高中圓錐曲線的概念教學重構

王海青，曹廣福

高中圓錐曲線的概念教學重構

王海青1，曹廣福2

（1．惠州學院 數學與統計學院，廣東 惠州 516007；2．廣州大學 數學與信息科學學院，廣東 廣州 510006）

圓錐曲線作為高中解析幾何的核心內容，對學生數學思維能力的培養起著至關重要的作用．對于圓錐曲線不同概念的理解、統一性與離心率一致性的認識、數學思想方法的掌握等教學困難，需要教師對其歷史脈絡、知識形成過程有整體的把握和本質的認知．可以基于對圓錐曲線的歷史發展、教學目標與教材編寫的分析，并結合學生實際重構圓錐曲線的概念教學．

圓錐曲線；概念教學；數學史；教學重構

1 研究背景

解析幾何的產生是近代數學最偉大的發明創造之一，它通過坐標系將代數方程與幾何曲線曲面等聯系起來，實現了“數與形”的靈活轉換．解析幾何用代數方法研究幾何，改變了歐幾里得幾何繁雜的論證方法，使幾何研究變得容易，同時也能由已知的代數結果發現新的幾何性質．因此，圓錐曲線作為高中解析幾何的核心內容，它對學生數學思維能力培養的重要性毋庸置疑．此外，圓錐曲線的光學性質在現代建筑、鏡面工藝設計、定位系統設計等方面都有廣泛的應用，這也是數學家和數學愛好者熱衷于研究和探討圓錐曲線的重要原因．

關于圓錐曲線的教學，有許多研究得到類似結論：教師與學生大都認為其“理解難、計算繁”，主要體現在對概念的理解、統一性的認知、數學思想方法的掌握以及相對繁雜的運算上[1-4]．這些問題需要教師對圓錐曲線的歷史發展、知識與思想的形成過程有整體把握和本質認識．但研究中發現教師對圓錐曲線內容的教學基本以“呈現知識→講解例題→課堂練習”為主，強調多講題多練題，注重解題技巧的傳授[4]．過于重視解題教學忽視對數學知識特別是核心概念本質的真正理解，反而會使學生難以綜合運用知識解決問題導致解題能力下降．

因此，根據當前數學教師面臨的教學困境和學生的學習困難，研究者亟需深入到數學內部研究圓錐曲線知識的整體結構與相互關系、揭示本質與蘊含的數學思想方法．下面基于對高中圓錐曲線內容的教材分析與其歷史發展的啟示，并結合學生實際重構教材內容形成相應的教學設想．

2 圓錐曲線的內容要求與教材分析

《普通高中數學課程標準（2017年版）》[5]將圓錐曲線的內容要求確定為：（1）了解圓錐曲線的實際背景，感受其在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用；（2）經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握其定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質；（3）了解雙曲線和拋物線的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質；（4）了解橢圓、拋物線的簡單運用，通過學習進一步體會數形結合的思想．整體上看，課程標準降低了這一單元的教學要求．

下面以《高中數學人教版選修2-1》[6]為例簡要說明教材內容的編排情況．圓錐曲線的內容放在“圓錐曲線與方程”單元中，知識結構如圖1，基本上涉及到圓錐曲線歷史發展中的幾個重要部分．分別介紹了光學性質、原始定義、第一定義、第二定義以及在直角坐標系下的標準方程和統一方程，其中第一定義、標準方程、幾何性質及應用是主要內容．原始定義出現在前言部分；橢圓和雙曲線的第一定義通過“拉線作圖”引出；拋物線的定義利用其切線的性質借助幾何畫板引出；利用Dandelin球說明橢圓的第一定義與原始定義的等價性放在“探究與發現”部分；第二定義和光學性質的相關內容貫穿整個單元，并在“閱讀與思考”欄目進行了較為詳細的敘述．為拓寬學有余力學生的視野并增強其思維能力，選修4-1的《幾何證明選講》[7]還詳細介紹了用Dandelin雙球模型推導出橢圓、雙曲線與拋物線定義的情形，體現了3種曲線的密切聯系．

