基于數(shù)學(xué)建模思想的“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程教學(xué)探索

張紅梅，王文婷，史詩潔

（深圳技術(shù)大學(xué) 大數(shù)據(jù)與互聯(lián)網(wǎng)學(xué)院，廣東 深圳 518118）

引言

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論是現(xiàn)代科技發(fā)展的基石，在高等教育中占有非常重要的地位。在應(yīng)用型大學(xué)中，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是一門重要的數(shù)學(xué)應(yīng)用類課程。應(yīng)用型大學(xué)的辦學(xué)宗旨是培養(yǎng)應(yīng)用型和創(chuàng)新型人才，在應(yīng)用型大學(xué)中開設(shè)高等數(shù)學(xué)類課程，可以使學(xué)生將課堂學(xué)習(xí)的理論知識用于實際應(yīng)用，即對實際問題進行數(shù)學(xué)建模，進而解決問題。這正是數(shù)學(xué)建模的研究內(nèi)容。在高等數(shù)學(xué)中，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是應(yīng)用型極強的一門數(shù)學(xué)課程。但由于課程中涉及大量的“微積分”和“線性代數(shù)”等課程基礎(chǔ)知識，理論性較強，對于工科生來說難度較大，一直以來被認為是工科高等數(shù)學(xué)中最難的一門課程。因此，如何將課程內(nèi)容使學(xué)生容易接受并應(yīng)用于實際，是一個重要的問題。筆者在從事“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的教學(xué)過程中，對課程的教學(xué)方法進行了長期探索，取得了一定的效果。本文以“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程中的部分理論知識為例，總結(jié)在課堂教學(xué)時，如何利用基礎(chǔ)理論知識表示和解釋身邊的實際問題，將數(shù)學(xué)建模的思想融入課程。本文將從以下兩個方面展開：教學(xué)內(nèi)容的趣味性和教學(xué)內(nèi)容的實用性。

一、教學(xué)內(nèi)容的趣味性

興趣是最好的老師。對于數(shù)學(xué)類枯燥的課程，更需要激發(fā)學(xué)生的興趣，以提升教學(xué)效果。在高等教育中，相對于其他數(shù)學(xué)類課程，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”應(yīng)用范圍更廣泛，因此，有更多與我們生活息息相關(guān)的例子可供課堂教學(xué)使用。

（一）舉例知識點：等可能概型

在學(xué)習(xí)等可能概型這部分內(nèi)容時，首先提出兩個學(xué)生感興趣的問題：在茫茫人海中，想遇到與自己同月同日生的人，概率有多大？

趁學(xué)生對這兩個話題產(chǎn)生感興趣時，引入概率理論：等可能概型。給出等可能概型的計算公式：

為解決提出的問題，需要首先引入下面這個簡單的摸球例子。

例1 將n只球隨機地放入（≥）個盒子中，試求每個盒子至多有一只球的概率。

解：記A為每個盒子至多有一只球的事件，則

對上述問題進行引申：個人中至少有兩人生日相同的概率。可視為將個人（球）隨機放入365個日期（盒子）中。為了計算兩人生日相同的概率，可以通過計算其逆事件的概率簡化問題。首先計算n個人的生日各不相同的概率為

則個人中至少有兩人生日相同的概率為

通過計算可知，取=23時，概率為0.5；取=100，可求得概率約為1。這也說明，“百里挑一”這句成語原來是有理論依據(jù)的呀！

（二）舉例知識點：條件概率

在條件概率部分，除了條件概率這個知識點本身，還涉及與條件概率導(dǎo)出的幾個相關(guān)公式：乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式。這幾個公式雖然均可由條件概率公式經(jīng)相應(yīng)的變形導(dǎo)出，但其在外形上相差很大，且都比較復(fù)雜。所以這幾個公式如果直接向?qū)W生灌輸，很難被理解和接受。興趣是最好的老師，如果能通過學(xué)生感興趣的事物引入這部分的理論和應(yīng)用，定會使相應(yīng)的理論容易被接受，并加深印象。所以在學(xué)習(xí)這部分理論時，首先通過一個熟悉的綜藝節(jié)目引出問題。

例2 三門問題。在舞臺中間有三扇門，其中兩扇門后面寫的是“羊”，一扇門后面寫的是“車”。參與者有兩次選擇機會，最終選中的物品將歸其所有。當(dāng)參與者選中一扇門后，主持人打開另外兩扇門中的一扇，結(jié)果是“羊”。問：參與者是否會選擇換門？

解題思路 不妨設(shè)1 號門后面是“車”，2 號和3 號門后面是“羊”。那么只有以下三種情況：（1）參與者選擇了1號門，主持人打開的是2號門；（2）參與者選擇了2號門，主持人打開的是3號門；（3）參與者選擇了3號門，主持人打開的是2號門。

可以發(fā)現(xiàn)，在這個例子中，并未利用深奧的概率知識，只需常識即可得出結(jié)論。但是接下來引入與此例原理類似的問題——三囚犯問題，則需利用以上理論：條件概率公式、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式。

憑直覺，大部分人會選擇答案a，但這個答案是錯誤的。為什么？等這部分理論學(xué)完，答案自然水落石出，這就吸引學(xué)生繼續(xù)聽下去。這部分涉及以下知識點。

【定義1】設(shè)、是兩事件，若()＞0，則

稱為在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率。

將以上公式變形，可得

()=()(|)

