去繁存質聚焦核心
——由一道代數綜合題引發的教學思考及課堂設計

筅浙江省杭州市觀成武林中學 章亞娣

1 引言

中考代數綜合題往往已知條件比較多，如何找到問題的本質核心是解題教學的關鍵.但是對學生來說，從煩瑣復雜的題干中提取問題的本質還有不少的困擾，所以教師對這類問題若只是分析解題過程，很多學生可以聽懂，但是下次碰到類似的問題時還是會出現“霧里看花，無從下手”的狀態.在一次九年級統測中，數學試卷第22題的得分率不到20%，這個情況引起了筆者研究的興趣.下面以這道題為例，談談解題教學中如何幫助學生突破這類問題的難點，能夠從復雜的問題情境中迅速抽離出問題本質核心，找到解決問題的方法.

2 試題呈現

在平面直角坐標系中，設二次函數y=ax2+bx-3a（a，b是實數，a≠0）．

（1）判斷該函數圖象與x軸的交點個數，并說明理由．

（2）若該函數圖象的頂點在第二象限，且過點（1，1），當a＜b時，求函數S=2a2-b的取值范圍．

3 學生錯因分析

這是一道代數綜合題，第（1）問幾乎所有的學生都能夠得分，但是第（2）問有80%的學生能夠把特殊點（1，1）代入到函數的解析式中，得到a和b的關系，50%的學生能把S用含有a的代數式表示，20%的學生根據條件求出了a的取值范圍，最終能夠完全正確解完的只有15%.筆者通過和學生的交流，了解到學生存在以下三點困惑：

（1）大部分學生找不到問題的核心，不知道這類問題如何解，對于題目中給出的三個條件和所求的結論不能建立彼此之間的關聯性，學生覺得無從下手，處于放棄狀態.

（2）題目中有兩個字母參數，學生不能建立彼此之間的關聯，對于幾個分散的已知條件，分別進行了取值范圍的探索，不能整合成函數求自變量的取值范圍.

（3）能找到問題的核心是根據其中一個函數自變量的取值范圍確定函數值的范圍，但是對于將二次函數圖象的頂點在第二象限這個條件轉化成不等式有困難.

這些問題都凸顯了學生解決這類問題時缺乏清晰的思路，對于已知條件中一些干擾，不能找到問題的本質核心，這是學生解題受阻的關鍵因素，也是解題的突破口.在中考復習課堂設計中，筆者也在思考如何突破這些問題并進行了一些嘗試，以下是筆者針對學生存在的問題進行專題突破的課堂教學設計.

4 教學實施

根據學生存在的思維障礙，設計以下六個環節進行類比學習，并逐步遞進.

4.1 面向全體，復習回顧，鞏固基礎

任務1：（1）已知二次函數y=-（x+14）（x-50），則函數圖象的頂點坐標為______.

（2）已知二次函數y=2x2-6x+6，當x≤1時，函數y的最小值為______.

（3）已知二次函數y=2（x-1）2+8，若x的取值范圍是-2≤x≤3，則y的取值范圍為______.

問題1：求二次函數的最值有幾種方法？

問題2：我們根據自變量的取值范圍如何確定函數值的取值范圍？

設計意圖：題組設計聚焦核心知識，問題驅動激活學生思維，引導學生自主建構關于求函數最值及根據變量的取值范圍求函數值的知識結構圖如圖1.

圖1

4.2 適度變形，逐步綜合

任務2：（1）已知y=2x-1，且0≤x≤3.令s=xy，則當x=______時，函數s有最小值為______，函數s的取值范圍是______.

（2）已知二次函數y=x2+bx的對稱軸為直線x=1，若關于x的一元二次方程x2+bx-s=0在-3≤x≤7的范圍內有解，求s的取值范圍.

問題1：你能用含x的代數式表示s嗎？

問題2：根據x的取值范圍怎么求s的最值和取值范圍？

問題3：和任務1相比，這兩類問題有什么聯系和區別？

設計意圖：從自變量取值范圍確定、函數表達式確定到自變量取值范圍確定，函數表達式待定，通過有效問題串引導學生發現問題的核心是函數的增減性，雖然題目的綜合性逐步增強，但是解決問題的方法只是比前面的問題多了一個步驟，利用題目中給出的等量關系，消去字母系數，并列出函數表達式，然后根據題目條件，求出函數值的取值范圍.

4.3 深度思考，找關聯，建模型

任務3：（1）已知非負數a，b，c滿足a+b=2，c-3a=4，設S=a2+b+c的最大值為m，最小值為n，求m-n的值.

（2）拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過點（-1，0），（0，2），且頂點在第一象限，設S=4a2+2b+c，求S的取值范圍.

