超彈塑性泡沫連續沖擊動力學行為分析的新方法

盧富德， 任夢成， 高 德， 奚德昌

(1.湖南工業大學 包裝與材料工程學院，湖南 株洲 412007；2.浙江大學 航空航天學院，杭州 310027)

塑料泡沫由于其良好的緩沖性能、質輕、價廉等特點，常用于緩沖包裝中。利用最大加速度-靜應力曲線表征緩沖材料的緩沖特性是最基本且最常用的方法，在一系列緩沖材料厚度與跌落高度條件下，直接利用最大加速度與靜應力曲線便可以計算出緩沖材料的面積與厚度兩個尺寸參數[1]。通過最大加速度-靜應力曲線得到的結構比較簡單，對于復雜結構，一般通過試驗手段得到緩沖材料應力-應變曲線[2-6]，然后利用一些特殊的數學函數對準靜態應力-應變關系建立單軸本構模型[7-9]。在此基礎上考慮應變率、密度等參數的作用，建立一個適用范圍較廣的本構模型，但是這些本構模型很少有考慮泡沫材料在卸載階段的力學響應，因此也就不能適用于泡沫在受到加載-卸載-再加載-再卸載循環載荷時的情形下的力學性能預測。

文獻[10]利用ABAQUS工具內置的彈塑性可壓縮泡沫本構模型材料模型，分析了高密度聚乙烯泡沫加載-卸載力學行為；材料模型中利用線彈性卸載力學行為，但沒有考慮卸載階段的非線性行為。文獻[11]利用ABAQUS工具的HYPERFOAM材料模型，并結合MULLINS模型，分析了EPP泡沫加載-卸載力學行為，此模型考慮了非線性卸載力學行為，并預測了泡沫超彈力學性能，但它沒有預測實際所發生的殘余應變。文獻[12]介紹了LS-DYNA工具中MAT_LOW_DENSITY_FOAM(MAT57)模型， MAT57中的滯回卸載因子HU與形狀因子SHAPE等效于ABAQUS中的MULLINS模型，MAT57可以表征具有非線性卸載行為，但同樣不能預測實際發生的殘余應變。文獻[13]利用兩個主流有限元工具ABAQUS與LS-DYNA中的本構模型，對EPS與EPE泡沫力學性能進行了一系列對比研究，結果發現實際泡沫力學性能是介于彈塑性力學性能與超彈性力學性能之間，既有殘余應變，又有一定的超彈性，而兩個有限元工具都不能完整分析泡沫復雜的卸載力學行為，尤其是殘余變形的預測。

考慮殘余應變影響以及非線性卸載力學特征，文獻[14]分別建立了加載、卸載與再次加載本構模型，成功預測了泡沫連續多次沖擊響應，但需要的試驗次數較多，涉及到的參數較多。本文為塑料泡沫連續多次沖擊力學行為提出新的計算方法，把一般性泡沫分解成兩種典型泡沫力學性能:一個是彈塑性層，按照線彈性行為卸載;第二種是超彈性層，按照非線性方式卸載；通過兩層特殊力學行為的疊置組合，進而達到簡化連續多次沖擊力學行為的目的。

1 泡沫力學本構模型基本理論

1.1 超彈性泡沫

超彈泡沫本構模型是基于應變能密度函數而提出的，代表性的應變能密度函數是Ogden提出的勢函數，此函數U是3個主伸長量λ1,λ2與λ3函數，其數學表達式為

(1)

式中:μi,αi與βi為待識別常數;J=λ1λ2λ3。

在Ogden勢函數中引入損傷函數即可得到Mullins效應本構模型的勢函數，即

U(λ1,λ2,λ3,η)=ηU0(λ1,λ2,λ3)+φ(η)

(2)

損傷變量由式(3)給出

(3)

式中：r,m與β為材料常數;U0為卸載階段的瞬時應變能;Um為卸載階段的最大應變能。

式(1)～式(3)以超彈泡沫材料模型與馬林斯模型植入有限元軟件，分別對應有限元工具ABAQUS中的HYPERFOAM與MULLINS本構模型。由式(1)與式(2)所決定的應力-應變曲線示意圖，如圖1所示。式(1)中的參數能夠表征線彈性階段、應力屈服平臺階段及壓實階段等3個典型區域所圍成的形狀，式(3)能夠表征非線性卸載行為。

對于單軸情形，其應力-應變關系為

(4)

對式(4)積分，即可得到式(3)的應變能U0

(5)

對應的最大應變能Um為

(6)

圖1 超彈泡沫應力-應變曲線示意圖

為了簡化模型，在單軸情況，應力-應變關系可以表示為

(7)

式中,a1,a2,a3與a4為待識別參數。

對應的應變能U0變為

(8)

最大應變能成為

(9)

超彈泡沫一維本構模型，可以表示為以下形式

(10)

1.2 彈塑性泡沫

文獻[6-8]利用有限元軟件ABAQUS的彈塑性可壓縮泡沫材料模型，對彈塑性材料EPS力學性能進行模擬，其加載曲線與圖1的類似，示意圖如圖2所示，具有線彈性階段、平臺屈服階段及壓縮階段，但卸載階段是線彈性卸載，即有殘余變形發生，這說明ABAQUS的可壓縮材料模型不能模擬泡沫的非線性卸載行為。在單軸情況，彈塑性泡沫的本構模型可以表示為

(11)

