中國HPM研究內(nèi)容與方法

余慶純，汪曉勤

中國HPM研究內(nèi)容與方法

余慶純1，汪曉勤2

（1．華東師范大學 數(shù)學科學學院，上海 200241；2．華東師范大學 教師教育學院，上海 200062）

數(shù)學史與數(shù)學教育（HPM）是一個方興未艾的國際學術研究領域，受到中國數(shù)學史界、數(shù)學教育界的普遍關注．中國HPM研究內(nèi)容主要有HPM理論研究、教育取向的數(shù)學史研究、歷史相似性的實證研究、數(shù)學史融入數(shù)學教材研究、數(shù)學史融入教學研究、HPM與教師專業(yè)發(fā)展、HPM與ICT研究等7個主題．研究方法主要包括歷史研究、行動研究、調(diào)查研究、個案研究、實驗研究等．新時代HPM專業(yè)學習共同體需要深挖數(shù)學文化，彰顯數(shù)理人文；夯實理論基礎，加強實證研究；扎根中國特色，增進國際交流．

HPM；研究內(nèi)容；HPM理論；研究方法；實證研究；中國特色

數(shù)學史與數(shù)學教育（relations between the history and pedagogy of mathematics，簡稱HPM）是重要的國際學術研究領域之一[1]．1972年，在英國舉行的第二屆國際數(shù)學教育大會（ICME-2）上，初步組建了數(shù)學史與數(shù)學教學關系國際研究小組[2]．1976年，該研究小組正式隸屬于國際數(shù)學教育委員會（ICMI）．1980年，北美、英國等部分地區(qū)陸續(xù)出版了HPM相關的通訊．1984年，在第五屆國際數(shù)學教育大會（ICME-5）上，首次將不同地域性的HPM通訊刊物整合為統(tǒng)一的國際性刊物《HPM通訊》（），收錄國際HPM研究成果，交流學術發(fā)展動態(tài)．國際HPM研究已受到歐美數(shù)學家、數(shù)學史家與數(shù)學教育家們的高度關注，學者們普遍認為數(shù)學史在認識數(shù)學本質(zhì)、探析學習障礙、激發(fā)學習動機、涵養(yǎng)數(shù)理人文、助力教師發(fā)展等方面具有獨特的教育價值[1]．

20世紀末，國際HPM逐漸傳入中國．然而，早在20世紀初，中國數(shù)學史與數(shù)學教育研究已開始萌芽．20世紀30年代至今，中國數(shù)學史與數(shù)學教育研究經(jīng)歷了“萌芽探索—整合發(fā)展—改革提升—融合賦能”4個歷史階段，逐漸從“為歷史而歷史”演進成“為教育而歷史”．當前，中國HPM研究領域蓬勃發(fā)展，方興未艾．

2021年，正值第14屆國際數(shù)學教育大會（ICME-14）順利舉辦、中國數(shù)學會數(shù)學史分會成立40周年之際，回顧中國數(shù)學史與數(shù)學教育的發(fā)展歷程，溯源HPM研究內(nèi)容與方法，嘗試回答數(shù)學史與數(shù)學教育研究者們共同關注的問題：（1）中國HPM研究的發(fā)展歷程如何？（2）中國HPM研究的主要內(nèi)容及其研究方法是什么？研究者旨在總結中國特色HPM研究經(jīng)驗，以史為鏡，古為今用，為更好地融合數(shù)學史與數(shù)學教育、加強HPM教學實證等方面提供理論支撐與實踐參考．

1 歷史源流

20世紀30年代至今，中國HPM研究經(jīng)歷了4個歷史階段，相繼呈現(xiàn)了數(shù)學史與數(shù)學教育之間的4類互動關系（見圖1）．

圖1 中國HPM研究的4個歷史階段

（1）萌芽探索階段（1930—1984）．20世紀30年代至80年代初期，以著名數(shù)學史家李儼（1892—1963）、錢寶琮（1892—1974）兩位先生領銜的中國數(shù)學史研究團隊兢兢業(yè)業(yè)、攻堅克難，通過考古發(fā)現(xiàn)與史料挖掘，系統(tǒng)地構建了中國數(shù)學史研究的理論體系，開創(chuàng)了現(xiàn)代中國數(shù)學史研究的基本范式，奠定了中國古代傳統(tǒng)數(shù)學在人類文化史上的重要地位．兩位先生不僅是中國現(xiàn)代數(shù)學史乃至整個科學史研究的開創(chuàng)者和奠基人，更是中國數(shù)學史與數(shù)學教育研究在“萌芽探索”階段的啟蒙者[3]．從20世紀50年代起，數(shù)學史家們逐漸關注數(shù)學史的教育研究．當時，中國高等院校數(shù)學史教育聚焦在各類師范院校、個別大專院校數(shù)學系開設的數(shù)學史課程，一方面是為了踐行愛國主義教育，培育新一代從事數(shù)學史研究的優(yōu)質(zhì)人才；另一方面是促進國內(nèi)數(shù)學史教材編撰與修訂工作，推動中國數(shù)學史研究事業(yè)的不斷發(fā)展[3]．當時，在深厚的中國數(shù)學史研究土壤中，高等教育階段的數(shù)學史教育研究悄然萌芽，在“篳路藍縷”的探索初期中緩慢發(fā)展．此時高等院校普遍關注“為數(shù)學而數(shù)學史”或“為歷史而數(shù)學史”．此后，越來越多的研究者們關注到教育取向的數(shù)學史研究，在“為歷史而數(shù)學史”基礎性研究的積淀上，逐步轉(zhuǎn)向“為教育而歷史”．

