基于分?jǐn)?shù)階黏彈性模型的混凝土阻尼頻率相關(guān)性研究

梅生啟, 李韶華, 李鵬飛, 徐浩然, 張?jiān)?/p>

(1.省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學(xué) 土木工程學(xué)院，石家莊 050043；3.橋梁結(jié)構(gòu)安全技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，北京 100088)

阻尼作為反映系統(tǒng)耗能特征的重要參數(shù)之一，對(duì)控制系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)及隨機(jī)激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)幅值，保證動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性有重要作用[1]。實(shí)際結(jié)構(gòu)分析時(shí)，阻尼取值的不同，會(huì)造成分析結(jié)果間明顯的差異[2]。2020年5月，我國(guó)懸索橋虎門大橋橋面發(fā)生明顯振動(dòng)，經(jīng)專家組判斷由于阻尼原因?qū)е聵蛄赫駝?dòng)的平息時(shí)間較長(zhǎng)[3]。目前我國(guó)[4-5]、歐洲[6]及美國(guó)[7]等國(guó)家和地區(qū)的規(guī)范中，建議一般情況下混凝土結(jié)構(gòu)阻尼比取值為5%。但Newmark等[8]對(duì)大量的試驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)分析后發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)在不同外部作用下的阻尼值并不相同。由于結(jié)構(gòu)形式的多樣性和內(nèi)外影響因素的復(fù)雜性，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)阻尼發(fā)生改變，其準(zhǔn)確取值仍是一個(gè)難題。

劉鐵軍等[9-10]通過試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，在混凝土結(jié)構(gòu)彈性階段及破壞前期，混凝土材料阻尼是結(jié)構(gòu)阻尼的主要來源。Chung[11]認(rèn)為材料的阻尼性能不僅依賴于材料自身，還依賴于外部荷載頻率，正如黏彈性響應(yīng)依賴于荷載頻率一樣。Kimball等[12]對(duì)多達(dá)18種固體材料(包括木材、金屬等)進(jìn)行測(cè)試發(fā)現(xiàn)，彈性范圍內(nèi)這些固體材料的內(nèi)耗并不服從黏滯定律，而與應(yīng)變幅值相關(guān)。基于經(jīng)典黏滯理論計(jì)算的體系每周振動(dòng)能量損失依賴于激勵(lì)(或反應(yīng))頻率，被認(rèn)為與試驗(yàn)結(jié)果不符[13]。Chopra[14]在金屬結(jié)構(gòu)的試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)循環(huán)變形過程中內(nèi)部耗散能量基本上與循環(huán)頻率無關(guān)。但對(duì)于混凝土材料，Zhang等[15]對(duì)聚合物改性水泥漿體的阻尼性能進(jìn)行測(cè)試發(fā)現(xiàn)，其阻尼性能不僅與溫度相關(guān)，還與頻率相關(guān)。梁超鋒等[16]通過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在0.5～1.0 Hz內(nèi)，不同類型纖維混凝土的損耗因子隨頻率降低較快，在1.0～2.0 Hz內(nèi)漸趨平緩，基于經(jīng)典整數(shù)階黏彈性模型可以分析單一頻率時(shí)的損耗因子。Mei等[17]通過對(duì)C50普通混凝土進(jìn)行軸壓滯回測(cè)試發(fā)現(xiàn)，損耗因子隨滯回頻率提高呈非線性降低趨勢(shì)，但采用經(jīng)典整數(shù)階黏彈性模型只能對(duì)單一頻率滯回曲線進(jìn)行分析，無法反映整體的耗能頻率相關(guān)性。

如果將經(jīng)典黏彈性模型中的彈性元件應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表示為：σ(t)=Ed0ε(t)/dt0，黏性元件的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表示為：σ(t)=μd1ε(t)/dt1。那么介于純彈性體和純黏性體之間的黏彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可采用一種分?jǐn)?shù)階微積分σ(t)～dαε(t)/dtα(0≤α≤1)進(jìn)行表征。由于在整數(shù)階經(jīng)典黏彈性模型中, 單個(gè)黏性元件只描述單一滯后機(jī)理，Schiessel等[18]通過頻域內(nèi)的運(yùn)算證明, 分?jǐn)?shù)階黏性元件的力學(xué)模型可看成是由一系列彈簧和黏性元件組成的樹狀分形網(wǎng)絡(luò)模型，如圖1所示，可以更好反映整個(gè)受力范圍內(nèi)的材料黏彈性。Bagley等[19]采用三參數(shù)分?jǐn)?shù)階模型擬合了黏彈性材料特性，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階模型能夠在非常寬的頻率范圍內(nèi)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合良好。Jia等[20]采用分?jǐn)?shù)階模型進(jìn)行阻尼器滯回性能的研究分析。