圖1 “圓錐曲線與方程”單元知識結構

教材的編排體現了類比、數形結合和分類討論的數學思想，極力突出原始定義、第一定義和統一定義3者之間的聯系，既強調各類圓錐曲線的特性也關注其統一性．教材編寫圍繞3條主線展開，即3種曲線內部的密切聯系、圓錐曲線的光學性質與Dandelin雙球模型．如何將圓錐曲線中不同曲線的定義、同一曲線的不同定義有機聯系起來形成一個緊密的知識結構？圓錐曲線的光學性質與Dandelin雙球模型是很好的媒介．雖然按照《普通高中數學課程標準（2017年版）》的要求，新的教材將刪去Dandelin雙球模型的內容．但教材由于編寫需要和篇幅所限，不可能面面俱到地詳盡展開．教師需基于教材結合學生的實際及自身對相關內容的理解組織教學，特別是考慮到學有余力學生的需要，對以下4個關鍵教學問題的處理還有值得思考和商榷的地方．

2.1 難于實現從原始定義到第一定義的自然過渡

圓錐曲線可看作是球在光照射下的不同投影，也可看作是平面截圓錐所成的交線，兩種方式都是在空間中對圓錐曲線的直觀定性描述．但教材在介紹圓錐曲線的原始定義后，直接過渡到平面用“拉線作圖法”引出橢圓第一定義推導標準方程與討論相應的性質特征．從空間到平面的直接跨越不免有些突兀，學生難以理解為什么可以這樣定義．圓錐的截線與平面上定義的曲線是同一個軌跡嗎？雖然教材在之后的“探究與發現”中進行了說明，教師若直接按順序教學，則將難以消除學生在學習新概念時造成理解上的極大困擾．

有研究[8-10]證實了這些疑慮，并對橢圓概念的教學提出了改正意見，根據太陽光的投影逐步構建出圓柱面的Dandelin雙球模型，推導出橢圓的焦半徑性質，并引出橢圓的第一定義，將之與原始定義聯系在一起．圓柱面的Dandelin雙球模型可以降低學生處理模型的難度，但修正后的模型無法導出雙曲線和拋物線的情形．教學上雖然不用Dandelin球模型引出雙曲線和拋物線的定義，但圓柱面的Dandelin雙球模型不足以說服學生消除“如何類似地可以得到雙曲線和拋物線的定義”的疑問．

2.2 難于揭示3者之間的內在統一性

教材通過“拉線作圖”討論“到兩個定點的距離之和為一定值”的點的軌跡引出橢圓第一定義．雙曲線第一定義則類比橢圓考慮“到兩個定點的距離之差為一定值”的點的軌跡得到，這會導致學生的學習思維過于發散．因為同樣可以類比思考“到兩個定點的距離之積（或商）為定值”的點的軌跡．積為定值時軌跡是卡西尼雙紐線，商為定值時軌跡是圓，前者超出了高中生的學習范圍，后者已經研究過．所以這樣的類比適合放在整個單元教學內容結束后，在復習課中讓學生利用類比的思想提出相應的問題并作簡單討論．

拋物線的定義則完全是“另起爐灶”，表面上看起來與橢圓、雙曲線的第一定義沒有任何關聯．學生也會有疑惑，為什么會想到運用“拉線作圖”借助“幾何畫板”研究“到一定點與一定直線之間的距離之比為1”的點的軌跡？那比值為其它正數的情形呢？當然教材后面介紹的統一定義能解釋這些疑問，但不能解決學生在學習新知——拋物線定義時所產生的困惑．教師若完全照搬教材，從“橢圓→雙曲線→拋物線”定義的提出將很難揭示出相互間的本質聯系．

2.3 忽視對“離心率”概念一致性的解釋

2.4 忽視運用圓錐曲線光學性質組織教學

圓錐曲線的光學性質即切線性質貫穿教材編寫始終．利用這一性質在現實世界中的應用容易引出“焦點”的概念以及幫助學生對3種曲線的直觀認識．雖然教材只是將圓錐曲線光學性質作為事實性結論進行介紹，教學上也不要求學生掌握其證明．在整個單元的教學組織中，是否可以通過教材中已有的例習題揭示圓錐曲線的光學性質，并將3種曲線有機聯系起來體現它們的內在統一性？是否有必要讓學有余力的學生通過探究課“知其然亦知其所以然”？