（2）整合發(fā)展階段（1985—1999）．20世紀80年代至20世紀末，開啟數(shù)學史與數(shù)學教育的“整合發(fā)展”階段．據(jù)統(tǒng)計，1986年，中國約有四十所高校數(shù)學系開設了數(shù)學史選修課程，到2001年全國大多數(shù)高等院校已普遍開設數(shù)學史選修課程[3]．著名數(shù)學史家、當代教育名家張奠宙（1933—2018）的《20世紀數(shù)學史話》（后修訂為《20世紀數(shù)學經(jīng)緯》）[4-5]與著名數(shù)學史專家李文林的《數(shù)學史教程》（后再版為《數(shù)學史概論》）[6-7]兩本數(shù)學史教育的經(jīng)典教材令人印象深刻，都曾經(jīng)歷過反復打磨與修訂，成為20世紀世界近現(xiàn)代數(shù)學史研究、中國當代數(shù)學史教育研究瑞璨星空中的閃閃明星．20世紀70年代至21世紀初，中國科學院吳文俊院士（1919—2017）深耕于數(shù)學史研究領域中，在“兩條主流”“古證復原”“古為今用”“絲路精神”4個方面均有出色的研究貢獻，成為自主創(chuàng)新的典范，引領繼李儼、錢寶琮先生之后的中國數(shù)學史研究的新局面[8]．其中，“兩條主流”是指吳文俊正確地厘清世界數(shù)學發(fā)展的兩條主要脈絡，即以《九章算術》為代表的中國古代數(shù)學機械化算法與以《幾何原本》為代表的數(shù)學公理化演繹體系曾多次反復、互為消長，交替成為世界數(shù)學發(fā)展中的主流[9]．這一研究具有正本清源的重要價值．“古證復原”強調(diào)兩項基本原則：所有研究結論應該在幸存至今的原著基礎上得出；所有結論應該利用古人當時的知識、輔助工具和慣用的推理方法得出[10-11]．“古為今用”是吳文俊在1980年談及“中國傳統(tǒng)數(shù)學的再認識”時提出的，顯示中國古算的真實面貌不僅是為了破除對西算的盲從，更是端正對中算的認識，旨在古為今用[12]．他后來提出中國古代數(shù)學具有機械化、構造化兩大鮮明特點[13]，并將“古為今用”的原則貫穿到數(shù)學史、數(shù)學機械化研究的全過程，影響深遠．“絲路精神”是指中國古代數(shù)學家們通過“絲綢之路”與中亞甚至歐洲的同行們進行活躍的學術交流，展現(xiàn)出世界多元數(shù)學文化的和諧共存、互通互融的本質(zhì)．吳文俊將中外數(shù)學交流的意義升華到“絲路精神”，指出知識交流與文化融合應當繼續(xù)得到更好地發(fā)揚[14]．在1984年全國高校中外數(shù)學史講習班上，吳文俊先生曾高屋建瓴地指出：數(shù)學教育與數(shù)學史是分不開的，鼓勵全國各所高等院校普及中西方數(shù)學史教育．后來，全國數(shù)十所高等院校陸續(xù)開設數(shù)學史課程，普及數(shù)學史知識．當時，“數(shù)學史與數(shù)學教育”已成為高校數(shù)學學科六大主干專業(yè)之一，“學習數(shù)學史”也被寫進中小學數(shù)學教學大綱與教材[15]．20世紀末，在中國基礎教育階段的數(shù)學教材建設、課程改革等方面，吳文俊院士闡述了數(shù)學史與數(shù)學教育相互整合、相互促進的密切關系[16]．20世紀80年代至20世紀末，數(shù)學史與數(shù)學教育進入“整合發(fā)展”階段，從“為歷史而歷史”轉(zhuǎn)變成“為（高等）教育而歷史”，逐漸關注數(shù)學史融入數(shù)學教育的必要性．

（3）改革提升階段（2000—2017）．21世紀初，中國基礎教育數(shù)學課程進行新一輪改革，助推“數(shù)學文化”融入新課程、新教材與新教學，興起“為（基礎）教育而數(shù)學史”的熱潮．2002年，張奠宙在《數(shù)學教學》期刊上創(chuàng)辦“數(shù)學史與數(shù)學教育”欄目，提出“弘揚數(shù)學文化，促進數(shù)學教育”的宗旨，指出要借鑒數(shù)學史科學地解釋：學生如何理解數(shù)學、教師如何將數(shù)學史融入教學、數(shù)學史與數(shù)學教育如何互動、如何分析多樣化的文化、社會、經(jīng)濟等因素[17]．2003年，《普通高中數(shù)學課堂標準（實驗）》建議在高中數(shù)學課程中，要適當?shù)靥岢鰧Α皵?shù)學文化”的學習要求，設立“數(shù)學史選講”等專題[18]．后來，李文林加入《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》修訂組，關注數(shù)學史、數(shù)學文化融入義務教育階段數(shù)學課程、教材、教學等方面，成為數(shù)學史研究進入數(shù)學教育領域的一個標志性事件[19]．