為進(jìn)一步分析外部荷載頻率對(duì)混凝土材料阻尼的影響，本文分別采用經(jīng)典黏彈性模型和修正分?jǐn)?shù)階黏彈性進(jìn)行計(jì)算分析。首先采用整數(shù)階Kelvin模型對(duì)普通混凝土和再生混凝土的阻尼頻率相關(guān)性進(jìn)行分析。結(jié)合測(cè)試數(shù)據(jù)規(guī)律提出分?jǐn)?shù)階Kelvin模型和修正分?jǐn)?shù)階模型，校準(zhǔn)分?jǐn)?shù)階黏彈性模型的描述效果。然后收集了國(guó)內(nèi)外152組測(cè)試數(shù)據(jù)，分析了不同條件下的混凝土阻尼頻率相關(guān)性規(guī)律，并分別采用經(jīng)典黏彈性模型和分?jǐn)?shù)階模型進(jìn)行計(jì)算分析，驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階模型對(duì)混凝土材料動(dòng)態(tài)耗能性能的計(jì)算分析效果。

(a)

1 基于整數(shù)階黏彈性模型的混凝土耗能頻率相關(guān)性分析

作者于2017年開展了一批C50混凝土軸壓滯回試驗(yàn)。試件尺寸為100 mm×100 mm×300 mm棱柱體，滯回荷載加載頻率分別為0.2 Hz,0.5 Hz,1 Hz,2 Hz,3 Hz。具體加載工況如表1所示，其中平均力為滯回過程中的平均荷載，加載幅值為滯回過程達(dá)到的最大荷載。

表1 C50混凝土試塊加載工況

基于滯回試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果，可以對(duì)表征混凝土阻尼性能的損耗因子進(jìn)行計(jì)算。基于試驗(yàn)滯回環(huán)曲線計(jì)算損耗因子與頻率的關(guān)系如圖2所示。

圖2 滯回加載頻率與損耗因子的關(guān)系

從圖2中可以看出，隨著頻率的增加，混凝土阻尼呈非線性降低。導(dǎo)致這一現(xiàn)象的原因可能是由于混凝土中骨架體系隨荷載近似彈性變形實(shí)時(shí)，而黏性變形為材料黏彈性導(dǎo)致的滯后變形，如反映在時(shí)間維度上即應(yīng)力應(yīng)變曲線存在相位差。為進(jìn)一步計(jì)算混凝土的耗能頻率相關(guān)性，采用黏彈性模型進(jìn)行分析。梁超峰等、歐進(jìn)萍等[21]、蘇力[22]先后采用經(jīng)典整數(shù)階Kelvin模型進(jìn)行計(jì)算分析，發(fā)現(xiàn)可以良好模擬混凝土在單一荷載條件下的軸壓滯回曲線。

經(jīng)典整數(shù)階Kelvin模型由彈性元件和黏性元件并聯(lián)組成，如圖3所示。

圖3 經(jīng)典整數(shù)階Kelvin模型

該模型的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可寫為

(1)

式中:涉及到的材料參數(shù)有彈性模量E和材料的黏滯系數(shù)μ兩項(xiàng);σ(t)為應(yīng)力;ε(t)為應(yīng)變。

對(duì)式(1)進(jìn)行Fourier變換，可得到

σ(ω)=(E+μωi)ε(ω)=(E′+iE″)ε(ω)

(2)

式中:E′=E為存儲(chǔ)模量；E″=μω為耗散模量。

由式(2)，可得經(jīng)典整數(shù)階Kelvin模型的損耗因子頻率相關(guān)性表達(dá)式為

(3)

目前的經(jīng)典整數(shù)階黏彈性模型主要是基于單一荷載工況下的每周滯回耗能面積和損耗因子進(jìn)行模型參數(shù)識(shí)別，利用經(jīng)典整數(shù)階模型進(jìn)行了混凝土耗能頻率相關(guān)分析尚較少見到。

