雙維多水平數(shù)學建模能力測評框架的構(gòu)建

祖 丹，丁 銳，孔凡哲

雙維多水平數(shù)學建模能力測評框架的構(gòu)建

祖 丹1，丁 銳1，孔凡哲2

（1．東北師范大學 教育學部，吉林 長春 130024；2．中南民族大學 教育學院，湖北 武漢 430074）

數(shù)學建模能力是數(shù)學能力的核心要素，數(shù)學建模能力的形成對學生數(shù)學關(guān)鍵能力的培養(yǎng)和提升都起到了重要作用．基于數(shù)學建模的過程性特征，從縱橫兩個角度，構(gòu)建了雙維多水平的數(shù)學建模能力測評框架．雙維分別是覆蓋廣度和覆蓋深度，其中覆蓋廣度是指建模過程的完成情況，覆蓋深度是指模型假設能力、模型構(gòu)建能力以及模型檢驗能力的水平．基于SOLO分類理論和“關(guān)系—表征復雜性模型”，構(gòu)建了覆蓋深度下各建模子能力的評價標準．專家咨詢和測驗結(jié)果均證明了雙維多水平數(shù)學建模能力測評框架及評價標準具有較高的信效度，能夠較好地評價學生建模能力水平．

數(shù)學建模；數(shù)學建模能力；測評框架；覆蓋廣度；覆蓋深度

1 問題提出

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》中強調(diào)數(shù)學教育不僅要幫助學生掌握現(xiàn)代生活和進一步學習所必需的數(shù)學知識、技能、思想和方法，還應能引導學生學會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界[1]．數(shù)學建模是一種認識世界的重要工具，立足于運用數(shù)學語言去描述現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)關(guān)系和規(guī)律，學生對數(shù)學建模的理解和掌握程度影響其解決現(xiàn)實問題的思維和行為方式．目前，利用評價來全面了解和診斷學生數(shù)學建模能力的發(fā)展狀況，進而提供針對性的數(shù)學支持，是培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力的一種較為可行的思路．在此之前，如何構(gòu)建科學、合理的測評框架是現(xiàn)階段亟待解決的問題．

以往的研究中，大部分研究者致力于開發(fā)數(shù)學建模能力的評價標準，對數(shù)學建模的總體能力進行評價．如Herbert等人將數(shù)學建模分為3個水平：識別和理解建模（recogni- tion and understanding of modeling）、獨立建模（independent modeling）和建模元反思（meta-reflection on modeling）[2]．朱婭梅將數(shù)學建模能力分為再現(xiàn)、聯(lián)系和反思3個水平[3]．少有的關(guān)注數(shù)學建模過程性子能力的研究，如Z?ttl也僅是關(guān)注了子能力是否被“激活”[4]，并不關(guān)心學生的子能力水平．基于此，在探討數(shù)學建模能力構(gòu)成要素的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了雙維多水平數(shù)學建模能力測評框架，該框架不僅關(guān)注了學生數(shù)學建模過程的執(zhí)行情況，同時還能測量各建模子能力的水平，最后研究采用定量的方法驗證了該框架的合理性和可操作性．

2 研究設計

首先，采用專家咨詢法驗證測評框架及評價標準的信效度．研究者選取了4位專家（兩位數(shù)學教育專家，兩位大學數(shù)學建模課程教師）作為咨詢專家，了解他們對測評框架及評價標準的認同度．

其次，以評價標準為依據(jù)，計算評分者的一致性．基于分析框架，結(jié)合PISA測試和《義務教育階段數(shù)學課程標準（2011年版）》，自編數(shù)學建模能力測試卷，并進行測試．選取H市五～八年級學生作為被試，共發(fā)放236份問卷，回收236份，其中有效問卷213份，有效率90.25%．隨機選取40份試卷，要求3位數(shù)學教育研究者分別獨立對40份試卷評分，并計算評分者一致性（肯德爾系數(shù)）．

