高等數學思維在氣體動力學教學中應用策略探討

向 鑫，吳逸飛，徐義華

（南昌航空大學 飛行器工程學院，江西 南昌 330063）

引言

高等數學具有很強的抽象思維特征，可以鍛煉學生的思維邏輯能力；同時，高數又是很多專業的基礎課程，工程應用背景非常強。隨著中國高等教育重要理論的發展，高等數學已不僅是理工類專業的理論基礎課程，而且已經被列入部分文科專業的教學計劃。然而，與學生熟悉的中等數學相比，高等數學課程跨度大，思維抽象，符號體系復雜。相關專業教師發現，越來越多的學生存在基礎不牢固、概念理解不深刻、學習困難等問題，這也導致學生對數學思維的理解不足，遠遠達不到后續專業課程的運用要求。學生也普遍反映高數學習難度大，導致逐漸沒有學習興趣。

數學在眾多的社會生產和生活領域都有不同程度的應用，是推動社會發展進步的重要知識基礎。數學思維是用數學思考問題和解決問題的思維活動形式。高等數學課程所具有的抽象性、邏輯性以及寬泛性，使其在培養學生抽象邏輯思維能力、創新能力、創造精神等方面有著重要作用。

“氣體動力學基礎”是飛行器動力工程專業學生的專業核心課程，是專業課程與基礎課程之間承上啟下的紐帶，也是后續多門專業課的前置基礎課。該課程的教學效果將直接影響后續理論教學和實踐教學。氣體動力學基礎理論性很強，理論推導煩瑣，對學生的數學思維有很高的要求。在教學實踐中，學生經常有理解不了數學表述、看不懂符號、聽不懂推導等情況。從學生專業課程的學習情況來看，高等數學與專業基礎課程之間的紐帶關聯有所不足，很多專業學者對高等數學課程的教學方法、體系安排等都進行了改革和探究。然而，不同專業涉及的數理方程不盡相同，工程問題的抽象思維方法也不相同。為提高學生課程學習效果，使學生理解數學思維的應用，為后續專業課程打下思維基礎，本文對高數思維在該課程教學中的應用進行探討，分析課程數學理論需求與高等數學教學之間存在的問題，從專業學習角度提出新的課程教學改進策略。

一、氣體動力學數學思維特點

“氣體動力學基礎”是飛行器動力工程專業學生大二學習的重要專業核心課程，也是從事航空航天飛行器動力設計、分析和應用等不可缺少的理論基礎，在培養學生創造性思維、綜合設計能力、動力工程實踐能力以及解決實際問題能力等方面占有重要地位。課程主要研究對象為無形的流體（空氣），抽象模型理解困難，數學思維要求高，方程復雜。本文以課程最基本的知識點為例，分析該課程數學思維特點。

流體微團運動分析是課程最重要的理論之一，其理論基礎來源于抽象思想。在運動的流體中取一流體微元體（見圖1），設其中心點M在某一時刻速度為V，流體微元鄰近一點M1的速度可以用M點的速度以泰勒級數展開來求解。然而，流場中質點的速度是矢量，在進行泰勒展開時將產生其他方向的偏導函數，使得方程形式十分復雜。另外，為了便于計算，還須對方程進行湊項處理（也是偏導函數），造成方程形式更為復雜。對變形后的偏微分方程各項再進行分類合并，才能分別給出物理解釋。這里包含了由抽象物理概念轉換為復雜數學形式，再返回物理意義的過程，對數學思維有著極高的要求。

圖1 流體微團運動分析

上述內容對于剛學完高等數學的學生來說，理解起來是十分吃力的。與學生交流發現，僅這一段內容，學生在數學知識層面就存在以下問題：（1）偏微分概念不清晰。泰勒展開、略去二階小量等，在高數中學習過，但是展后的表達不認識。對于偏微分不了解，不理解各方向速度其他坐標求偏導數的物理意義。（2）沒見過方程組的矢量形式。（3）不理解運算符號，沒見過叉乘運算，不清晰叉乘意義。（4）不理解運算目的，如為什么這樣進行方程湊項，方程明明更復雜了。（5）學生有畏懼情緒，不理解的不懂的太多，高數已經十分難了，面對如此公式推導，學生更加畏懼。分析學生對課程的理解和反饋，結合授課理論知識，可以總結專業課程中高等數學的運用存在以下特點。

1.數學思維要求高。相比于高數，在專業課程中，數學應用更側重于數學思維。高等數學是對自然問題更高級的認知工具，通過對物理問題進行抽象，采用微分/積分方程描述，并運用數學技巧將其變為另一種更容易理解的形式。學生在學習高等數學時，通常傾向于學會運算符號、預算方程（式），并得到某個最終的結果，側重于運算及其技巧。

2.數學知識范疇廣。專業課程中的理論推導嚴謹，數學語言和思想范疇廣。僅以上例來說，所用數學知識雖然都屬于高等數學范疇，但要完全理解其中推導的方法、目的，還須有如矩陣論、數理方程、高等工程應用數學等課程的部分內容作為輔助。其運算方法、數學思想都不是一門高等數學課程就可涵蓋的。