2 基于分?jǐn)?shù)階微積分的黏彈性模型修正

何明明等[23]、趙永玲等[24]、朱俊濤等[25]先后采用分?jǐn)?shù)階黏彈性模型對(duì)巖石、瀝青等材料的動(dòng)態(tài)黏彈性行為進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)采用分?jǐn)?shù)階黏彈性模型可以實(shí)現(xiàn)更少的參數(shù)來反映不同材料在動(dòng)態(tài)荷載下的耗能行為。

如將彈性元件的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表示為

(4)

黏性元件的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表示為

(5)

那么介于純彈性體和純黏性體之間的黏彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可采用一種分?jǐn)?shù)階微積分進(jìn)行表征,

(6)

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的具體表達(dá)式如式(7)所示。

(7)

將經(jīng)典整數(shù)階Kelvin模型中的黏性元件替換為分?jǐn)?shù)階元件，即可形成分?jǐn)?shù)階Kelvin模型，如圖4所示。

圖4 分?jǐn)?shù)階Kelvin模型示意圖

則分?jǐn)?shù)階Kelvin模型的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為

σ(t)=Eε(t)+μDαε(t)

(8)

式中，a為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，當(dāng)a=0時(shí)模型退化為純彈性元件，當(dāng)a=1時(shí)模型退化為經(jīng)典Kelvin模型。

對(duì)分?jǐn)?shù)階Kelvin模型進(jìn)行Fourier變換，并引入iα=cos(απ/2)+i·sin(απ/2)，得到分?jǐn)?shù)階Kelvin模型損耗因子為

(9)

由式(9)可知，由分?jǐn)?shù)階Kelvin模型計(jì)算出的損耗因子與頻率和導(dǎo)數(shù)階數(shù)呈非線性正相關(guān)。以E=3.42×104MPa，μ=117 MPa·s為例進(jìn)行分析。保持E和μ不變，改變分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，得到的損耗因子結(jié)果如圖5所示。

圖5 分?jǐn)?shù)階Kelvin模型的損耗因子參數(shù)分析

可以看出，當(dāng)a趨近于1時(shí)，分?jǐn)?shù)階模型逐漸退化為經(jīng)典整數(shù)階模型。可以通過導(dǎo)數(shù)階數(shù)的改變，更好模擬不同黏彈性的材料動(dòng)態(tài)性能。但由于分?jǐn)?shù)階Kelvin模型計(jì)算的耗能與頻率呈非線性正相關(guān)性，與測(cè)試數(shù)據(jù)規(guī)律不完全相符，因此還需尋找一類耗能頻率非正相關(guān)模型進(jìn)行計(jì)算分析。

根據(jù)測(cè)試結(jié)果，無論是正弦波還是方波軸向滯回加載，得到的損耗因子隨著滯回頻率的提高呈非線性降低趨勢(shì)。而Kelvin模型中的彈性元件與黏性元件并聯(lián)，意味著彈性和黏性變形的大小相同。而研究人員通過納米壓痕等微觀試驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)，混凝土黏彈性能主要是由于內(nèi)部水和凝膠體組成的。在滯回變形過程中，骨料及硬化漿體形成的混凝土骨架體系近似彈性變形，而水和凝膠體等會(huì)出現(xiàn)滯后黏性變形。考慮分?jǐn)?shù)階黏性元件的導(dǎo)數(shù)階數(shù)可變性，提出修正分?jǐn)?shù)階黏彈性模型為兩個(gè)分?jǐn)?shù)階黏性元件并聯(lián)，分別用來表示滯回過程中的彈性變形和黏性變形。模型示意圖如下所示，其中兩個(gè)黏性元件根據(jù)不同加卸載階段可以分別變化為彈性元件、整數(shù)階黏性元件和分?jǐn)?shù)階黏性元件。

圖6 修正分?jǐn)?shù)階模型示意圖

對(duì)應(yīng)模型應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為

(10)

式中,a1μ1，a2μ2分別為對(duì)應(yīng)材料參數(shù)。

因?yàn)榛炷琉椥栽趶椥噪A段的表現(xiàn)更為明顯，因此模型可變化為彈性元件與分?jǐn)?shù)階黏性元件串聯(lián)，對(duì)應(yīng)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系對(duì)應(yīng)為