最后，針對測驗結(jié)果，利用方差分析計算不同年級的學生在各維度上的得分差異，以此驗證測評框架的可操作性和合理性．

3 數(shù)學建模能力的內(nèi)涵及測評框架的構(gòu)建

3.1 數(shù)學建模能力的內(nèi)涵和要素構(gòu)成

對數(shù)學建模能力評價的首要任務是明晰數(shù)學建模能力的內(nèi)涵及構(gòu)成要素．通過對已有研究的梳理，國際上對數(shù)學建模能力構(gòu)成要素的劃分大體可以分為以下兩個視角：一種是從縱向的角度，對數(shù)學建模過程進行分解；一種是橫向的角度，分析不同的數(shù)學建模階段所需的所有子能力．

已有對數(shù)學建模過程的劃分，影響最廣的是Blum等人的研究．早期Blum[5]認為數(shù)學建模是從現(xiàn)實情境到現(xiàn)實模型、數(shù)學模型、數(shù)學結(jié)果最終回到現(xiàn)實情境的一個循環(huán)過程（如圖1），后來考慮到現(xiàn)實情境的復雜性，他們在原有框架中加入“情景模型”和“現(xiàn)實結(jié)果”，用以分析個體理解任務的能力，將4個階段細化成6個階段．之后的研究者選取不同的視角，對Blum的框架進行調(diào)整，如Greefrath增加計算機技術(shù)環(huán)節(jié)[6]，Borromeo從心理學的視角描述數(shù)學建模周期[7]，Galbraith 將數(shù)學建模描述為一種雙向循環(huán)的過程[8]等．PISA認為積極參與問題解決或數(shù)學建模的學生應該經(jīng)歷：數(shù)學化、應用、闡釋與評估3個步驟．簡要說來，“數(shù)學化”指運用數(shù)學的方法表示現(xiàn)實問題．“應用”指利用數(shù)學概念、程序、事實和工具來推導數(shù)學解．“闡釋與評估”指反思解決方案或結(jié)果，并在現(xiàn)實背景下解釋它們[9]．

對應建模過程各階段，Blum和Kaiser等人將數(shù)學建模能力劃分為：解決實際問題并構(gòu)建現(xiàn)實模型的能力、構(gòu)建數(shù)學模型的能力、求解數(shù)學模型能力、在現(xiàn)實模型或現(xiàn)實情境中解釋數(shù)學結(jié)果的能力以及驗證結(jié)果合理性的能力[10]．

圖1 數(shù)學建模循環(huán)過程

除了依據(jù)數(shù)學建模進程劃分的一系列子能力，研究者發(fā)現(xiàn)，學生在建模時，并不是完全遵照建模進程，有時候還會出現(xiàn)逆行的現(xiàn)象，如從數(shù)學模型返回到現(xiàn)實模型．從心理學的角度來看，他們認為這是學生的自我監(jiān)督和反思．基于此，Vorh?lter等人認為元認知能力也是重要的建模能力[11]．除了認知和元認知能力，Biccard認為學生在建模時還需要情感能力，這里情感能力主要指的是信念[12]．Maab認為成功完成數(shù)學建模任務還需要有運用數(shù)學解決問題的意識、解題的方向感以及論證能力等[10]．隨著研究的深入，除了個體的數(shù)學建模能力，Biccard和Wessels還研究了團隊建模能力[13]．盡管從橫向角度分析數(shù)學建模能力的研究越來越多，但隨著子能力的增加，建模能力的構(gòu)成要素越復雜，也就越難以測量和評價．因此，有必要進一步分析建模能力的基本構(gòu)成要素，并構(gòu)建可供測評的建模能力框架．