3.運算符號體系復雜。思維模型的數學模式是復雜微分方程組，各種變量的相互關系令人眼花繚亂。方程的每一項看似相同，細看又不同，代表著不同的物理含義，從數學表達上就讓學生有畏懼感，仔細辨認仍難以厘清，會有挫敗感。

4.方程求解困難。專業課程中推導得到的數理方程形式復雜，內涵深刻，難以求解。學生從中學時代到大一數學基礎課程，面對的問題通常都是結果明確、方程清晰、可計算的。在面對復雜的專業問題時，學生先入為主地陷入“求解、計算”的思路，而不是去理解內涵；當發現方程根本無從下手、沒法計算時，將產生畏懼情緒，更不利于課程教授。

二、氣體動力學與高數銜接存在的不足

由上面總結對比當前學生在高數中的學習收獲可以看到，兩門課程在數學方面的銜接是存在不足的，主要表現在以下方面。

（一）問題抽象描述上的短缺

對自然界問題運用方程描述是人們認識自然的重要方法，然而如何將一個問題抽象為數學問題的思想過程至關重要。但實際上，絕大多數問題的微積分方程是不能直接求解的，依靠多種假設和邊界條件，才有可能化簡為能夠求解的代數方程，而更多情況只能通過計算機求解。如氣體動力學中的NS（Navier-Stokes）方程僅在特殊邊界條件下才有解析解，絕大多數情況只能依靠計算機求解。所以，在專業課程中更重要的是對問題的抽象描述，之后通過對問題的認知尋找求解方法。但學生在學習高等數學這門課程時對這一點的認知有欠缺。一方面，盡管高等數學所學習的多種微積分方程都來源于自然問題（工程實際），然而解釋問題的來龍去脈屬于數理方程的范圍；另一方面，自然界問題的方程描述能夠求解的實際上少之又少，但學生習題、考試試題都是能夠求解的，能夠通過運算變為簡單的形式。獲得運算的結果之后，學生并不理解它所代表的物理含義，也找不到具體事例與之對應，更不清楚這一運算的目的。簡言之，學生把專業課上的方程只看作方程，而不能理解為一種抽象的描述。

（二）“特殊”到“普適”思維的短缺

人類認知世界都是由“特殊”到“普適”的，如牛頓從“蘋果落地”這一“特殊”現象，經過思考和研究，提出了“普適”的萬有引力定律。學生在學習高數時，面對的都是具體的“特殊”問題，對“特殊”問題進行認知、運算、求解，是“特殊方程”到“特殊結果”的運算過程。學習時，以掌握具體算例和數學技巧、解決習題（試題）問題為目標，忽略了數學的普適性。此外，數學的發展并不是針對具體物理問題（專業問題），而是當物理問題求解遇到困難時，從數學中尋找解決工具。這意味著高數課本身就是為學生提供豐富數學思想和數學工具的，學生在后續的專業課程學習中遇到問題時，應回頭思考和尋找正確的數學工具。一個具體物理問題的解決需經過“普適物理問題”—“普適數學表達”—“特殊數學方程”—“特定數學技巧”這一過程（學生學習數學時更多只關注了后面兩步）。

此外，專業課程知識都是從具體的“普適”問題出發，經過抽象的模化思考，將問題轉變為便于理解的方程，是“普適”物理模型到“普適”數學方程的過程。這一過程中，數學思想很重要，而學生熟悉的解題技巧并不重要，這就是學生思維上的短缺。專業問題只有在具體問題中，約定好邊界條件之后（如書本上例題給出各種已知條件之后），方程的“普適”形式才變為“特殊”形式，進行后續的求解。學生雖然掌握了高等數學的運算，但是思維上沒有這樣的轉變，局限了自己的思想，導致講授理論時聽不懂、理解不了，以至于部分學生在遇到具體問題時不會理論思考，只會生搬硬套公式，學習效果不佳。

（三）數學語言符號的短缺

全面地理解專業課程中涉及的數學語言和符號體系需要更多高深的數學課程來彌補，如偏微分方程、復變函數、數理方程等。對于氣體動力學基礎這門課程，作為專業的核心基礎課，必須在學生跨入專業課學習前學完，而上述更高級的數學課程多在本科高年級甚至研究生階段才會涉及。這會導致學生在學習該課程時出現不認識數學語言符號的情況。這種數學語言的陌生感會影響學生的學習狀態，讓他們產生一種恐懼感。個別學生甚至有改一個符號、變換一個字母就不會解答和不知該如何分析的情況。事實上，陌生的數學符號不應影響學生對問題的理解，符號只是表明了一種運算法則。可以說，對于一門專業課理論分析來說，符號代表的運算意義是小于其背后物理含義的（盡管數學語言符號體系對于一個學科十分重要）。但是學生在數學思維中并沒有很好地理解這一點，往往把符號看得比物理意義還重要，把方程的“運算”看得比對問題的剖析更重要。極端情況甚至會有學生認為會進行運算了，能把例題問題算出結果了，就表明自己對某一問題的理論理解透徹了，實則恰好本末倒置。

