巧用“八字大法”學(xué)函數(shù)

楊永康

(廣東省惠州市惠陽區(qū)第四中學(xué),廣東 惠州 516000)

巧用“八字大法”學(xué)函數(shù)

楊永康

(廣東省惠州市惠陽區(qū)第四中學(xué),廣東 惠州 516000)

函數(shù)的“八字大法”是筆者多年教學(xué)經(jīng)驗的總結(jié)，是在新課標(biāo)下師生互動的產(chǎn)物.“八字大法”的思想實質(zhì)是數(shù)形結(jié)合，幾乎適用于所有函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用.“八字大法”即在平面直角坐標(biāo)系xOy中，所有函數(shù)圖像如果位置形如“八”字左邊“丿”部分，都是y隨x的增大而增大；反之亦然。形如“八”字右邊“”部分，都是y隨x的增大而減小，反之亦然.至于“八字大法”應(yīng)用的細(xì)化，本文將以具體函數(shù)為例作探究.

楊氏八字大法；函數(shù)；數(shù)形結(jié)合

一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，是銜接高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識的基礎(chǔ)，因此在各類考試選拔中分量不輕，但很多學(xué)生對函數(shù)知識的學(xué)習(xí)卻是心有余而力不足.究其原因，是不善探究，學(xué)不得法.

學(xué)習(xí)函數(shù)的“八字大法”是筆者多年教學(xué)經(jīng)驗的總結(jié)，是在新課標(biāo)下師生互動的產(chǎn)物.教學(xué)上，筆者對學(xué)生戲稱“楊氏八字大法”，這樣可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高效果.

“八字大法”的思想實質(zhì)是數(shù)形結(jié)合.即在平面直角坐標(biāo)系xOy中，所有函數(shù)圖象如果位置形如“八”字左邊“丿”部分，都是y隨x的增大而增大；反之亦然.形如“八”字右邊“”部分，都是y隨x的增大而減小，反之亦然.至于“八字大法”應(yīng)用的細(xì)化，下面將以具體函數(shù)為例作探究.

一、對于一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)而言，其圖象是直線，位置形如“八”字左邊“丿”部分，都是k>0，且y隨x的增大而增大，圖象必經(jīng)過第一、三象限；反之亦然.形如“八”字右邊“”部分，都是k<0，且y隨x的增大而減小，圖象必經(jīng)過第二、四象限；反之亦然.至于圖象經(jīng)過的另一個象限，則由截距b確定：當(dāng)b>0時，直線交y軸于正半軸；當(dāng)b<0時，直線交y軸于負(fù)半軸；當(dāng)b=0(此時函數(shù)為正比例函數(shù))時，直線經(jīng)過原點.

例1 若一次函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值y隨x的增大而減小，且圖象與y軸的正半軸相交，那么對k和b的符號判斷正確的是( ).

A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0

解析 本題中函數(shù)值y隨x的增大而減小，由“八字大法”，其圖象形如“八”字右邊“”部分，則k<0，而圖象與y軸的正半軸相交，b>0，圖象交于y軸的正半軸，答案選C.

例2 一次函數(shù)y=-x+2的圖象是( ).

解析 本題中k=-1<0，由“八字大法”，其圖象形如“八”字右邊“”部分，故選擇答案時可排除A、B，而b=2>0，圖象交于y軸的正半軸，所以答案選D.

A．第一、二象限 B．第一、三象限

C．第二、四角限 D．第三、四象限

解析 本題中k=-m2<0，由“八字大法”，其圖象形如“八”字左邊“丿”部分，則其圖象必經(jīng)過第二、四象限，所以答案選C.

例4 若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如右圖所示，①當(dāng)____時，y隨x值的增大而增大；②當(dāng)____時，y隨x值的增大而減小.

解析 本題可根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出拋物線的對稱軸為直線x=1，因為函數(shù)圖象的開口向上，由“八字大法”， 對稱軸左邊即x<1的圖象，位置形如“八”字右邊“”部分，y隨x的增大而減小；對稱軸右邊即x>1的圖象，位置形如“八”字左邊“丿”部分，y隨x的增大而增大，所以答案為①x>1，②x<1.

例5 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，若點A(1，y1)、B(2，y2)是它圖象上的兩點，則y1與y2的大小關(guān)系是( ).

A．y1

C．y1>y2D．不能確定

解析 本題可根據(jù)圖形知道拋物線的對稱軸為直線x=-3.因為函數(shù)圖象的開口向下，x1=1、x2=2都在對稱軸直線x=-3的右邊，由“八字大法”， 對稱軸右邊即x>-3的圖象，位置形如“八”字右邊“”部分，y隨x的增大而減小，因為x1y2，故本題答案選C.

A．y1

解析 本題難度較上面兩例大一點，因為所給的三個點分布在對稱軸的兩邊，我們可以根據(jù)拋物線的對稱性將三個點放在對稱軸的同一邊，再畫出草圖，結(jié)合圖象利用“八字大法”解決問題.

綜上所述，利用“八字大法”進(jìn)行初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識的教與學(xué)，既簡單實用又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而提高學(xué)生的分析、總結(jié)和解題能力，使他們能在學(xué)習(xí)中快樂地掌握知識并能靈活運用，所謂學(xué)以致用且有效，這符合新課標(biāo)的要求.同時，“八字大法”還可以運用在規(guī)則或者不規(guī)則的函數(shù)應(yīng)用上，此問題留給讀者探究.

[1]舒亞明.待定系數(shù)法[J].青少年日記(教育教學(xué)研究)，2011(10).

[責(zé)任編輯：李克柏]

2017-06-01

楊永康，男，黨員，研究生學(xué)歷.從事數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育.

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