3 圓錐曲線的歷史發展與啟示

數學史記載著數學知識與思想的形成過程，它有助于教師理解數學學科的整體結構、思想方法和特定的主題，預測和評判學生的認知困難．因為個體對數學理解的發展遵循數學思想的歷史發展順序，即通常所說的“歷史相似性”[11]．正如弗賴登塔爾認為“年輕的學習者重蹈人類的學習過程，盡管方式改變了”[12]．因此，教師需借助歷史整體把握教學內容和學生實際以實現有效教學．

3.1 圓錐曲線與古希臘數學

圓錐曲線的發現可能是古人在制作日晷的過程中偶然弄出來的[13]．圓形日晷的面板在地面上會形成圓錐曲線所圍成的陰影，這可能引起了當時制作日晷的工作者的注意．阿波羅尼斯（Apollonius）則是第一個依據同一個圓錐的截面來研究圓錐曲線理論，也是首先發現雙曲線有兩支的人．其所著的《圓錐曲線論》[14]含有許多獨到和新穎的創造性材料，幾乎網羅了圓錐曲線的性質，成為數學史上的一座豐碑．

圖2 圓錐曲線的部分性質

3.2 圓錐曲線與解析幾何

《圓錐曲線論》問世后近兩千年的時間里圓錐曲線的研究一直沒有什么新進展．直到16世紀后，人們發現圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態曲線，也是自然界物體運動的普遍形式．如，行星按橢圓軌道環繞太陽運行，物體斜拋運動的軌道是拋物線．1579年意大利數學家蒙特（Monte）在其著作《平面球體圖》中將橢圓定義為：到兩個焦點距離之和為定長的動點的軌跡，并利用定義討論了他制造的橢圓規[16]，如圖3．

圖3 橢圓規

3.3 圓錐曲線與射影幾何

射影幾何研究幾何圖形在投影變換下保持不變的性質，它與解析幾何幾乎在同一時期產生．創立者德薩格（Desargues）首先將射影幾何思想用于研究圓錐曲線，考察它的射影性質，使圓錐曲線理論獲得了新發展[16]．他在其著作《試論錐面截一平面所得結果的初稿》中將圓錐曲線直觀定義為：圓在平面上的投影，由此將圓的性質推到任一類圓錐曲線上．德薩格通過投影和截景提供了統一處理圓錐曲線的簡便方法．

用綜合法證明圓的截景是圓錐曲線的一個直觀簡潔的初等方法是由比利時數學家G. F. Dandelin給出的[18]．以橢圓為例，如圖4，在截面的上、下方各作一個與圓錐內切的球，同時和截面相切于12．在截面的交線上任取一點，連接交兩球的切圓于點，．由球的切線性質得到：1=，2=，則1+2=+=而為定值，1，2為定點，得證．利用同一個模型可以證明原始定義與焦點—準線定義的等價性．

圖4 圓錐曲線的截面截景

3.4 歷史的啟示

圓錐曲線的歷史揭示了知識產生的背景與價值、思想方法的形成過程，這正是數學教育教學的起點，從中可創設合適的問題情境展開教學．圓錐曲線的定義和研究方法的改變反映了幾何學的發展變化過程．數學的發展提供了更為簡潔的研究方法，數學家們為了研究的需要，依據圓錐曲線的性質給出不同定義．而圓錐曲線的光學性質、力學性質及其與物體運動之間的關系是刺激人們不斷研究的最基本動因．這也恰恰表明生產生活的外部需要和數學內部發展對數學的促進作用．此外，許多數學問題在初等數學的體系下很難揭示本質，而只有在非初等的理論框架內才能被深刻地理解．在歐氏幾何和解析幾何范疇下難以看透的本質在射影幾何的框架下看則是很顯然的事實．如3種圓錐曲線的各自定義、統一定義及其性質的密切聯系；圓錐曲線不同方程之間的關系以及蘊含其中的不變量思想．

雖然中學的數學教材將圓錐曲線置于解析幾何的框架下進行討論，但數學教師應從更高的視角審視圓錐曲線內容，把握本質以有效組織教學．從歐氏幾何到解析幾何再到射影幾何，圓錐曲線的定義經歷了原始定義、平面上動點的軌跡定義、射影定義、標準方程定義、焦點—準線定義、代數方程的統一定義的變化過程．表述方式也經歷了由幾何靜態的直觀描述→幾何動態的度量性質描述→射影性質的描述→代數方程的形式描述的變化過程．而研究方法從歐氏幾何的純幾何綜合法→射影幾何的方法→以坐標為媒介的解析法，經歷了由繁到簡，形成了定性研究→定量研究→形式研究的變化．