(11)

對(duì)修正分?jǐn)?shù)階模型進(jìn)行Fourier變換，可得到其存儲(chǔ)模量、耗散模量和損耗因子的表達(dá)式分別為

存儲(chǔ)模量

(12)

耗散模量

(13)

損耗因子

(14)

以E=3.42×104MPa，μ=117 MPa·s為例，保持E和μ不變，進(jìn)行分?jǐn)?shù)階模型的耗能頻率相關(guān)性分析結(jié)果，如圖7所示。

圖7 分?jǐn)?shù)階Maxwell模型的損耗因子頻率相關(guān)性參數(shù)分析

可以發(fā)現(xiàn)，隨著頻率的增加，該分?jǐn)?shù)階模型的損耗因子呈非線性減小趨勢(shì)，且隨著導(dǎo)數(shù)階數(shù)的減小，其減小幅度也逐漸趨于平緩。通過改變導(dǎo)數(shù)階數(shù)，采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)形式的黏彈性模型可以更好模擬混凝土等材料黏彈性材料耗能隨頻率的增大而減小的行為。

基于本文提出的黏彈性模型損耗因子-頻率相關(guān)性公式，分別采用Kelvin模型、分?jǐn)?shù)階Kelvin模型和分?jǐn)?shù)階修正模型對(duì)單一混凝土的耗能頻率相關(guān)性試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行計(jì)算。考慮到參數(shù)擬合的方便性，在計(jì)算表達(dá)式中引入?yún)?shù)τ=μ/E。得到的結(jié)果如圖8所示，各模型的參數(shù)見表2。

圖8 黏彈性模型的混凝土耗能-頻率相關(guān)性擬合結(jié)果

表2 黏性模型擬合參數(shù)

由圖8可以看出，分?jǐn)?shù)階模型的計(jì)算分析效果明顯優(yōu)于經(jīng)典黏彈性模型，尤其是分?jǐn)?shù)階修正模型的預(yù)測(cè)效果最好，最大誤差僅為6%。上述結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階黏彈性能夠良好分析混凝土材料的整體耗能-頻率相關(guān)性規(guī)律，為分?jǐn)?shù)階黏彈性模型在混凝土動(dòng)態(tài)黏彈性能描述中的應(yīng)用提供了數(shù)據(jù)支持。

3 基于分?jǐn)?shù)階黏彈性模型的耗能頻率相關(guān)性多樣本數(shù)據(jù)分析

3.1 文獻(xiàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

為更好分析荷載頻率對(duì)混凝土耗能的影響，本文進(jìn)一步收集了國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)中采用強(qiáng)迫振動(dòng)方法測(cè)試混凝土材料阻尼的152組阻尼測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。試驗(yàn)基本信息如表3所示，得到的測(cè)試結(jié)果如圖9所示。

從圖9中可以清晰看出，在0～3 Hz滯回荷載頻率內(nèi)，不同文獻(xiàn)耗能能力均隨著頻率的增大呈現(xiàn)非線性降低趨勢(shì)。而不同文獻(xiàn)中的耗能能力測(cè)試結(jié)果存在一定差別，其原因可能是不同試驗(yàn)的荷載幅值存在差異，導(dǎo)致相同頻率下的測(cè)試結(jié)果差異較大。同時(shí)，不同試驗(yàn)中所采用原材料并非完全是普通混凝土，還會(huì)有一定量摻合料對(duì)混凝土動(dòng)態(tài)性能產(chǎn)生影響。外部荷載對(duì)混凝土材料的阻尼性能有明顯的影響，但由于強(qiáng)迫振動(dòng)測(cè)試方法的復(fù)雜性和試驗(yàn)設(shè)備的限制，相關(guān)的數(shù)據(jù)相對(duì)還較少。