2005年，第一屆全國數(shù)學史與數(shù)學教育學術研討會（CHPM-1）在西北大學召開，HPM逐漸受到中國大陸教育界的熱切關注．2006年，圍繞“教育取向的數(shù)學史研究”“基于數(shù)學史的數(shù)學教學設計”“關于歷史發(fā)生原理的實證研究”“數(shù)學史融入數(shù)學教學的實驗研究”等主題內(nèi)容，汪曉勤、張小明翔實地闡述如何運用歷史研究、課例研究等方法開展HPM研究[20]．從2010年開始，上海、浙江等地陸續(xù)成立HPM初中、高中教學研究基地，開展數(shù)學史融入數(shù)學教學研究，致力于借鑒數(shù)學史來溯源數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展歷程，再現(xiàn)數(shù)學家火熱的數(shù)學思想方法，展現(xiàn)數(shù)學文化中的理性人文．2011年，在第四屆數(shù)學史與數(shù)學教育學術研討會（CHPM-4）上，張奠宙先生再次積極提議：立足教育實踐，開發(fā)系列HPM教學案例．后來，中國基礎教育階段陸續(xù)開展數(shù)學史融入數(shù)學教學的改革實踐，旨在協(xié)調(diào)數(shù)學史與數(shù)學教育之間的關系，發(fā)揮數(shù)學史多元的教育價值．

（4）融合賦能階段（2018—今）．隨著“互聯(lián)網(wǎng)+教育”的蓬勃發(fā)展，數(shù)學史與數(shù)學教育研究逐漸轉(zhuǎn)入“融合賦能”的歷史新階段，聚焦“為教育（實證）而歷史”．2018年伊始，全國加強教育實證研究，推進研究范式轉(zhuǎn)型．2018年3月，上海市“立德樹人”數(shù)學教育教學研究基地成立數(shù)學史與數(shù)學教育（HPM）工作室，組建小學、初中、高中學段的HPM專業(yè)研究團隊，致力于發(fā)展五個“一”，即一個HPM研究領域、一個HPM研究視角、一個HPM專業(yè)學習共同體、一條HPM課例研究專業(yè)路徑、一批HPM教學案例．此時，全國各地HPM課例研究活動正在如火如荼地開展，呈現(xiàn)出一派繁榮發(fā)展的生機景象．2018年起，HPM國際、國內(nèi)會議相繼舉辦，呈現(xiàn)頻率高、規(guī)模大、形式多的會議新模態(tài)，推動中外HPM研究邁上新的臺階．2018年5月，在臺灣師范大學舉行“臺北—上海HPM數(shù)學史與教學雙城論壇會議”，臺灣的洪萬生、劉柏宏、蘇意雯與上海的汪曉勤、黃友初等圍繞教育取向的數(shù)學史研究、數(shù)學史融入數(shù)學教科書研究、數(shù)學史融入數(shù)學教學研究、HPM與教師專業(yè)發(fā)展等主題展開深入探討．2018年7月，第八屆數(shù)學教育中的歷史與認識論歐洲暑期大學在挪威奧斯陸城市大學舉行[21]．同年10月，第三屆華人數(shù)學教育大會（簡稱CCME-3）在華東師范大學舉行，“數(shù)學史與數(shù)學教育”是其中一個重要的分論壇[22]．2019年5月，在上海交通大學舉辦第十屆中國數(shù)學會數(shù)學史分會學術年會暨第八屆全國數(shù)學史與數(shù)學教育學術研討會[23]，展現(xiàn)出新時期數(shù)學史與數(shù)學教育的深度融合、相互促進、動態(tài)循環(huán)的緊密關系，深化基礎教育階段HPM理論與實踐研究，推進中國特色HPM研究的國際化發(fā)展．2020年初，受全球新冠肺炎疫情的影響，全國實施“停課不停學”教育舉措，上海HPM工作室成立高中、初中、小學3個學段“全國HPM教師網(wǎng)絡研修班”，助力各省市數(shù)學教師開展跨區(qū)實時、異地同步的網(wǎng)絡化交流，保障全國HPM教學的穩(wěn)步推進，開啟“HPM云教育時代”．

中國HPM研究經(jīng)歷多年“為教育而歷史”的艱辛探索與創(chuàng)新發(fā)展，已成為中國數(shù)學教育的重要研究領域之一．當前，國內(nèi)HPM研究方興未艾，朝著理論研究多元化、教育實踐實證化、技術賦能高效化的新趨勢蓬勃發(fā)展．