依據歷史，畫出圓錐曲線相關知識的整體結構圖（圖5）．它反映了圓錐曲線與物理學、天文學和數學學科分支之間的聯系，研究方法和定義的變化．圖6[19]反映了在歐氏幾何和解析幾何的框架下圓錐曲線定義的變化及相互關系．

圖5 圓錐曲線相關知識的整體結構

圖6 圓錐曲線定義的變化及相互關系

4 圓錐曲線概念教學重構的基本框架

對于數學中基本的、核心的概念，教學進程不妨慢下來，讓學生在教師的引領下體驗概念的獲得過程，發現知識間的內在聯系以及相應的思想方法．在“圓錐曲線與方程”單元中，相比其它概念，橢圓概念又顯得尤為重要．基于對圓錐曲線歷史和教材內容的理解，以及對課程內容要求與學生實際的整體把握，重新組織教材內容以“問題驅動教學”[20–21]，以期促進學生對圓錐曲線相關概念的深入認識和理解．依據圓錐曲線知識的發展順序和教材內容的組織順序，重構圓錐曲線概念教學基本框架如圖7．

圖7 重構圓錐曲線概念教學基本框架

引出橢圓、雙曲線與拋物線的第一定義和統一定義后，可將教材中原本利用“拉線作圖法”引出第一定義的這些素材作為現實應用讓學生了解或掌握．通過概念教學重構，使得空間中的原始定義自然地過渡到平面中的第一定義；使得橢圓、雙曲線與拋物線概念的教學環環相扣、前后呼應，既突出了3者之間的特性也反映了彼此之間的統一性與密切聯系；充分發揮圓錐曲線光學性質的教學價值，并使之貫穿教學的始終．通過教師的教和學生的學，最終幫助學生形成圓錐曲線知識的整體認知結構．

5 4個關鍵教學問題的解決方案

教師在教學中既要面向全體又要考慮不同學生的需求，應對單元內具體課時的教學作整體考量，注重前后銜接以及知識深廣度的彈性處理．通過教學重構，可以解決前面提及的4個關鍵教學問題，讓學生特別是學有余力的學生通過學習最終形成對圓錐曲線內容的整體認識，充分體會到知識間的相互聯系性以及蘊含在知識之上的數學思想與方法．

5.1 重構Dandelin雙球模型 實現原始定義向第一定義過渡

教學不能脫離知識產生的源頭，否則就成了“無源之水、無本之木”．用平面截圓錐所成的截線或球在光源下的投影是圓錐曲線的初始定義，教學的起點應該從這里開始．橢圓概念是實現圓錐曲線的定義從空間的圓錐面向平面自然過渡的重要支點，而Dandelin雙球模型是很好的媒介．但如果直接呈現Dandelin雙球模型推導橢圓的焦半徑性質從而引出第一定義，學生的最大困惑在于：這么巧妙的模型是怎么想到的？教學上的困難是：如何降低對立體模型的理解和證明難度？

結合學生的生活實際，可以先介紹日常聲學和光學現象，由此激發學生的興趣并引出一個重要概念——橢圓的焦點．進而提出問題：橢圓上的點與這兩個焦點有什么聯系？帶著問題通過動手實驗讓學生感受球在燈光下的投影，并由此逐步抽象出Dandelin雙球模型．以學生熟悉的生活場景構建出Dandelin雙球模型，從生活世界向數學世界過渡，實現“橫向數學化”．然后在剖析Dandelin雙球模型的過程中獲得橢圓的焦半徑性質進而引出第一定義，實現“縱向數學化”．為降低學生對Dandelin雙球模型的理解難度，可先引導學生類比圓得到球的切線性質．橢圓概念的獲得過程充分調動了學生的直觀想象，增強了數學建模和數學抽象的能力，有助于發展學生的核心素養．