基于Blum和PISA的研究，研究從縱向的角度將數(shù)學建模過程分解為模型假設、模型構(gòu)建、模型檢驗．下面進一步解釋這3個步驟，數(shù)學建模的核心是刻畫事物之間的數(shù)量關(guān)系，而如何刻畫事物之間的關(guān)系全憑人們的想象，可以將這個想象稱之為模型假設[14]．模型假設是數(shù)學建模的第一步，指建模者對情境中的信息進行理解、編碼，進而針對問題目標篩選主要變量，并對主要變量的關(guān)系做出合理化假設的過程．其次，模型構(gòu)建是個體選擇和運用數(shù)學概念、公式和定理近似地刻畫現(xiàn)實中一類問題的本質(zhì)和規(guī)律，并得到數(shù)學解的過程．最后，模型檢驗是使現(xiàn)有模型逐漸貼近真模最重要的一步，是對結(jié)果、模型和解決方案進行反思的過程，其最終目的是根據(jù)反饋信息評價和調(diào)整模型．對應這3個階段，可以將數(shù)學建模能力劃分成3個過程性子能力（如表1）．

表1 數(shù)學建模過程能力分解

3.2 數(shù)學建模能力測評框架構(gòu)建

Box和Draper認為模型是對現(xiàn)實的一種簡化抽象，所有的模型都是錯誤的，但有些是有用的[15]．事實上，建模者對數(shù)量關(guān)系的刻畫有可能是“正確的”，也可能是“錯誤”的．這種“錯誤”不是一種“失敗的解決方案”，而是對現(xiàn)實的片面解釋．

在一次測驗中，研究者要求學生回答“牛吃草問題”：草場里有牛喜歡吃的草，23頭牛可在30天內(nèi)吃完，33頭?？稍?0天內(nèi)吃完，問這些草可供43頭牛吃幾天？L學生認為可以吃10天，并且給出了算式“牛的數(shù)量-23=30-天數(shù)”，研究者問：“你覺得你的答案正確嗎？”L學生回答：“我將23、30和33、20分別帶進去，等式成立，所以我認為是正確的．”此時該學生完成了數(shù)學建模的3個步驟，但因為忽視每天牧草都會生長，且沒有考慮每頭牛吃草速率不同等現(xiàn)實意義，并沒有得到“正確的”數(shù)學解．事實上，數(shù)學建模問題具有情境開放、方法和結(jié)果多樣等特點，簡單地根據(jù)數(shù)學結(jié)果正確與否來評價學生的數(shù)學建模表現(xiàn)并不恰當．

正如上述例子，雖然這個學生沒有構(gòu)建“正確”的數(shù)學模型，但相對那些完全沒有回答的學生來說，該學生執(zhí)行了數(shù)學建模的部分過程，因此，出于對這種現(xiàn)實情況的考慮，研究認為學生數(shù)學建模活動的完成度可以作為衡量數(shù)學建模能力水平的重要指標．進一步Jesen認為可以用覆蓋度（degree of coverage）來描述學生的數(shù)學能力水平．個體能夠自發(fā)激活數(shù)學能力的子程序的數(shù)量越多，則數(shù)學能力的覆蓋越廣，學生的能力水平越高[16]．從過程的角度來看，數(shù)學建模過程中各步驟之間存在遞進關(guān)系，前一步是后一步的基礎(chǔ)．根據(jù)Jesen的研究，結(jié)合數(shù)學建模的過程性特征，個體在一次數(shù)學建?；顒又兴芗せ畹倪^程性子程序的數(shù)量，即對應數(shù)學建模活動的完成度．因此，個體激活的子程序越多，則表示經(jīng)歷的數(shù)學建模步驟越多，將這種從水平的方向評價學生數(shù)學建模能力的維度稱之為覆蓋廣度（如圖2（）所示，其中，S表示模型假設步驟，M表示模型構(gòu)建步驟，V表示模型檢驗步驟）．