2 內(nèi)容方法

一般而言，教育研究分為思辨研究、實證研究兩類，前者聚焦教育“應然”的問題，后者解決教育“實然”的問題．21世紀以來，實證研究（empirical research）一直是國際數(shù)學教育研究的主流趨勢．作為國際數(shù)學教育知名學術研究期刊《數(shù)學教育研究雜志》（，簡稱）的主編，蔡金法曾深入地論述開展高質(zhì)量數(shù)學教育實證研究的價值意義與實踐路徑，指出研究內(nèi)容、研究問題決定研究方法[24]．可見，單一地討論不同研究方法的優(yōu)劣沒有實質(zhì)性意義，需要聚焦具體的研究內(nèi)容、問題等，選擇具體有效的研究方法．這才是開展數(shù)學教育實證研究的核心要義．

鑒于此，溯源21世紀以來中國HPM研究的發(fā)展歷程，發(fā)現(xiàn)HPM研究的主要內(nèi)容可以分為HPM理論研究、教育取向的數(shù)學史研究、歷史相似性的實證研究、數(shù)學史融入教材研究、數(shù)學史融入教學研究、HPM與教師專業(yè)發(fā)展、HPM與ICT研究7個主題，聚焦歷史研究、行動研究、調(diào)查研究、個案研究、實驗研究等實證研究方法．

2.1 HPM理論研究

HPM理論研究，往往運用歷史研究、行動研究與調(diào)查研究等綜合方法，秉承“上通理論、下達實踐”的研究理念，聚焦理論體系與實踐經(jīng)驗的本土化，關注“為何”與“如何”運用數(shù)學史等“應然”問題．當前，高校HPM研究者與一線數(shù)學教師組成的專業(yè)學習共同體（professional learning community，簡稱PLC）基于中國“本土化”的數(shù)學教育國情，扎根理論研究與教學實踐，總結了具有中國特色的HPM研究理論，即“一個視角、兩座橋梁、三維目標、四種方式、五項原則、六類價值”[1，25]．

“一個視角”，是指HPM視角，即數(shù)學史與數(shù)學教育關系的視角．

“兩座橋梁”，是指HPM研究建構“歷史與現(xiàn)實、數(shù)學與人文”兩座橋梁．前者協(xié)調(diào)了歷史序、邏輯序與認知序，展現(xiàn)數(shù)學史古今相連、古為今用；后者將數(shù)學的學術形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，使數(shù)學教育浸潤人文芬芳．兩座橋梁交相輝映，共同保障數(shù)學教育生態(tài)的有機統(tǒng)一[25]．

“三維目標”，是指教師專業(yè)發(fā)展的3個維度，即知識、能力與信念．知識方面，借鑒教學取向的數(shù)學知識（mathema- tical knowledge for teaching，簡稱MKT）理論框架[26]，對教師學科內(nèi)容知識與教學內(nèi)容知識等進行測評．能力方面，關注教師HPM課例設計能力、信息化HPM教學實踐能力等．信念方面，指教師對數(shù)學、數(shù)學教學的價值觀念，具體表現(xiàn)為動態(tài)數(shù)學觀、數(shù)學實用觀、理性精神等．

“四種方式”，是指數(shù)學史融入數(shù)學教學的4種方式，即附加式、復制式、順應式與重構式（見表1）[25]．在基礎教育階段中，數(shù)學史融入數(shù)學教學的方式是多元的．若簡單地采用附加式，則容易出現(xiàn)低水平的教學效果；若綜合運用多種方式，則有助于提高教學質(zhì)量．可見，選擇合理的數(shù)學史融入方式，是開展HPM教學的關鍵要素．

表1 數(shù)學史融入數(shù)學教學的方式

“五項原則”，是指選取數(shù)學史料的5項原則，即科學性、可學性、有效性、趣味性與人文性（見表2），聚焦史料選取的重要性與必要性，彰顯HPM教學特色[25]．

表2 選取數(shù)學史料的原則

“六類價值”，是指數(shù)學史融入數(shù)學教學可以構建知識之諧，彰顯方法之美，營造探究之樂，實現(xiàn)能力之助，展現(xiàn)文化之魅，達成德育之效．實踐表明，HPM教學在不同程度上彰顯出數(shù)學史的6類教育價值[27]．

此外，對于數(shù)學史、數(shù)學文化與數(shù)學教育的相關研究，許多學者都曾做過理論探討．黃秦安指出，數(shù)學文化研究為透視數(shù)學與數(shù)學教育提供了更加廣闊的視角，進一步從數(shù)學與數(shù)學教育觀、大眾文化、民族與傳統(tǒng)文化、數(shù)學的社會與歷史研究、科學文化與人文文化等研究主題，探討了數(shù)學文化的相關研究[28]．代欽指出了數(shù)學文化的概念及其4種表現(xiàn)形態(tài)，即純粹數(shù)學形態(tài)、學校數(shù)學形態(tài)、應用數(shù)學形態(tài)與民族數(shù)學形態(tài)，歸納了數(shù)學文化的5個重要特征，即規(guī)范特征、審美特征、認知特征、歷史特征與價值特征[29]．楊豫暉、吳姣、宋乃慶總結國內(nèi)已有的數(shù)學文化研究，提出了數(shù)學文化的概念及其重要的教育價值[30]．此外，余慶純、汪曉勤提出基于數(shù)學史的數(shù)學文化研究聚焦知識源流、學科聯(lián)系、社會角色、審美娛樂與多元文化的內(nèi)涵維度[31]．