下面是問題驅動橢圓概念的教學指導片段．

（1）情境引入，提出問題．

大家在學習物理的光學性質時了解過放映機的內部結構及成像原理，其內部燈泡通過一個曲面鏡將光反射聚焦到另外一點；同學們可能也有過這樣的日常經歷，在某些建筑內部的某個位置能聽到遠處人的竊竊私語，對著山谷大喊緊接著也能聽到從遠處傳來同樣的回聲．這些現象都跟橢圓的特性有關．當山谷或洞穴是橢圓形構造時，在某個特定的位置上發出聲音能通過橢圓面折射聚焦到另一點；同樣另一點也能以同樣的方式將聲音傳回之前的發音點．將現實情境抽象轉化為幾何圖形如圖8．問題：橢圓曲線與這兩個特殊點到底存在什么樣的關系？（注：教學將圍繞著這個核心問題展開，以問題驅動數學課堂教學．為了解決這個問題，教師需設置一系列的啟發性問題引導學生構建Dandelin雙球模型，探究發現橢圓上的點與兩特殊點的關系，然后引出橢圓的第一定義并深化對概念的理解．）

圖8 在橢圓形山谷特定位置發聲

（2）構建Dandelin雙球模型，探究發現性質．

啟發性問題1：用手電筒或者電燈從不同的角度照射桌面上的球形物體，形成的投影形狀是什么？能從情境中抽象出幾何圖形嗎？

通過實物操作實驗得到球在桌面上的投影是圓錐曲線．其中一種投影為橢圓，球與桌面相切于一點．由光源電燈發出的光束與球相切成圓錐狀，并使球內切于圓錐．將實際情形抽象轉化為幾何圖形，點1為球與桌面即橢圓的切點．球內切于圓錐，球與圓錐相切的所有點構成切圓．因為光線是可逆的，從點光源發出的光束也可以看作是一束光聚焦到點光源上．所以橢圓的投影也可以看作是由桌面下方與桌面相切于點2的另一個球的投影，從而構造出Dandelin雙球模型，如圖9．軌跡橢圓上的任一點與切點1、2存在怎樣的關系呢？顯然1、2分別是圓錐的兩內切球對應的切線段，類比圓的切線性質可以提出以下啟發性問題．

啟發性問題2：圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等．那么，從球外一點引球的切線，這些切線又有哪些性質？

引導學生類比得到球外一點作球的切線，切線長相等．再回到前面的Dandelin雙球模型以及所要探討的“橢圓上的點與兩切點的關系”問題．如圖9，在橢圓上任取一點，連接交兩切圓于點1、2，連接1、2．由球的切線性質易得：1=1，所以1+2=1+2=12，12為一定值．由此得到橢圓的一個性質：橢圓上的點到兩個定點的距離之和為定值．

圖9 Dandelin雙球模型

（3）形成定義，深化對概念的認識．

原始定義是在三維空間中對圓錐曲線定性的直觀描述，很難用它來研究相應曲線的性質．為了研究的方便，可利用上面這個具有量化關系的性質定義橢圓，并在平面中研究橢圓的其它性質．

啟發性問題3：那么，滿足“到兩個定點的距離之和為一定值的所有點的軌跡”一定是橢圓嗎？

如圖10，橢圓上的點與兩定點1、2構成一個三角形，由三角形的三邊關系顯然有：|1|+|2|>|12|．若|1|+|2|=|12|，點的軌跡是線段12；若|1|+|2|<|12|，點的軌跡不存在．

圖10 橢圓的第一定義

由此得到橢圓的嚴格定義：平面內到兩個定點1、2的距離的和等于常數（大于|12|）的點的軌跡叫做橢圓．

5.2 通過“折紙實驗”揭示橢圓與雙曲線的密切聯系

如何反映橢圓與雙曲線概念的密切聯系？教材在例題和習題中隱藏著許多重要線索，從中可以實現重組“再創造”．考慮到教學的連貫性，也為了在新課結束后為學有余力的學生開設關于圓錐曲線光學性質的探究課題，這里在不增加學生負擔的情況下選擇教材中“折紙成橢圓”與“折紙成雙曲線”的習題為教學材料，通過折紙成橢圓類比提出問題進行探究，自然引出雙曲線的定義．

在“橢圓的簡單幾何性質”教學中，借助“幾何畫板”軟件解決“折紙成橢圓”的習題，讓學生對此有更深刻的認識，為后面的教學鋪墊．為引出雙曲線概念，通過“折紙成橢圓”類比提出新問題，再次利用信息技術探究得出雙曲線的軌跡進而提煉出概念．