這種利用覆蓋廣度評價數(shù)學建模能力的做法盡管簡單易行，但也存在一定的問題．如在研究“玉米的生長高度與時間的關(guān)系”問題時，建模者們分別用線性模型和非線性模型對數(shù)據(jù)進行擬合，雖然均能夠得到數(shù)學解，但兩個模型對現(xiàn)實的解釋程度有高低之分．從結(jié)果的角度來看，學生數(shù)學建模得到的結(jié)果對現(xiàn)實的解釋度越高，其數(shù)學建模能力越強．需要注意的是，個體在建模各階段的作答表現(xiàn)均會影響最終的建模結(jié)果，而學生各子能力的水平?jīng)Q定了其在各階段的作答表現(xiàn)．因此，可以通過描述各子能力的水平來判斷個體的數(shù)學建模能力水平，將這種從垂直的方向評價學生數(shù)學建模能力的維度稱之為覆蓋深度．數(shù)學建模能力評價的覆蓋深度維度涵蓋3個二級指標：模型假設能力水平、模型構(gòu)建能力水平、模型檢驗能力水平，如圖2（）所示．

總之，可以從“過程的完成度”和“結(jié)果的有效性”兩個方面描述學生的作答表現(xiàn)．對應于這兩方面，研究將覆蓋廣度和覆蓋深度作為衡量個體數(shù)學建模能力的標尺．

如圖2（）所示，覆蓋廣度和覆蓋深度分別從橫向和縱向兩個維度評價學生的數(shù)學建模能力．從橫向上來看，每多覆蓋一種顏色的格子，意味著個體能激活更多種類的子能力；從縱向上來看，每列格子數(shù)越多說明該列建模子能力水平越高．

圖2 數(shù)學建模能力分析框架

圖3為學生作答表現(xiàn)的兩種示例，封閉圖形區(qū)域表示學生在各維度上的水平．圖3（）中，A學生在各維度的表現(xiàn)分別為：完成了建模的兩步，模型假設能力處于水平2，模型構(gòu)建能力處于水平1．圖3（）中，B學生在各維度的表現(xiàn)分別為：完成了建模的兩步，模型假設能力處于水平1，模型構(gòu)建能力處于水平0．

圖3 建模能力測評框架應用實例

4 數(shù)學建模能力評價標準構(gòu)建

根據(jù)上述建模能力的評價框架，下面分別說明如何從覆蓋廣度和覆蓋深度兩個維度評價學生的數(shù)學建模能力水平．

4.1 覆蓋廣度維度的評價標準

覆蓋廣度維度測量的是個體數(shù)學建模過程的完成度，這是從過程的角度對數(shù)學建模能力進行評價．具體來說，可以通過統(tǒng)計個體在一次數(shù)學建模活動中累積完成的步驟來評價學生在覆蓋廣度維度上的表現(xiàn)，即能夠自覺完成數(shù)學建模過程的步驟越多，則覆蓋廣度維度得分越高．

4.2 覆蓋深度維度的評價標準

覆蓋深度維度是測量個體數(shù)學建模各子能力水平，這是從結(jié)果的角度對數(shù)學建模能力進行評價．基于辛自強的關(guān)系—表征復雜性模型和SOLO分類法，研究分別對數(shù)學建模各子能力水平進行劃分，并使用例1來說明學生在不同子能力上的水平表現(xiàn)．