2.2 教育取向的數(shù)學史研究

教育取向的數(shù)學史研究，是指對不同主題的數(shù)學史料進行教育性的解析研究，旨在以史為鏡，服務教育．研究者往往基于古今中外的原始文獻、二手文獻等進行系統(tǒng)深入的歷史研究，一般基于文本分析法，開展不同類型的編碼與分析．

扎根原始文獻、指向教育教學的歷史研究是HPM研究的基石，與“為歷史而歷史”的史學研究不同，教育取向的數(shù)學史研究聚焦“為教育而歷史”，特別關注基礎教育階段數(shù)學史的挖掘與解析．教育取向的數(shù)學史研究關注數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計等主題領域，聚焦數(shù)學概念術語、定理命題、思想方法、歷史名題等內(nèi)容的歷史研究，如素數(shù)與合數(shù)、傾斜角與斜率、眾數(shù)等概念，平方差公式、圓的面積公式、勾股定理等公式定理，《九章算術》《海島算經(jīng)》等古代算經(jīng)中的趣味歷史名題等內(nèi)容[1]．數(shù)學史是一座巨大的寶庫，蘊含豐富多彩的數(shù)學教學資源與思想養(yǎng)料，促進基于數(shù)學史的數(shù)學文化史料挖掘與內(nèi)涵解析，不僅解答了學生關于“無理數(shù)是沒有道理的數(shù)嗎？”“未知數(shù)為何稱為‘元’？”“函數(shù)是如何來的？”等數(shù)學知識來龍去脈的疑問，而且?guī)椭處熥叱觥扒蓩D難為無米之炊”的教學困境，提升數(shù)學教學質(zhì)量．

2.3 歷史相似性的實證研究

20世紀，HPM先驅(qū)者卡約黎（F. Cajori）、史密斯（D. E. Smith）等西方學者普遍認可“歷史相似性”，認為個體在學習新知的認知過程與歷史上相關的學科創(chuàng)建者所經(jīng)歷的探索發(fā)現(xiàn)與認知障礙相似[2]．近些年來，中國HPM研究團隊基于歷史研究、調(diào)查研究等方法，實證“歷史相似性”的客觀存在．研究者往往基于教育取向的歷史研究，采用抽樣調(diào)查的方式，調(diào)查學生在數(shù)學學習過程中的探索發(fā)現(xiàn)與認知發(fā)展是何、為何存在歷史相似性．此外，參照“歷史相似性”，研究者進一步評估或預測學生數(shù)學學習的認知變化，幫助學生有效地跨越認知障礙，提高數(shù)學學習的效率，提升學好數(shù)學的自信心．

現(xiàn)以高中、初中階段的“歷史相似性”研究為例，加以闡述說明．在高中階段，對于“切線”概念的理解一直是教學難點，在一項比較研究中發(fā)現(xiàn)：蘇、滬、皖3地絕大多數(shù)高中生對“切線”的理解停留在古典幾何階段，需要依據(jù)公共點個數(shù)來判別是否為切線，這與古希臘數(shù)學家的理解相似，且學生對切線從“靜態(tài)直觀定義”到“動態(tài)分析定義”的過渡仍存在理解困難，表現(xiàn)出高度的歷史相似性[32]．在初中階段，一項“字母表示數(shù)”的調(diào)查研究實證了學生理解“字母”的意義具有歷史相似性．該研究基于代數(shù)學發(fā)展的3個階段“修辭代數(shù)—縮略代數(shù)—符號代數(shù)”進行測評，發(fā)現(xiàn)不少學生停留在“修辭代數(shù)”與“縮略代數(shù)”階段，理解字母的本質(zhì)仍處于“記數(shù)符號”“表示未知量”等層次，對“符號代數(shù)”的理解仍存在認知障礙[33]．有研究者基于“歷史相似性”開展“字母表示數(shù)”教學，其借助“問題串”的形式，重構式地親歷代數(shù)學發(fā)展的3個階段，由淺入深地引導學生體會字母表示未知數(shù)、已知數(shù)的階段性變化，跨越認知障礙，培育動態(tài)數(shù)學觀[34]．可見，“歷史相似性”的實證研究具有重要意義，不僅能夠清晰地還原數(shù)學演進的變化歷程，深刻地揭示火熱的歷史動因，而且可以有效地解決學生學習數(shù)學的認知障礙，為數(shù)學教學改革提供寶貴的歷史經(jīng)驗．