下面是問題驅動雙曲線概念的教學指導片段．

（1）復習引入，提出問題．

在前面“橢圓的簡單幾何性質”的學習中，大家已經知道：在半徑為的圓內取定一點，在圓周上任取一點，通過折疊使點與點重合，折痕為直線．連接交于點，點的軌跡為橢圓（圖11）．如果將上述問題中“在圓內取定一點改為“在圓外取定一點”，其余條件不變．即：在半徑為的圓外取定一點，在圓周上任取一點，通過折疊使點與點重合，折痕為直線．連接交于點，當點在圓內時，點的軌跡是什么？

圖11 橢圓的形成

（2）探究問題，生成定義．

先考慮交點在圓內的情形（圖12），折痕是線段的垂直平分線，點是直線與半徑的延長線的交點．由軸對稱的性質易知，=，所以-==．即點到兩個定點，的距離之差||-||為定值．滿足這一條件的點的軌跡是什么？不妨借助“幾何畫板”觀察一下，可以得到雙曲線的一支．

圖12 雙曲線的形成（1）

當交點在圓外時(圖13），此時的長度大于，同理可得=，所以==．即點到兩個定點、的距離之差||-||為定值．利用幾何畫板可以直觀發現這是雙曲線的另一支．

圖13 雙曲線的形成（2）

因此，對于兩個定點、，交點滿足|||-|||=，它構成雙曲線的兩支，如圖14．從而得到雙曲線的初步定義：平面內與兩定點1、2的距離之差的絕對值等于常數的點的軌跡叫做雙曲線．

圖14 雙曲線的第一定義

（3）概念的嚴格化．

觀察圖14，雙曲線上的點與兩個焦點1、2構成三角形，由三角形的三邊關系可知絕對值||1|-|2||<|12|，但||1|-|2||≠0．因為由||1|-|2||=0得|1|=|2|，即點在線段12的垂直平分線上．若||1|-|2||=|12|，則點在線段12的延長線上；若||1|-|2||>|12|，則點的軌跡不存在．

綜上，歸納出雙曲線的嚴格定義：平面內與兩個定點1、2的距離之差的絕對值等于非零常數（小于|12|）的點的軌跡叫做雙曲線．

5.3 在聯系豐富的各種特征中體現圓錐曲線的統一性

圓錐曲線既有各自特性也有共同性質．從表面上看，圓錐曲線的原始定義、第一定義與統一定義是從不同角度下定義，相互之間沒有必然聯系，定義內容本身也沒能反映出它們之間的內在聯系．另一方面統一定義中離心率的概念與前面橢圓、雙曲線中定義的離心率為什么會一致？對于這些問題教材其實也給出了回答，只是隱藏在例題之中需要教師在教學中對它們進行重新組織和設計．在“橢圓的簡單幾何性質”與“雙曲線的簡單幾何性質”中出現過運用統一定義表述形式的題目，這其實也為后面拋物線的定義與統一定義埋下伏筆．

因此，充分挖掘教材內容，通過歸納橢圓與雙曲線的共同點來提出新問題進行探究從而得到拋物線的概念會更合理和自然．主要思路是從兩道與統一定義有關的例題入手提出猜想，再運用橢圓與雙曲線的標準方程推導中出現的兩個相同表達式證明猜想，進而提出新問題借助“幾何畫板”信息技術引出拋物線的概念．這樣既體現了拋物線與橢圓、雙曲線的緊密聯系，也為后面統一定義的討論提供了基礎材料，同時也解決了對離心率概念理解的困惑，正所謂一舉多得．拋物線概念的教學過程直接反映了橢圓、雙曲線與拋物線的離心率概念的共同點，也正是統一定義中對圓錐曲線的分類標準．

下面是問題驅動拋物線概念的教學指導片段．

（1）回顧例題，歸納特征．

（2）證明猜想．

橢圓與雙曲線標準方程的推導過程中，有以下重要等式：

它的幾何意義為：

（3）類比橢圓與雙曲線的共同特征，提出問題．

（4）運用信息技術探究問題，引出定義．

借助“幾何畫板”可以將點的軌跡直觀演示出來．任意給定一個點，一條直線，在直線上任取一點．作線段的垂直平分線，垂足為點．過點作的垂線，交的垂直平分線于點．此時有=．追蹤點的軌跡發現是一條拋物線，如圖15．

