研究數學方法，提高中學數學教師業務水平

江蘇省新沂市實驗學校 孫麗平

中學數學教師的職責當然是教學，但為了搞好教學，就要適當地研究數學方法，提高自己的業務水平。可以說，研究、掌握并能夠靈活地運用數學方法，是提高中學數學教師業務水平的關鍵。本文試對中學數學方法進行較為粗略的研究與探討。

一、中學數學方法的含義、研究途徑和研究意義

中學數學教師要提高自己的業務水平，就要研究、掌握中學數學方法，并靈活運用于自己的教學實踐中。對此，首先要了解中學數學方法的含義、研究的途徑和研究的意義。

1.中學數學方法的含義。

“方法”是解決具體問題而采用的方式、途經或手段，數學方法即是解決數學具體問題而采用的方式、途經或手段。也就是說，數學方法就是指數學的研究方法（包括數學思想），具體地說，就是根據數學學科的特點，運用概念、方法、技巧及數量關系，導出刻畫數學學科的量的規律結果，并且不斷地總結出種種在量之間進行推導和運算的具體方法。

需要強調的是，我們這里所說的中學數學方法，不是指通常的計算方法或工程技術中的數學方法，它基本上是屬于科學數學方法論中的一些具體的研究方法，如反證法、同一法、待定系數法等。但就其本身而言，它既具有大量的具體方法，又具有對其他科學研究也有指導與借鑒意義的方法，如抽象分析法、模型法、公理化方法等；而且它還必須以唯物辯證法為指導，即具有哲學方法，如從實際出發、進行調查研究的方法，分析矛盾的方法等。

2.研究中學數學方法的途徑。

中學數學方法是人類在數學發展中積累起來的寶貴精神財富，有著廣闊的研究領域和豐富的研究內容。怎樣才能把前人遺留下來的數學研究方法進行全面的總結與概括，這是一項艱巨的工作。要研究中學數學方法，需要注意以下途徑：（1）要研究中學數學理論。中學數學教師要有堅實的數學理論基礎，提高自己的數學修養，為研究數學方法打下基礎。有了這個基礎之后，要提高自己的解題能力，思考、感悟能力，總結、歸納能力。（2）要研究中學數學史著作。中學數學教師要閱讀一定量的數學史著作，因為數學史著作中蘊含了豐富的數學研究成果，也記載了數學家們進行研究時的思維活動，從中可以提煉出有效的研究方法。（3）要研究中學數學中的唯物辯證法。中學數學教師要掌握唯物辯證法的研究方法。因為數學是從實踐中來的，又要指導實踐。因此實踐是第一性的，方法是第二性的。在數學的產生與發展中充滿了唯物辯證法，研究數學方法必須運用唯物辯證法就顯而易見了。

總之，中學數學教師研究數學方法必須有良好的數學修養，堅實的數學理論基礎，并以唯物辯證法為指導，密切聯系數學發展史，尤其是數學思維發展史，剖析數學發現的重大成果，從中概括出切實可行的研究方法，這就是中學數學教師研究數學方法的基本途徑。

3.研究中學數學方法的意義。

中學數學教師不研究、掌握數學方法雖然也能教學，但教學是盲目的、低效的，這樣的教師是典型的“教書匠”。中學數學教師如果研究并掌握了數學方法，教學就能夠高屋建瓴，駕輕就熟，提高教學效率；這樣的教師，能夠慢慢地成長為專家型、學者型的教師。具體地說，研究、掌握并靈活地運用中學數學方法有如下一些意義：（1）有利于中學數學教師準確把握《義務教育數學課程標準》，加深對中學數學教材的理解，提高自己的業務素質與業務能力，為勝任中學數學教學創造條件。（2）整個中學數學教材內容，充滿了數學方法學習與應用。因此，研究、掌握并靈活地運用中學數學方法，在教學中能夠發揮事半功倍、舉一反三的作用，能夠有效地提高數學教學效率；能夠提高中學數學教師的數學研究能力，為數學理論的發展及其應用研究作出貢獻。（3）能夠豐富馬克思主義哲學中的辯證法，一是因為數學中本身就充滿了辯證法，二是數學思維能夠推動辯證法的發展。

中學數學方法包括一般的研究方法和特殊的研究方法，一般的研究方法是從特殊研究方法中概括和發展出來的，是更具有普遍意義的方法。

二、中學數學的一般研究方法

作為數學學科研究的一般方法，雖然可以細分為很多具體的方法，但一般來說把它分為化歸方法、模型方法、結構主義方法等。

1.化歸方法。

化歸方法是數學中非常重要的方法，運用極為廣泛，如因果觀點是通過分析、綜合來實現命題之間的等價或非等價轉化，遞推關系是通過遞推關系達到特殊向一般的轉化，數與形之間、具體與抽象之間也是通過化歸來實現轉化。