圖2 彈塑性泡沫應力-應變曲線示意圖

1.3 超彈塑性泡沫

實際上，泡沫在卸載階段既有非線性卸載特點，同時伴有殘余應變的發生，如圖3所示。把此問題看作是兩層特殊本構力學行為串聯形式[15]，示意圖如圖4所示。兩層具有相同的橫截面積但有不同的厚度，設兩部分所具有的厚度分別是λh，(1-λ)h。兩層具有相同的加載力學行為，但有不同的卸載力學行為。超彈層按照MULLINS效應規律進行卸載，彈塑性層按照線彈性規律進行卸載。這樣既可以考慮非線性卸載，又可以表征泡沫實際變形中所產生的一定程度的殘余變形。超彈塑性泡沫的超彈力學性能由式(7)中a1,a2,a3與a4等4個參數確定；其非線性卸載行為由式(3)的r，m，β這3個參數確定，線性卸載力學行為由式(11)第2個公式中的E確定，所以，基于超彈塑性泡沫應力-應變試驗結果，識別a1，a2，a3，a4，r，m，β，E與λ等9個參數，即可完整表征泡沫的力學性能。

在確定兩層材料本構模型后，可以按照圖5所示的泡沫動力學模型進行動力學行為預測，動力學方程為

(12)

式中：M為物體的質量;x為物體的運動坐標;y為超彈層與彈塑性層分界線的運動坐標。

圖3 超彈塑性泡沫應力-應變曲線示意圖

圖4 泡沫力學性能等效示意圖

圖5 泡沫動力學系統示意圖

初始條件為

(13)

式中,H為跌落高度。

2 參數識別

2.1 試驗方法

選取平均密度為28 kg/m3的EPS，尺寸：100 mm×100 mm×20 mm。因EPS具有率相關性，當用于緩沖包裝中時，應變率大約在100 s-1，試驗設備采用跌落塔，重錘質量為7 kg,跌落高度分別取0.3 m,0.5 m及0.7 m。利用加速度傳感器得到加速度-時間曲線，結果如圖6(a)中的虛線所示，然后得到圖6(b)虛線所表示的應力-應變曲線。

(a)

(b)

2.2 參數結果

利用圖6(b)中的加載曲線，利用最小二乘法識別出式(7)中的參數分別為：a1=0.21 MPa,a2=30,a3=0.096 MPa,a4=0.9；剩下的參數r，m，β，E，λ，是基于圖6(b)中的卸載曲線并采用最小二乘法得到：r=1.2,m=0.003 MPa,β=0.5,λ=0.31，E=5.1 MPa。

利用得到的參數，求解振動方程式(12)，得到質量塊的加速度-時間響應，如圖6(a)中的實線所示，以及圖6(b)材料應力-應變曲線。試驗與理論結果對比，可以看出二者具有較好的吻合性。

3 連續跌落沖擊行為預測

3.1 連續跌落動力學方程

根據振動方程式(12)，得到系統在第1次跌落高度H1條件下的沖擊加速度-時間歷程，并得到彈塑性層的殘余應變為

(14)

由兩層材料的變形路徑示意圖如圖7所示可知，第2次跌落情形，超彈模型可以表示為

(15)

其中

(16)

圖7 第2次沖擊時兩層材料變形路徑

第2次跌落，彈塑性模型可以表示為

(17)

第2次跌落沖擊條件下，系統動力學方程為

(18)

初始條件為

(19)

重復以上步驟，可以求解泡沫在第3次及以后的連續跌落沖擊條件作用下的加速度響應。

3.2 連續跌落動力學行為結果

采用參數h=0.04 m,M=8 kg,H1=H2=H3=0.6 m,得到物體在相同跌落條件下連續3次沖擊的加速度-時間曲線結果，如圖8中的實線所示，可以看出理論計算能夠很好地吻合試驗結果(如圖8中的虛線)。

圖8 連續3次相同跌落條件下加速度-時間曲線理論與試驗結果對比

采用參數h=0.03 m,M=8 kg,H1=0.4 m,H2=0.5 m,H3=0.6 m,得到物體在不同跌落條件下連續3次沖擊的加速度-時間曲線如圖9中的實線所示，可以看出，除了第3次沖擊有較大誤差外，其余兩層均具有較好地吻合性。第3次誤差較大原因：第3次沖擊時，最大壓縮應變達到0.83，這已經進入泡沫的壓實階段，這個階段的應力會急劇上升，因此會導致較大的誤差。

圖9 EPS連續3次不同跌落條件下加速度-時間曲線理論與試驗結果對比

4 結 論

本文把泡沫看作是由超彈層與彈塑性兩層疊置而成，對泡沫力學復雜非線性行為計算提出了新的方法。利用雙曲正切函數與雙曲函數組合，表征了兩層相同的加載力學行為。超彈層按照MULLINS效應規律進行卸載，彈塑性層按照線彈性規律進行卸載。采用單軸力學試驗，識別了28 kg/m3的EPS泡沫超彈本構模型與彈塑性本構模型中的參數。從連續3次跌落沖擊力學行為可知，3次加速度-時間曲線具有不同的形狀，隨著跌落次數的增加，加速度峰值越來越大，這是由于EPS泡沫殘余變形所導致的力學性能變化引起的。

通過對比物體在3次連續跌落條件下的加速度-時間曲線的理論結果與試驗結果，驗證了本文所提出的計算方法的可靠性。