例1 姚明身高2.26米．某次姚明受邀參加“一日學生”的活動，與同學們一起上課．請問姚明需要多高的課桌（桌面高）和座椅（椅面高）？

（1）要解決這個問題，你認為都需要考慮哪些量？

（2）寫出你會用到數(shù)學式子并計算．

（3）你能在數(shù)學或現(xiàn)實背景下檢驗你的結(jié)果嗎？

（4）現(xiàn)在有一個人的身高為（單位：cm），他需要的椅子面高為（單位：cm），你能寫出身高與椅面高的關(guān)系式嗎？

此題為開放式問題，結(jié)果并不唯一，允許學生自由尋找解決方案，選擇建模方法．

（1）模型假設能力的水平劃分．

現(xiàn)實情境往往是雜亂無章的，建模者在模型假設時，需要在大量的無關(guān)變量或弱相關(guān)變量中，識別關(guān)鍵變量并且對這些關(guān)鍵變量的關(guān)系進行數(shù)學化表征．例如，在研究“植物的生長期問題”時，日照時長、灌溉量、土壤等因素均會影響植物的生長期，這里建模者無需考慮全部的影響因素，而是根據(jù)研究目的控制一些無關(guān)變量，僅考慮主要因素之間的關(guān)系即可．個體具體表征了多少個變量且這些變量關(guān)系的復雜程度受限于建模者的模型假設能力水平．

辛自強提出的“關(guān)系—表征復雜性模型”從表征廣度和表征深度兩方面描述了個體表征的水平[17]．“關(guān)系—表征復雜性模型”是從問題本身的結(jié)構(gòu)入手，判斷學生的表征水平，此時問題的難度和考查的知識點是由出題者控制的．而在解決數(shù)學建模問題時，往往需要學生針對問題目標自行提出數(shù)學問題，此時題目內(nèi)部各變量及其關(guān)系取決于建模者．因此，個體的模型假設能力水平可以通過其對現(xiàn)實問題的數(shù)學化表征的復雜程度來確定．

研究基于“關(guān)系—表征復雜性模型”，結(jié)合Biggs提出的SOLO分類理論，將模型假設能力劃分為4個水平（表2）．

表2 模型假設能力的水平劃分及學生表現(xiàn)

模型是對現(xiàn)實的簡化，它描述了某一現(xiàn)象的本質(zhì)特征，控制或忽略其它無關(guān)特征．一般來說，學生識別變量和表征它們的關(guān)系是同時進行的．如果學生的假設過于簡單，意味著他們提取的關(guān)鍵變量較少，刻畫的數(shù)學關(guān)系較為簡單．

（2）模型構(gòu)建能力水平劃分．

將假設付諸實際的過程，需要大量使用數(shù)學中已經(jīng)成熟的運算法則和推理法則．在對主要變量的關(guān)系進行結(jié)構(gòu)化處理時，不同模型構(gòu)建能力水平的建模者選擇的建模思路和策略有所不同，這種差異最終會影響模型的有效性，因此，對個體模型構(gòu)建能力的描述可以從“模型的有效性”入手．所謂“模型的有效性”包括：模型的適用范圍和對現(xiàn)象的解釋度．模型適用范圍的有限性是數(shù)學模型的基本性質(zhì)，這個適用范圍通常表現(xiàn)于模型的假設前提，表現(xiàn)于模型的初始值，或者表現(xiàn)于對模型參數(shù)的某些限制[14]．作為溝通數(shù)學與現(xiàn)實的橋梁，除了數(shù)學價值，人們還關(guān)注模型的應用價值，適用性強的模型具備強遷移性，改編參數(shù)值結(jié)果相差不大，此時模型具備較高的應用價值．模型對現(xiàn)象的解釋度指數(shù)學模型對現(xiàn)象的近似刻畫的程度，即模型與真模之間的距離，構(gòu)建的模型越貼近于真模，其對當前現(xiàn)象的解釋度就越好．研究以“模型的有效性”作為測量模型構(gòu)建能力的指標，基于SOLO分類理論將個體模型構(gòu)建能力劃分為4個水平（表3）．

表3 模型構(gòu)建能力的水平劃分及學生表現(xiàn)

值得注意的是，構(gòu)建模型時需要平衡模型的適用范圍與解釋度．有的模型具有非常廣泛的適用范圍，但是對現(xiàn)象的解釋度較低；有的模型過于具體，雖然對當前現(xiàn)象有較好的解釋，但不具有遷移屬性，應用價值較低．因此，在考察學生的模型構(gòu)建能力水平時，要綜合考慮其構(gòu)建模型的一般性與解釋度．

