相似圖形中的“面積”問題

馬國建

(常州市金壇區第五中學,江蘇 常州 213200)

相似圖形中的“面積”問題

馬國建

(常州市金壇區第五中學,江蘇 常州 213200)

“面積”問題是初中幾何中常見的，也是非常重要的一個知識內容．本文借助幾個典型例題，利用有關“相似”的知識，通過拓展訓練，研究“面積”問題，幫助學生歸納總結，建立相關知識體系．

相似圖形；面積問題

例題1 如圖1，點D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點.

(1)求S△ADE∶S△ABC;

(2)求S△ADE∶S四邊形BDEC.

分析 (1)由中位線的知識得到DE∥BC，這樣△ADE∽△ABC，相似比為1∶2.根據“相似三角形面積的比等于相似比的平方”，易得答案1∶4．

(2)可采用設“k”的方法解：設S△ADE=k，由(1)知S△ADE∶S△ABC=1∶4,可得S△ABC=4k，故S四邊形BDEC=4k-k=3k，易得答案1∶3．

點評 題⑴是相似三角形性質的直接應用，利用此性質求圖形的面積之比的前提條件是這兩個圖形相似．題⑵中的兩個圖形不是相似圖形，不能直接應用相似的性質．在此介紹了一種代數的方法，幾何問題用代數方法解決也是一種很重要的思維方法．

例題2 如圖3，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點，且DE∥BC，連接BE，CD相交于點H，已知S△DHE∶S△CHB=4∶25，求AD∶DB

點評 利用相似的性質求線段的比一定要弄清這兩條線段是否是相似圖形的對應邊．

例題3 如圖5，點E是ABCD的邊CD延長線上一點，且ED∶CD=2∶3，連接AC，AE，連接BE交AC于點G，交AD于F，求S△AGB∶S△EGC∶S△AGE．

分析 由平行四邊形可得AB∥CE，AB=CD．求出CD∶CE=3∶5，從而AB∶CE=3∶5．△ABG與△CEG相似，相似比為3∶5，所以S△AGB∶S△EGC=9∶25,△ABG與△AGE分別以BG,EG為底，此時它們的高相等，可求出S△AGB∶S△AGE=3∶5，易得答案9∶25∶15.

點評 本題的圖形中含有多個相似三角形，比較難識別，關鍵是要抓住平行這一條件．通過相等線段的代換，從而求出相似三角形的相似比也是本題的思維方法之一．

例題4 如圖6，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于點D,已知△ACD面積為4，△BCD面積為12，AC=5，求AB的長．

分析 由條件可得△ADC∽△ACB，它們的面積之比為1∶4，相似比為1∶2，AC與AB是兩個相似三角形的對應邊，從而得AC∶AB=1∶2，易得AB=10．

點評 由面積易想到有關底和高的相關問題，但本題中含有“相似三角形”這一特殊結論，從而聯想到與相似有關的性質，根據線段的比求出答案．

[1]魏祥勤.數形結合探究一類三角形面積問題[J].數理化解題研究，2016(03).

[責任編輯：李克柏]

2017-06-01

馬國建(1983),男，江蘇省金壇人，本科，中學一級教師,主要研究方向是數學教學與研究.

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1008-0333(2017)20-0034-01