三、解決策略探索

高數學習的是一種思想方法，學習數學的過程就是思維訓練的過程。高數本身就具備高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性。有了高度抽象和統一，我們才能深入地揭示其本質規律，使之得到更廣泛的應用。因此，高數是與應用科學結合最為緊密的課程，理應承擔起鍛煉學生數學思維、指導學生數學應用的作用。但是高等數學作為一門基礎課程，面對諸多專業學生，很難奢求一門課程就解決學生專業課上遇到的各種數學問題。因此，在氣體動力學基礎課程的教學中，應該根據高數課程與專業課程中的短缺，改進教學內容（見圖2）。

圖2 高數思維在氣體動力學基礎中的應用

（一）跨院系溝通，針對性教學

加強專業學院與數學教學學院的溝通，針對不同專業課程特點，建立教學聯系。一直以來，高數因其高度抽象特點，讓學生學習時就感覺比較困難，上課提不起興趣。高等數學的教師上課時也苦于數學理論過多，實際案例太少，難以調動課堂氣氛。實際上，很多專業課程中的理論推導，都依賴于高等數學知識體系。通過跨院系溝通，專業課教師可挑選重要的、有意思的實際問題，總結其中重要的數學思想和主要高數課程方法，為高數教師提供實用案例。如此解決，一方面，高數教師在講解高數知識點時，遇到相近的方程、推導，可以借用專業課的實際問題來輔助講解，學生結合專業工程實例，更容易理解高數方法背后的思維；另一方面，當學生進入專業課程學習時，面對工程問題抽象出來的方程不再陌生，提前了解這個方程的“來龍”，此時教師再做適當引導，講解方程推導的目的，補上方程的“去脈”，可以有效降低學生學習理論的難度。

（二）強調思維過程，弱化方程形式

專業課程教學中不可避免會有大段的理論推導，而過于復雜的方程形式會干擾學生的理解。在講授氣體動力學基礎課程時，應強調思維過程，注重對方程的理解，弱化方程形式。將數學作為一個剖析問題、探尋規律的工具，讓學生不拘泥于數學表達，不受困于符號運算，教會學生看待問題要用“普適”的視角，讓學士理解復雜方程是對問題的描述，越“普適”的問題方程可能越復雜，越“特殊”的問題方程才能越簡單。

（三）面向專業定制高數例題

許多工程問題在一定的假設和邊界條件下可以不斷化簡為學生熟悉的高數問題。然而現有的課程內容中，大多數例題針對的是工程的實際應用，并沒有面向高數學習過程去構思特定的例題、習題。在學生視角中，只有完全陌生的方程形式，找不到高數與工程問題的內在聯系。如果在專業課程的講解或者習題中有意安排特殊問題，使得學生最后能夠找到高數曾經做過、考過的熟悉的方程形式、運算技巧等，則對學生理解問題、解決問題有更大的幫助，也會增強學生課程學習的自信。

（四）補充專業數學知識

學生的數學知識并不完備，一定要在專業課上進行適當的補充。從學生的課程體系來說，學生不能等所有數學知識均完備后再來學習專業核心課；從氣體動力學課程本身來說，其所需數學知識不僅來源于高等數學，甚至會有來源于數理方程、工程應用數學等更高級的數學課程。然而，專業課上對于問題的思考、數學思維的要求，絕大部分仍來源于高等數學。因此，對于具體的專業課，可針對課程本身將遇到的數學問題開設一次“專業數學”課程，減弱學生數學知識短缺帶來的不適感和畏懼感（如本課程就在流體微團分析前，專設一次數學知識課）。更進一步的，在專業培養方案上開設低年級的“專業數學課”，系統性地補充本專業所需具備的數學思想和常用數學工具，以彌補數學思維短缺，完善專業培養體系。

（五）網絡助力數學知識獲取

網絡是一個獲取知識（信息）的重要渠道，應加以充分的利用和挖掘。事實上，數學思維的學習和鍛煉貫穿高等教育過程，不僅僅是幾門課程就能完善的。依托恰當的信息技術，在課程上教師向學生演示、宣傳提供優質的在線資源（如小視頻、微課等），以拓展學生課后學習環境，打開網絡學習窗口。學生利用這些網絡窗口，可接觸更多的生活中、工程上的經典案例，讓自身的數學思維逐漸成長，面對復雜工程問題時更加游刃有余。

結語

高等數學是飛行器動力工程專業的基礎課程，對學生的專業知識學習和數學思維鍛煉有重要作用。本文結合專業課“氣體動力學基礎”的教學實際，分析了高等數學與專業課程之間存在的不足，其核心是學生數學思維的訓練不足，進而針對性地提出“氣體動力學基礎”課程的教學改進思路。通過針對性教學溝通、強調數學思維、面向高數定制例題、補充數學知識等方法，以及充分利用網絡資源等，可有效彌補上述短缺，降低專業課程中的數學難度，提高教學效果。