（3）模型檢驗能力水平劃分．

由于現(xiàn)實情境中信息的不確定性，數(shù)學建模的“目標”與“結(jié)果”并不是單一映射，而是保持一種“動態(tài)平衡”．數(shù)學建模是一個迭代的過程，在反復迭代過程中模型對現(xiàn)象的描述、解釋和預測的準確性越來越高，建模結(jié)果也越來越貼近真值．因此，需要對數(shù)學建模進行檢驗，以便及時調(diào)整解決方案或模型，使其更好地解釋現(xiàn)象．

PISA（2021）認為闡釋與評估素養(yǎng)是指個體反思數(shù)學解決方案、結(jié)果或結(jié)論的能力．具體來說，可以從以下幾個方面對數(shù)學結(jié)果進行解釋、應用和評估：解釋圖形或圖表信息；根據(jù)問題情境評估數(shù)學結(jié)果；回到現(xiàn)實世界解讀數(shù)學結(jié)果；在現(xiàn)實問題背景下評估數(shù)學解決方案的合理性；理解現(xiàn)實對數(shù)學運算程序或建模結(jié)果的影響，并為調(diào)整和應用結(jié)果做出相關(guān)判斷；在給定背景下解釋數(shù)學結(jié)果或結(jié)論是否具有意義；理解數(shù)學概念和數(shù)學解的限定范圍；評價和識別數(shù)學模型的適用范圍；運用數(shù)學思維和計算做出預測，并比較和檢驗解決方案[9]．就數(shù)學建模而言，Blum認為模型檢驗包括檢驗、反思、分析、評價模型和建模結(jié)果[18]．

根據(jù)Blum和PISA（2021）的研究，就檢驗對象而言，可以分為對數(shù)學結(jié)果的檢驗和對解決方案或模型的檢驗．從檢驗的范圍來看，可以在數(shù)學領(lǐng)域或現(xiàn)實背景下對模型和結(jié)果進行檢驗．研究中模型檢驗包括3部分內(nèi)容：在數(shù)學背景下檢驗結(jié)果的正確性、在現(xiàn)實背景下檢驗結(jié)果的合理性、評價解決方案的合理性和模型的局限性．基于SOLO分類理論將個體模型檢驗能力劃分為4個水平（如表4）．

表4 模型檢驗能力的水平劃分及學生表現(xiàn)

事實上，在進行檢驗時，為使模型更貼近真模，建模者一般從結(jié)果出發(fā)，對得到的結(jié)果、解決方案以及模型提出合理的質(zhì)疑，并以此作為修正模型的基礎(chǔ)．

5 雙維多水平數(shù)學建模能力測評框架及評價標準的驗證

首先，專家咨詢的結(jié)果顯示，專家們對各個指標和標準的認同度較高，均達到了“認同”以上的程度（1為非常不認同，5為非常認同），說明該測評框架具有較好的效度（如表5）．根據(jù)專家對各維度、指標的認同度，計算肯德爾系數(shù)為0.787，說明專家們的意見較為一致，具有良好的信度．

表5 專家認同度

其次，評分者一致性的結(jié)果顯示，3位評分者對試卷評分的肯德爾系數(shù)均高于0.7，說明不同評分者利用同一個評價標準的評分結(jié)果一致性較高，該評價標準具有較好信度．

最后，根據(jù)學生在此次測驗中的表現(xiàn)，進一步分析該測評框架和評價標準的區(qū)分度以及學生的表現(xiàn)．方差分析結(jié)果顯示，不同年級的學生在各維度上的表現(xiàn)具有顯著差異，且在各個水平上均有學生分布，說明測評框架和評價標準能夠分析不同年級的學生數(shù)學建模能力發(fā)展狀況，具有較好的區(qū)分度和合理性．

