2(2m+1)s>3(2m+1)-4時，由于

所以結合式(19)、式(21)，可以得到

下面再討論當h>0 時的情形。利用

(22)

先經過變量變換

(23)

可將式(22)化為

同樣利用泰勒展開式

(24)

其中

是與u0無關的值，而

(25)

這樣，一方面對式(25)關于h求偏導數，得

(26)

另一方面，對式(22)取u0=1，再關于h求偏導數，得

(27)

(28)

這樣，當4r+2(2m+1)s<3(2m+1)-4 時，結合式(26)、式(28)可得

當4r+2(2m+1)s>3(2m+1)-4時，由于

所以結合式(26)、式(28)，可以得到

這樣，根據式(8)，結合引理2及引理3可得

(29)

因此，利用式(6)、式(7)，并將式(29)代入式(6)，可以得到Melnikov函數在h=0 附近的一般展開式。

定理1在未擾系統具有式(1)形式的尖點環的假設下，尖點環附近的Melnikov函數展開式為

M±(h,δ)=

(30)

結合文獻[2,4]的證明可知，若取m=1，則可得系統(1)展開到前八項的表達形式。

推論1在m=1時，系統(1)在尖點環Lh=0附近的Melnikov函數展開式為

并且展開式的系數為:

=0 ，