上述公式稱為乘法公式。

【定義2】設(shè)試驗的樣本空間為，為的事件，，，…，為的一個劃分，且(B)＞0(i=1，2，…，n)，則

稱為全概率公式。

【定義3】設(shè)試驗的樣本空間為，為的事件，，，...，為的一個劃分，且()＞0，(B)＞0，則

稱為貝葉斯公式。

通過調(diào)用SQLite的C-API函數(shù)，實現(xiàn)了實時動力學(xué)仿真平臺與SQLite模型數(shù)據(jù)庫的連接，并且使用準備查詢的方式，實現(xiàn)平臺對模型數(shù)據(jù)庫信息的讀取和調(diào)用，為實現(xiàn)虛擬環(huán)境下模型的自動裝配和實時動力學(xué)仿真奠定了基礎(chǔ)，為實時動力學(xué)仿真提供了新思路。

依據(jù)以上理論，下面給出三囚犯問題的分析。設(shè)、、分別代表三囚犯被赦免的事件，為看守對說會被處死的事件。

已知()=()=()=1/3，求(|)：在看守說會被處死的條件下，被赦免的概率。這是一個條件概率問題，條件就是看守和說了會被處死這件事。

首先，按條件概率公式，有

其次，按全概率公式，有

其中，(|)：在被赦免的條件下，看守說被處死的概率。由于被赦免，看守可以說，也可以說被處死，因此概率為1/2；(|)：在被赦免的條件下，看守說被處死的概率，這是矛盾事件，因此概率為0；(|)：在被赦免的條件下，看守說B被處死的概率，由于被赦免，而且一定會處死，所以概率為1。

再代回條件概率公式（1），得

同理可得(|)=2/3。

也就是說，在詢問了看守后，被赦免的概率沒有提高，但是被赦免的概率卻提高了！為什么會出現(xiàn)這樣的結(jié)果呢？1/2為什么不對？吸引學(xué)生思考。然后再給出原因和推理。

二、教學(xué)內(nèi)容的實用性

（一）舉例知識點：隨機事件

在講隨機事件知識點時，受新冠肺炎疫情影響，采用網(wǎng)絡(luò)方式授課，所以以當(dāng)時熟知的事件為例，學(xué)生很自然就接受了。

（二）舉例知識點：數(shù)學(xué)期望

在學(xué)習(xí)數(shù)字特征的數(shù)學(xué)期望知識點時，恰逢所在市區(qū)組織全員核檢，工作量巨大。為了提高效率，不再采取一人一試劑盒的單檢方式，而是十人一試劑盒的混檢方式。向?qū)W生提出問題：采用混檢的方式有什么理論依據(jù)？引出下面的例題。

例4 對某群體（個人，很大）做疾病普查，可用兩種方式：（1）將個人的血分別檢測；（2）每個人一組混檢，若混合血樣呈陰性，不做處理；若呈陽性，再對k個人的血樣分別檢測。假設(shè)每人的樣本呈陽性的概率為。試證明當(dāng)較小時，選取適當(dāng)?shù)模吹诙N方法可以大大提高檢測的效率。

解題思路 本題目考查該群體檢測次數(shù)的期望值，即每人平均檢測次數(shù)之和的期望。由已知，各人檢測結(jié)果呈陰性的概率為=1-，則個人混合結(jié)果呈陰性的概率為q，呈陽性的概率為1-q（結(jié)合十人一組的核酸混檢方式，這幾個概率很容易理解）。設(shè)人一組時，組內(nèi)每人檢測的次數(shù)為隨機變量，顯然其分布律為

得的數(shù)學(xué)期望，即每個人需要檢測的平均次數(shù)為

則個人需化驗的平均次數(shù)為

在這個例子中有大量的公式，如果不結(jié)合實際問題，學(xué)生會很排斥。當(dāng)結(jié)合身邊的實際問題進行解釋時，學(xué)生就很自然地接受和理解了。

（三）舉例知識點：假設(shè)檢驗

假設(shè)檢驗是依據(jù)某種準則，利用樣本的信息檢驗關(guān)于總體的假設(shè)是否正確，然后作出決策：接受還是拒絕。在假設(shè)檢驗的過程中，容易犯兩類錯誤：（1）棄真錯誤；（2）取偽錯誤。顯著性假設(shè)檢驗就是為了控制第1類錯誤而進行的假設(shè)和檢驗。只對犯第1類錯誤的概率加以控制而不考慮犯第2類錯誤的概率的檢驗，稱為顯著性檢驗。

在講授這部分內(nèi)容時，為了使學(xué)生理解兩類錯誤和顯著性檢驗，以常見的醫(yī)學(xué)檢測為例進行說明。在常規(guī)的體檢或疾病篩查時，往往需要對患者的生物樣本進行檢測，在檢測過程中可能會產(chǎn)生兩類錯誤：（1）假陰性；（2）假陽性。對于這兩類錯誤，控制假陰率的重要性遠遠高于控制假陽率，所以我們將重點放在控制第1類錯誤上，做顯著性假設(shè)檢驗。

三、結(jié)論

本文以“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程中的部分知識點為例，闡述了從學(xué)生的興趣點和實際應(yīng)用兩個角度切入課堂教學(xué)的實施路徑，將數(shù)學(xué)建模的思想融入課堂教學(xué)中。經(jīng)過兩個學(xué)期的實際教學(xué)試驗，結(jié)果證明文中方法的效果比較顯著。