表3 文獻(xiàn)中的測(cè)試條件和試件信息

(a) 普通形式

(b) 對(duì)數(shù)形式

圖9中所統(tǒng)計(jì)混凝土材料損耗因子統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)均小于目前建筑、橋梁等規(guī)范中規(guī)定的結(jié)構(gòu)阻尼比數(shù)值，其原因可能是一方面工程結(jié)構(gòu)服役期間的耗能構(gòu)成中不僅包括材料阻尼，還可能包括大變形下的構(gòu)件連接處摩擦阻尼、周圍介質(zhì)阻尼基于在地基中的輻射阻尼等[29]。目前已有研究表明結(jié)構(gòu)阻尼會(huì)隨著振幅的改變發(fā)生改變，如在風(fēng)振下的高層建筑瞬時(shí)響應(yīng)幅值的增大伴隨著結(jié)構(gòu)阻尼明顯的改變[30]。但針對(duì)軌道交通、道路交通中快速動(dòng)荷載對(duì)振動(dòng)響應(yīng)及阻尼的影響，目前的研究關(guān)注仍較少。目前研究表明，在彈性階段和破壞初期，混凝土是阻尼的主要來源之一，通過材料層次的測(cè)試結(jié)果對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析結(jié)果進(jìn)行修正或分析，將會(huì)提高測(cè)試的簡(jiǎn)便性，為混凝土結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的精細(xì)化研究提供一種新的可能性。

3.2 基于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分?jǐn)?shù)階黏彈性模型驗(yàn)證

考慮統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中材料阻尼試驗(yàn)為彈性階段，為進(jìn)一步驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階黏彈性模型計(jì)算分析的效果，分別采用Kelvin模型、分?jǐn)?shù)階Kelvin和修正分?jǐn)?shù)階模型對(duì)3.1節(jié)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來計(jì)算分析。首先采用3種模型對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)一計(jì)算，得到的結(jié)果如圖10所示，各模型的參數(shù)如表4所示。

圖10 基于黏彈性模型的損耗因子-頻率相關(guān)性分析

表4 基于收集數(shù)據(jù)的黏彈性模型參數(shù)確定

從圖10中可以看出，分?jǐn)?shù)階模型的預(yù)測(cè)效果均較經(jīng)典黏彈性模型好。由于所統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的離散性和條件的多樣性，單一參數(shù)模型均無法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行準(zhǔn)確描述。

分別采用3種模型對(duì)文獻(xiàn)分別進(jìn)行計(jì)算分析，得到的結(jié)果如圖11所示，模型參數(shù)如表5所示。

(c) 數(shù)據(jù)來源-文獻(xiàn)3

從圖11可以看出，經(jīng)典整數(shù)階Kelvin模型對(duì)混凝土阻尼-頻率相關(guān)性的描述與試驗(yàn)現(xiàn)象規(guī)律不一致，分?jǐn)?shù)階微積分的引入有效改善了計(jì)算分析效果。來自不同文獻(xiàn)數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果顯示，分?jǐn)?shù)階Kelvin模型的擬效果和規(guī)律與試驗(yàn)現(xiàn)象接近，尤其是修正分?jǐn)?shù)階模型，能夠更好反映阻尼隨頻率增加的降低趨勢(shì)。

為進(jìn)一步分析模型計(jì)算誤差分析，將計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，如圖12所示。從圖12可以看出，修正分?jǐn)?shù)階模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差范圍主要在-50%～50%；由于Kelvin計(jì)算出的耗能隨頻率增加而增大，在頻率較大時(shí)明顯高估了材料的耗能性能，最大誤差超過150%。

4 結(jié) 論

本文基于試驗(yàn)結(jié)果和國(guó)內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)數(shù)據(jù)，從耗能頻率相關(guān)性角度分析了經(jīng)典黏彈性模型和分?jǐn)?shù)階黏彈性模型在混凝土材料動(dòng)態(tài)黏彈性能計(jì)算分析的適用性。結(jié)果表明，采用分?jǐn)?shù)階黏彈性模型進(jìn)行混凝土材料的動(dòng)態(tài)分析的效果更好。

在耗能-頻率相關(guān)性方面，與收集的152組試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比分析結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階模型的效果相對(duì)較好。與普通混凝土單一試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比分析表明，修正分?jǐn)?shù)階模型對(duì)混凝土耗能頻率相關(guān)性的計(jì)算效果最好，與試驗(yàn)數(shù)據(jù)間的誤差在50%以內(nèi)。

表5 基于單一文獻(xiàn)數(shù)據(jù)的黏彈性模型參數(shù)確定

(a) 計(jì)算結(jié)果對(duì)比

(b) 模型誤差分析