由上面的探究得到拋物線的定義：平面內與一個定點和一條定直線距離相等的點的軌跡叫做拋物線．（注：由前面的歸納可知，橢圓和雙曲線上的點到焦點的距離與它到準線的距離之比等于它們各自的離心率．于是定義“拋物線上的點到焦點的距離與它到準線的距離的之比稱為拋物線的離心率”，根據拋物線的定義有=1．這樣，就將橢圓、雙曲線與拋物線的離心率概念自然地聯系在一起，揭示了不同離心率定義的一致性，也為后面圓錐曲線統一定義的提出做了充分鋪墊，突出了分類討論的思想．）

圖15 拋物線的形成

5.4 恰當利用圓錐曲線的光學性質組織教學

教材中圓錐曲線的光學性質是要求學生了解而不需證明的一個事實性結論．圓錐曲線的光學性質及其應用能讓學生直觀體驗到所要學習內容的重要性和價值，也能激發學生了解周圍世界和學習的好奇心．將圓錐曲線光學性質的相關內容有機穿插在教學的各個部分，有助于教學的有效開展．更進一步地，在教學中也要關注不同學生的學習差異性，讓學有余力的學生對圓錐曲線的光學性質既“知其然”亦“知其所以然”．

教學重構除了在圓錐曲線的起始課中對光學性質的廣泛應用性進行整體介紹外，還在每個概念的教學中涉及到相關生活實例．“折紙成橢圓或雙曲線”的過程實際上也證明了橢圓與雙曲線的切線性質，而總結歸納橢圓與雙曲線的共同特征，提出問題運用幾何畫板探究引出拋物線定義的過程，也間接證明了拋物線的切線性質．這也為新課結束后有關的探究性課題的設計提供了素材．

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[3] 馮艷紅．圓錐曲線教學策略研究[D]．呼和浩特：內蒙古師范大學，2013：1-7．

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[6] 人民教育出版社課程教材研究所．普通高中課程標準實驗教科書A版·數學（選修2-1）[M]．北京：人民教育出版社，2015：33-80．

[7] 人民教育出版社課程教材研究所．普通高中課程標準實驗教科書A版·數學（選修4-1）[M]．北京：人民教育出版社，2007：43-48．

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Instructional Design for Teaching Concepts in Conic Section in Senior High School

WANG Hai-qing1, CAO Guang-fu2

(1. School of Mathematics & Statistics, Huizhou University, Guangdong Huizhou 516007, China;2. Mathematics and Information Science College, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

As the core content of analytic geometry in senior high school, the conic section plays a very important role in the cultivation of students’ mathematical thinking ability. To understand the different concepts of the conic section, to know the consistency of unity and centrifugal rate, and to master mathematical thinking ideas, teachers need to have an overall understanding and an essential cognition of the historical context and knowledge formation process about the conic curve. Based on the analysis of the historical development of conic section, teaching goals, textbook compilation, and students’ actual situation, this paper tries to reconstruct the concepts of conic section teaching, in the hope of addressing the key problems in teaching.

conic curve; concept teaching; mathematics history; teaching reconstruction

G633.65

A

1004–9894（2022）04–0007–07

王海青，曹廣福．高中圓錐曲線的概念教學重構[J]．數學教育學報，2022，31（4）：7-13．

2022–04–21

廣東省教育科學“十三五”規劃項目——新師范背景下“U-G-S”校地數學教師教育共同體的構建及其運行機制探索（2020GXJK410）；廣東省高等教育教學改革項目——課程思政融入數學學科教育課程的教學探索與實踐（2020年）；廣東省教育研究院教育研究課題——“U-G-S”協同機制下數學教師職前培養與職后培訓一體化建設研究（GDJY-2020-A-s150）；惠州學院—惠州市教育局共建國家教師教育實驗區教師教育研究專項課題——德育視角下數學文化融入中學數學教學的研究與實踐（SYQJSJY2020003）

王海青（1978—），女，廣東河源人，副教授、博士，主要從事數學史與數學教育研究．

[責任編校：陳雋、陳漢君]