2.4 數(shù)學史融入教材研究

隨著21世紀課程改革的不斷推進，數(shù)學史融入教材的重要性日益凸顯，“為何”與“如何”將數(shù)學史融入教材逐漸成為重要的研究話題．教材中運用數(shù)學史能夠直接為教學提供史料素材，改變“無米之炊”的教育現(xiàn)狀．在數(shù)學史融入數(shù)學教材研究中，常見運用調(diào)查研究、實驗研究等研究方法開展3個方向的研究：（1）數(shù)學史融入數(shù)學教材的理論探討，如數(shù)學史融入教材常見有5種方式（見表3），點綴式與附加式常見獨立于教材的正文內(nèi)容，刪去后無較大影響，而復制式、順應式與重構式展現(xiàn)出數(shù)學史融入教材的多元方式，融合程度逐漸自然而然；（2）數(shù)學教材的比較研究，采用文本分析法對國內(nèi)外同一版本或不同版本教材中數(shù)學史的選取原則、內(nèi)容分布、呈現(xiàn)方式等進行比較研究，如運用數(shù)學史融入教材的5種方式與融入水平的分析框架，對中、法兩國初中數(shù)學教科書進行分析研究，發(fā)現(xiàn)中國教科書中數(shù)學史已融入正文各環(huán)節(jié)，且復制式或順應式地融合歷史名題，而法國教科書在重構式地運用史料方面尚且不足[35]；（3）數(shù)學教材的互動研究，運用問卷調(diào)查、深度訪談等方法，聚焦使用者與教材中數(shù)學史編排內(nèi)容、融入方式等的有機交互．

表3 數(shù)學史融入教材的方式

2.5 數(shù)學史融入教學研究

數(shù)學家、數(shù)學教育家克萊因（M. Kline，1908—1992）指出“數(shù)學史是教學的指南”．數(shù)學史融入數(shù)學教學，是指借鑒“歷史發(fā)生原理”，以學生喜聞樂見的形式呈現(xiàn)數(shù)學知識的來龍去脈、再現(xiàn)歷史上的數(shù)學思想方法、滲透豐富多彩的數(shù)理人文的教學方式，是“有溫度的數(shù)學教學”．張奠宙先生曾指出，在教學實踐中要用數(shù)學史內(nèi)容揭示數(shù)學文化內(nèi)涵，營造數(shù)學文化氛圍[1]．

數(shù)學史融入數(shù)學教學，常常分為顯性融入、隱性融入兩種形式．顯性融入是指融合數(shù)學相關的人物事件、概念公式、定理命題、歷史名題等顯著的史料內(nèi)容，一般以附加式或復制式的方式融入數(shù)學教學；隱性融入是指依據(jù)教學實際對史料內(nèi)容進行重新設計與加工，常見以順應式或重構式的方式融入教學．因數(shù)學史融入數(shù)學教學的深度不同，HPM教學也呈現(xiàn)出不同層次．洪萬生教授曾指出教師應用數(shù)學史至少可以分為3個層次：（1）“講故事”的形式，強調(diào)對教學內(nèi)容起到佐證、補充與拓展的作用；（2）聚焦知識源流，強調(diào)認識數(shù)學知識背后的歷史脈絡，比較數(shù)學家的不同方法，拓寬認知視野，培養(yǎng)理性思維；（3）注重多元文化，在歷史視角中關注數(shù)學活動的文化意義，實踐多元文化關懷[36]．

如何開展HPM教學實踐呢？通常由高校HPM研究者與一線數(shù)學教師、教師教育者共同組建專業(yè)學習共同體，聚焦具體數(shù)學內(nèi)容的來龍去脈，經(jīng)歷選題與準備、研討與設計、實施與評價、整理與寫作4個基本研究環(huán)節(jié)（見圖2）．該HPM教學過程形成的課例，簡稱為HPM課例[1]．

圖2 HPM課例的研究流程

在數(shù)學史融入教學研究中，主要運用行動研究、調(diào)查研究、個案研究、實驗研究等多元的研究方法．21世紀初，張小明曾基于“計劃—行動—反饋—反思”的研究環(huán)節(jié)，開展中學數(shù)學教學中融入數(shù)學史的行動研究，總結出4個發(fā)現(xiàn)：一是選取的數(shù)學史材料宜做適度的篩選和剪裁；二是教學設計需考慮“歷史序—邏輯序—認知序”的有機統(tǒng)一；三是數(shù)學史引入中學數(shù)學教學應以“融入”的方式為主；四是師生均可自主拓展學習數(shù)學史料[37]．2009年，張維忠與實驗學校在長達2年合作研究過程中，通過行動研究建構“經(jīng)驗觸動—數(shù)學化理解—多領域滲透—回顧反思”的數(shù)學文化教學模式[38]．2017年，在一項數(shù)學史融入統(tǒng)計概念教學的個案研究中，對6名八年級初中生學習前后的認知發(fā)展進行研究，發(fā)現(xiàn)5名學生認知水平得到明顯提升，僅有1名學生的認知水平與原先持平，可見數(shù)學史融入統(tǒng)計教學有助于加強學生對統(tǒng)計概念的理解，促進學生的認知發(fā)展[39]．在一項HPM教學實驗研究中，在初中、高中與高等教育階段的3所不同學校中分別選擇1位教師所教的2個基本條件相近的平行班（即實驗班與對照班）開展教學實驗研究，運用觀察、問卷、考試等方式開展對應學段數(shù)學史融入教學的對比分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)學史融入教學有3個顯著的教學效果：聽課時學生的精神狀態(tài)顯著改觀，課堂教學效率明顯提高，學習成績顯著上升[40]．隨著數(shù)學教學改革的落實，HPM專業(yè)學習共同體逐漸聚焦數(shù)學史融入具體數(shù)學主題的課例開發(fā)與運用，旨在改進HPM教學“高評價、低運用”的實踐困局，優(yōu)化學生數(shù)學學習，促進教師專業(yè)發(fā)展．