問題1：和任務2相比，任務3有什么變化？

問題2：如何用含a的代數式表示S？

問題3：確定a的取值范圍需要滿足哪些條件？為什么？

問題4：根據a的取值范圍，如何確定S的最大值和最小值？

問題5：你能說出解決問題的基本步驟嗎？

設計意圖：本環節繼續將三個任務緊密結合，由任務2的自變量取值范圍確定、函數表達式待定到自變量取值范圍待定、函數表達式待定，并且對自變量取值范圍的確定需要綜合不等式、函數圖象和性質，繼續利用有效問題串引導學生聚焦問題本質核心是根據函數自變量取值范圍確定函數值的范圍，所以問題解決的步驟是確定函數的表達式，求自變量的取值范圍，這樣可以使學生認識到問題的核心.在這里問題4是難點，特別是第（2）問，要根據圖象頂點在第一象限確定關于a的不等式，難點的突破需要結合函數圖象和二次函數的基本性質.同時通過問題設置引導學生找到解決問題的基本方法，建構問題解決流程圖如圖2.

圖2

4.4 深度挖掘，類比推廣

任務4：若二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是實數，a≠0）的圖象的頂點在第一象限，且過點（0，1）和（-1，0），求S=a+b-c的取值范圍.

設計意圖：在明晰了解決問題的思路以后，進行類比推廣，讓學生感受到任務4和任務3的關聯性.這類問題是難點，需要在課堂上教師慢慢引導，并結合一定量的解題練習加深學生對模型的理解.

4.5 回顧總結，積累思維經驗

（1）我們完成的四個任務最核心的知識點是什么？（2）從任務1到任務4，四個任務之間有什么關系？（3）問題解決的基本步驟是什么？

設計意圖：通過具體的小結引導學生從核心知識出發，感受綜合題逐步產生的過程，每一個已知條件設置的知識關聯性，思考總結梳理問題解決的一般方法，能夠自主建構函數模型解決問題.

4.6 課堂檢測，感悟得失

（1）已知實數x，y，a滿足x+3y+a=4，x-y-3a=0.若-1≤a≤1，求2x+y的取值范圍.

（2）已知a，b，m為非正數，且滿足a-m+2=-2m+b=2，則m的取值范圍是______，代數式-3m2+12m+2的最大值為______.

（3）拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）經過點A（1，0）和點B（0，-2），且拋物線的對稱軸在y軸的左側，求a-b的取值范圍.

設計意圖：通過課堂檢測可以及時了解和反饋本節課學習的效果，及時獲得矯正信息，利用學生反饋信息再次進行分析、處理，也可以反思課堂設計的得失.

5 設計說明

5.1 有效的問題串，體現教師的引導和幫助

本節課將函數求取值范圍的每一類問題綜合成一個貫穿課堂始終的大任務，每個任務都利用問題串把知識關聯起來，激發學生的自主探索精神.筆者認為，教師在備課中對問題的預設是教學的生命線，以問題為驅動，讓課堂教學從淺層接受向深層的探究式轉變，師生之間形成學習共同體，讓學生在知識學習中成長和發展，把握問題的本質核心，實現深度學習的目標.

5.2 逐步遞進的任務，著眼于學生“最近發展區”

蘇聯教育學家維果斯基的“最近發展區理論”認為：教學應著眼于學生的最近發展區，為學生提供有難度的內容，調動學生的積極性，發揮其潛能，超越其最近發展區達到下一個發展階段的水平.本節課從函數最核心、最基本的最值和函數值取值范圍引入，通過層層遞進的任務設計，鼓勵學生在問題解決中學習、在問題解決中探索，激發他們對問題解決的深層理解，從而通過問題解決使學生建構起問題解決的基本方法和核心知識.

5.3 每個環節及時歸納總結，將知識結構化

心理學研究表明，個體解決問題的能力高低取決于個人所獲得的有關知識的多少及其性質和組織結構，學生對知識的學習只有實現概念化、條件化、結構化、策略化之后，才能真正促進問題的解決.本復習課上，給予學生充分的時間對函數求最值和函數值的取值范圍探索方法進行思考和整理，建構知識結構圖，在綜合性問題解決后讓學生思考問題解決的一般方法，使得學生在頭腦中形成清晰的、穩定的、可遷移的數學知識結構圖，能夠加深學生對知識的應用檢索能力，使其具備在復雜的情境下也能迅速剝離出問題的本質核心，迅速找到問題解決的方法.

5.4 類比學習促進深度學習

鄭毓信教授曾指出數學就是要讓學生“數學地思考問題，用數學的眼睛看世界”.而用數學的思維思考問題、用數學的眼睛看世界的基本方法之一就是“類比”.比較才知事物之間的聯系和區別，才能認識事物的本質.本節復習課上，從二次函數的最值和取值范圍的求解類比學習反比例函數和一次函數，深入思考如何根據已知條件確定自變量的取值范圍，再根據自變量的取值范圍確定函數的最值或者函數的取值范圍，由單純“問題解決”到“數學地思維”，提升學生的思維品質.

5.5 尋找典型問題及突破點，提高復習效率

本課設計的緣起是因為一道代數綜合題，問題呈現的知識點是函數中最本質的增減性，題目綜合性強，屬于常見考題，學生得分率低.對學生錯誤原因進行仔細分析以后，思考如何尋找突破點，引導學生先做減法，看到問題最本質的核心，在課堂的設計中，再做加法，問題的綜合程度是逐步增加的，讓學生感受試題命制的過程，聚焦核心知識，提高復習效率，并且引導學生自主建構問題解決的基本模型.W