具體分析學生在各維度的表現(xiàn)，不同年級學生在覆蓋廣度維度的得分有顯著差異（=5.048，=0.008，效應量= 0.27）．具體來看，62%的學生有能力完成兩步及以上的數(shù)學建模過程，這說明大部分中小學生能夠圍繞問題目標進行模型構(gòu)建活動，初步具備了一定的建模意識．

但從覆蓋深度維度來看，如圖4所示，大部分學生在各建模階段上的表現(xiàn)并不是很好．具體來說，不同年級的學生模型假設能力水平差異顯著（=4.633，=0.004，效應量= 0.26）．在面對情境開放的問題時，大部分學生能夠基于生活經(jīng)驗對關(guān)鍵變量及其關(guān)系進行簡單描述．

圖4 學生的各子能力水平統(tǒng)計結(jié)果

其次，不同年級的學生模型構(gòu)建能力水平有顯著差異（=5.886，=0.001，效應量=0.29）．總的來說，學生在解決開放問題時，在模型構(gòu)建階段上的表現(xiàn)較差，其中，59%的學生處于水平1及以上，且僅有16%的學生處于水平2及以上，可見大部分學生僅采用直接估計等方法構(gòu)建模型，鮮有學生使用列比例式、三角函數(shù)等方法構(gòu)建模型．實際上，學生在日常學習中接觸的大部分問題是已經(jīng)“去現(xiàn)實化”的應用問題，因此，中小學生已經(jīng)形成了解“應用題”的慣性思維，只要是老師提出的或者教科書上的問題就是可以解的且有意義的；每個題目都有單一的、精確的解，題目中給出的數(shù)字必須使用；不必在意相關(guān)內(nèi)容是否違背常識[19]．而這種對某一知識、技能的操作性訓練，本質(zhì)上還是在數(shù)學領(lǐng)域內(nèi)進行解題活動，并沒有聯(lián)系實際．因此，當遇到與現(xiàn)實情境緊密相連的開放問題，尤其是如例1這樣僅給出“2.26”一個數(shù)字信息的問題時，大部分學生秉持可行性原則，盡可能僅利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)，根據(jù)生活經(jīng)驗直接估計桌子的高度（如圖5），只有較少的學生能夠想到利用自己的桌高、椅高等隱含信息求解．

最后，不同年級學生的模型檢驗能力水平有顯著差異（=13.840，=0.000，效應量=0.44）．學生的模型檢驗能力水平較低，81%的學生還處于水平0，即沒有進行檢驗或僅進行了直覺檢驗．有13%的學生處于水平1，這部分學生更關(guān)注數(shù)學領(lǐng)域內(nèi)的運算程序以及數(shù)學結(jié)果的正確性，并不關(guān)心計算的數(shù)學結(jié)果是否符合現(xiàn)實情況，比如：

主試：你檢驗了哪些內(nèi)容？

被試：我就回去看了一下結(jié)果跟題目要求是不是一樣（相符）．

主試：你都知道哪些檢驗方法？

被試：我們老師教我們做完題要再驗算一遍，要不把結(jié)果帶到題目中再看一遍數(shù)對不對．

可見，教師在日常教學中更強調(diào)檢查計算結(jié)果的正確性，較少要求學生在現(xiàn)實背景下反思建模方案和結(jié)果的合理性，這可能是導致學生模型檢驗能力水平低的重要原因．近年來，數(shù)學課標對學生的數(shù)學建模能力提出了越來越高的要求，但對建模過程中的“檢驗”與“應用”步驟的重視程度不高[20]．教學中片面強調(diào)知識、技能，忽視數(shù)學與現(xiàn)實的聯(lián)系，也使得學生較少有機會去質(zhì)疑結(jié)果是否符合現(xiàn)實．

圖5 學生A回答例1的表現(xiàn)