2.6 HPM與教師專業(yè)發(fā)展

數(shù)學史家錢寶琮先生曾提出：數(shù)學史研究的一個重要目標是為中學數(shù)學教師服務．中學數(shù)學教師要教好學生，不僅需要數(shù)學教學法，同時也應該知道數(shù)學發(fā)展史……數(shù)學教師具有廣博的知識背景才能將數(shù)學課講得更加生動、清晰和透徹，從而提高教學水平和教學質(zhì)量[41]．中國HPM專業(yè)學習共同體中，高校HPM研究者提供理論支撐，一線數(shù)學教師與教研員則提供實踐智慧，二者共享學習、跨界互動，卓有成效地打通高等教育與基礎教育之間的教育鴻溝，形成“中小學—大學”合作機制（school-university partnership mechanism，簡稱SUPM），構建“理論與實踐”路徑（theory-practice approach），卓有成效地推進中國數(shù)學教師教育的持續(xù)發(fā)展[42]．

HPM與教師專業(yè)發(fā)展中，主要運用個案研究、行動研究等方法，開展數(shù)學教師知識、能力與信念等方面的研究．如一項個案研究刻畫了初中數(shù)學教師在數(shù)學史融入教學后的系列轉(zhuǎn)變：教師逐步提升對教材的批判能力，增強拓展教材的意識，對學生學習數(shù)學的認知規(guī)律有更加深刻的理解，教學研究能力顯著提升，逐漸形成獨特的教學風格……有力地證實HPM促進中學數(shù)學教師的專業(yè)發(fā)展[43]．在研究HPM專業(yè)學習共同體時，以一個代表性的數(shù)學教師工作室及其8位成員教師作為個案研究對象，采用“設計研究為主、敘事研究與參與式行動研究為輔”的研究方法，通過課堂觀摩、深度訪談與自評問卷等方式搜集數(shù)據(jù)，開展縱向追蹤研究與橫向比較研究，發(fā)現(xiàn)HPM教學設計研究助推教師學習，對教師觀念與能力均有所提升[44]．

2.7 HPM與ICT研究

隨著“互聯(lián)網(wǎng)+教育”時代的發(fā)展，HPM與信息通信技術（information and communication technology，簡稱ICT）研究成為一個新興的研究主題，聚焦GeoGebra、幾何畫板、微視頻等技術媒介融入HPM教學的內(nèi)容特征、基本原則、運用方式與教育價值等．

中國HPM與ICT研究往往運用行動研究、調(diào)查研究等方法，聚焦ICT融入學生學習、教師教學與教研等方面．在學習方面，ICT承擔課前導學、課中助學、課后拓學等重要角色，促進學生數(shù)學學習．常見運用微視頻、幾何畫板、GeoGebra、希沃白板、思維導圖、流轉(zhuǎn)筆記、電子教材、電子檔案袋等技術工具，輔助開展“以學生為本”的數(shù)學學習活動，生動地展示數(shù)學知識的來龍去脈，有趣地再現(xiàn)數(shù)學家探尋概念公式、定理命題等過程的火熱思維，可視化地揭示化曲為直、以直代曲、數(shù)形結合等數(shù)學方法的本質(zhì)，揭示數(shù)學思想的古今傳承，彰顯東西方數(shù)學文化的互通互融．在教學與教研方面，教師借助騰訊會議、釘釘?shù)绕脚_，搭建網(wǎng)絡學習社區(qū)，運用騰訊文檔、思維導圖等技術工具呈現(xiàn)教學設計，開展線上研討；以趣味生動的HPM微視頻融入教學，揭示數(shù)學知識的發(fā)展歷程，彰顯數(shù)學文化之魅．

HPM與ICT研究中，HPM微課、HPM微視頻研究最為常見（見表4）．其中，已有研究結合新版課程標準的內(nèi)容要求與中小學微課評審標準，構建HPM微課研究框架，包含“分析—設計—制作—應用—評價”5個環(huán)節(jié)[45]，常見于主題式、單元式的微課教學中．HPM微視頻則更多地運用于HPM課例，輔助學生數(shù)學學習．

表4 HPM微課與微視頻的比較

ICT為HPM研究插上騰飛的翅膀，承載數(shù)學史從“學術形態(tài)”到“教育形態(tài)”的轉(zhuǎn)變過程，展現(xiàn)數(shù)學演進歷程，可視化數(shù)學思想方法，優(yōu)化教學形式，提高教學效率，推動信息化HPM教學的歷史性嬗變，彰顯“互聯(lián)網(wǎng)+HPM”的多元教育價值．

3 總結展望

HPM研究橫跨數(shù)學史與數(shù)學教育兩大學科，是一個特色鮮明、前景廣闊的國際學術領域．中國HPM研究關注7個主題的研究內(nèi)容，聚焦多元的實證研究方法．進入21世紀以來，中國HPM研究領域蓬勃發(fā)展，一片欣欣向榮，逐漸呈現(xiàn)出扎根歷史、跨界融合，上通理論、下達實踐，聚焦實證、技術賦能的基本特征[25]．未來，HPM專業(yè)學習共同體需要致力于3個方面的深化工作．

（1）深挖數(shù)學文化，彰顯數(shù)理人文．數(shù)學史是數(shù)學文化的有機組成部分，蘊含數(shù)學文化的豐富內(nèi)涵[42]．張奠宙先生曾寄語“希望HPM會在未來的中國數(shù)學教育中有一個更大的發(fā)展，以至成為繁榮數(shù)學文化的一種教學常態(tài)”[1]．對此，HPM專業(yè)學習共同體需要加強教育取向的數(shù)學史研究，深挖“基于數(shù)學史的數(shù)學文化內(nèi)涵”[31]，厘清數(shù)學學科內(nèi)部的知識源流，尋找數(shù)學學科外部的跨學科本質(zhì)關聯(lián)，洞察數(shù)學的社會角色，品賞數(shù)學的審美娛樂，展現(xiàn)古今中外的多元文化，彰顯數(shù)學學科的數(shù)理人文底蘊，積極踐行“立德樹人”的根本任務．

（2）夯實理論基礎，加強實證研究．立足中國數(shù)學教育的基本國情，“自上而下”地構建、完善新時代中國特色的HPM理論體系，拓寬HPM研究主題，豐富HPM研究內(nèi)容，同時也要聚焦HPM理論“自下而上”的研究路徑，這是理論指導實踐、實踐涵養(yǎng)理論的關鍵要義．2017年，“教育實證研究行動宣言”號召國內(nèi)教育研究領域加強教育實證研究，推行研究范式轉(zhuǎn)型[47]．當前，中國HPM實證研究尚在初級階段，存在很大的發(fā)展空間．囿于HPM教學實踐的豐富性、內(nèi)隱性與默化性，數(shù)學史許多深厚的教育價值未能在短期教學中很好地展現(xiàn)，且HPM研究中質(zhì)性研究方法較多，量化研究相對較少，這是HPM研究的短板，亟待改善．未來，需要夯實HPM理論基礎，借鑒相近學科領域的研究范式，助推HPM理論研究的不斷發(fā)展．同時，加強實證研究方法規(guī)范，優(yōu)化課例研究的循環(huán)周期，開展質(zhì)性與量化研究相結合的長期性、跟蹤性的教育實證研究．

（3）扎根中國特色，增進國際交流．第十四屆國際數(shù)學教育大會（ICME-14）王建磐主席曾指出：“中國特色”的數(shù)學教育承載著落實“立德樹人”根本任務、發(fā)展素養(yǎng)教育的時代使命，要勇于架起傳統(tǒng)與發(fā)展的橋梁，站在優(yōu)秀傳統(tǒng)教育的肩膀上創(chuàng)新務實地發(fā)展[48]，這為中國HPM研究的未來發(fā)展指明了方向．在孕育“四基”“四能”的中國數(shù)學教育肥沃土壤中，架起了“歷史與現(xiàn)實、數(shù)學與人文”兩座橋梁，基于“歷史相似性”的實證研究，開展“中國特色”的數(shù)學史融入數(shù)學教學實踐，浸潤學科德育，弘揚數(shù)學文化．在教育全球化的新時代中，傳承中國傳統(tǒng)數(shù)學、扎根中國特色、建立中國話語、對話中外研究、加強國際交流不僅是中國HPM研究國際化發(fā)展的必然趨勢，更是中國數(shù)學教育屹立在東亞數(shù)學文化圈、國際數(shù)學教育圈的時代需求．

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HPM Research in China:Contents and Methods

YU Qing-chun1, WANG Xiao-qin2

(1. School of Mathematical Science, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

HPM, an emerging international academic research field, has received widespread attention from the Chinese mathematics history and mathematics education fields. The research contents of HPM mainly have seven themes including the HPM theoretical research, education-oriented research on the history of mathematics, empirical research on historical similarity, mathematics history integrated into mathematics textbooks, mathematics history integrated into teaching research, HPM and teacher professional development, research on HPM and ICT in China. HPM research methods mainly include historical research, action research, survey research, case study, experimental research and so on. In the new era, professional learning community in HPM research needs to dig deep into mathematical culture and highlight the mathematical humanities; consolidates the theoretical foundation and strengthens the empirical research; takes root in Chinese characteristics and enhancesinternational exchanges.

HPM; research content; HPM theory; researchmethod; empirical research; Chinese characteristic

G40–09

A

1004–9894（2022）04–0049–07

余慶純，汪曉勤．中國HPM研究內(nèi)容與方法[J]．數(shù)學教育學報，2022，31（4）：49-55．

2022–02–10

上海高校“立德樹人”人文社會科學重點研究基地之數(shù)學教育教學研究基地研究項目——數(shù)學課程與教學中落實立德樹人根本任務的研究（A8）

余慶純（1993—），女，廣東潮州人，博士生，主要從事數(shù)學史與數(shù)學教育研究．

[責任編校：陳漢君、陳雋]