6 結(jié)論及啟示

首先，研究以過程為導向構(gòu)建了雙維多水平數(shù)學建模能力測評框架，該測評框架包括覆蓋廣度和覆蓋深度兩個維度．專家咨詢結(jié)果顯示，專家對研究構(gòu)建的建模能力測評框架的認同度較高，因此，測評框架具有較好的專家信效度．

其次，研究基于雙維多水平數(shù)學建模能力測評框架自編了測試題，并進行了一次小規(guī)模的調(diào)研，以測量中小學生的數(shù)學建模能力．結(jié)果顯示，多位評分者分別依據(jù)測評標準對試卷進行評分的一致性較高，說明評價標準具有較好的信度和可操作性．同時，測試結(jié)果也表明該測評框架和標準不但能夠清晰地體現(xiàn)建模的基本過程，還能夠較好區(qū)分學生在不同建模階段的表現(xiàn)水平．

最后，調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學生在面對真實情境的數(shù)學建模問題時表現(xiàn)較差．在實際教學中，教師可以增設真實情境問題，讓學生有機會積累解決數(shù)學建模問題的經(jīng)驗，同時教師也可以依據(jù)評價標準對學生的數(shù)學建模能力進行診斷，并提出針對性的指導意見．Greer認為數(shù)學建模是使用一個或多個數(shù)學模型來組織和描述一種情況或現(xiàn)象的過程，是將某種現(xiàn)實情況“數(shù)學化”的過程[21]．因此，在設計情境問題時應注意以下幾點．（1）情境應貼合學生的實際生活，讓學生有機會結(jié)合現(xiàn)實經(jīng)驗理解題目隱含的信息，只有這樣學生才能夠嘗試假設、構(gòu)建和檢驗模型．（2）應合理處理數(shù)學內(nèi)容與問題情境的關(guān)系．簡單地說，設計的問題應該是具有現(xiàn)實意義和研究價值的“真問題”．（3）在設置問題難度時，除了預設不同難度的問題，還可以增加一些條件和結(jié)果開放的問題，讓不同能力水平的學生均有作答機會，以便更好地診斷學生的數(shù)學建模能力水平，并提供個性化的教學設計和學習建議．

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The Construction of a Two-Dimensional and Muti-Level Evaluation Framework

ZU Dan1, DING Rui1, KONG Fan-zhe2

(1. Faculty of Education, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China;2. School of Education, South-Central University for Nationalities, Hubei Wuhan 430074, China)

Mathematical modeling capacity, as one of the core elements of mathematical capacities, is of great importance to foster and improve students’ mathematical key competences. Based on the procedural features of mathematical modeling, this study constructs a two-dimensional and multi-level evaluation framework for mathematical modeling capacity from both vertical and horizontal perspectives. The two dimensions are coverage span and coverage depth respectively. Coverage span focuses on the completion of modeling process, and coverage depth focuses on the level of model assumption ability, model construction ability and model testing ability. Based on SOLO classification theory and the “Relational-Representational Complexity Model”, proposed by Xin Zi-qiang, and combined with the analysis of students’ performance, the evaluation criteria of each modeling sub-capability under the coverage depth are constructed. The expert consultation and test results confirm that this evaluation framework and evaluation criteria of the two-dimension and multi-level mathematical modeling capacity have high reliability and validity, and can distinguish and evaluate students’ modeling capacity as expected.

mathematical modeling; mathematical modeling capacity; evaluation framework; coverage span; coverage depth

G40–034

A

1004–9894（2022）04–0056–06

祖丹，丁銳，孔凡哲．雙維多水平數(shù)學建模能力測評框架的構(gòu)建[J]．數(shù)學教育學報，2022，31（4）：56-61．

2022–02–09

教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金2019年度一般項目——小學生數(shù)學核心概念學習進階的構(gòu)建與診斷（19YJA880007）

祖丹（1991—），女，吉林琿春人，博士生，主要從事數(shù)學教育研究．

[責任編校：陳雋、陳漢君]