化歸方法也是中學數學中的重要方法，如把高次方程化為低次方程，把無理方程化為有理方程，把乘除法化為加減法，把立體幾何問題化為平面幾何問題，把幾何問題化為代數問題，把無窮化為有窮，把連續化為離散等，這些都是化歸方法在中學數學中的具體運用。

化歸方法的核心是“等價變形”，等價變形往往可以通過對有關問題的必要和充分條件的邏輯演繹和計算來實現，而問題變換則要借助于合適的“映射”來完成。在同構的基礎上，建立的關系、映射、反演方法，簡稱RMI（三個詞語的英文首字母）方法，就是一種具有更普遍意義的映射方法。從原則上看，RMI 方法屬于一般化歸原則的概念范疇，但它是后者在某一方面的深化和具體化。由于數學的發展，人們已經具備了集合論的概念，并且在各個數學分支中大量接觸到各種映射和變換等概念，這就使得RMI 方法原則有可能從一般的化歸原則中脫穎而出，成為有其獨立內容的數學方法論原則，并且能更貼切地直接應用于數學各分支。下面幾種是在數學中有廣泛應用的RMI 數學方法：（1）換元法。如根式代換、指數代換、對數代換、三角代換、復變量代換。（2）坐標法。即有映射：點實數對(x，y)。（3）初等變換法。如對稱、平移、旋轉、壓縮等，常用于研究幾何問題。（4）復數法。即有映射：Z（x, y）Z=x+iy。

2.數學模型方法。

數學模型方法簡稱MM（英文首字母）方法，廣泛應用于自然科學和工程技術等許多領域。近年來，這一方法與問題解決已成為數學教學關注的熱點。

MM數學方法一類由數學中的基本概念構造的MM，通常稱為概念型MM；一類由公式、方程、函數構造的MM，通常稱為方法型MM，它們大多是由對象間的數量關系抽象出來的，它們可直接用于解決有關的實際問題。

如歐幾里得幾何是根據直覺空間形體關系分析的MM，這類模型稱為結構型MM，它是以數學對象為原型，經過多層次抽象得到的，是在已有數學知識基礎上抽象出來的數學分支，各自有不同的邏輯系統，形成了不同的數學結構。在現代科技中常用的群、環、域、線性空間、拓撲空間等都屬于這類MM。

從各個不同的角度，按照不同的標準，MM常常可以分成許多類型。例如，就運算方式可分為離散（或脈沖）型MM與連續（或模擬）型MM；就模型中的變量是否確定可分為確定型MM、隨機型MM與模糊型MM，等等。然而從數學研究的基本對象數與形來分，數學模型不外分為數量關系MM，邏輯關系MM與混合關系MM三類。

構造MM的基本方法是數學抽象法，這種方法是對實際問題進行抽象概括，同時抓住問題實質，作具體分析的一種方法。如果現有的數學工具不夠用，可以根據實際情形，創造出新的數學概念和方法去表現MM。在中學數學教學中，要加強建模教學。

3.結構主義方法。

結構主義方法在教材處理上強調趣味性，強調數學直觀和實驗，糾正學生視數學為畏途的觀念，有一定的積極意義。

根據結構主義方法，數學可以分為如下三類：（1）代數結構。由離散性對象加運算構成的結構系統，稱之為代數結構。如群、環、域、代數系統、范疇、線性空間等，其中群結構是最基本的代數結構。（2）序結構。所謂序結構，就是存在順序關系的那種結構，如半序集、全序集、良序集等。（3）拓撲結構。所謂拓撲結構，就是能夠描述極限的那種結構，要描述極限，就需要距離概念。因此，對于一個集合中的元素之間只要能引進“距離”（或度量）的定義，即可形成一個拓撲結構。如拓撲空間、緊致集、完備性度量空間、賦范空間等都是拓撲結構。這三種結構都有各種交叉形成“分支結構”。

需要指出的是，在中學數學里研究對象的拓撲結構（如實數域R、三維點集空間幫及其子空間）是借助度量來給出的，這一事實掩蓋了在中學里拓撲空間的一般概念的作用。在中學數學里把空間的點與點之間距離的概念提到最重要的地位，而對拓撲的某些概念（如開集與閉集、連通性、集合的邊界等）沒有給出明確的定義。然而在中學數學里一般拓撲概念的作用是很大的：線、面、體之間的差別具有拓撲性質，圖形的邊界概念，開的圖形和封閉圖形之間的差別，等等，同樣是屬于拓撲領域的。在幾何教材里研究平面的平行投影，這是關于仿射變換的，而且在一般情況下，它既不保持度量，也不保持距離的比，但是仿射變換使平面的拓撲結構保持不變。

三、中學數學的特殊研究方法

中學數學的一般研究方法具有普遍的意義，但作為渴望不斷成長的中學數學教師來說，還需要繼續研究數學中幾種常用的特殊研究方法，如分解與組合、特殊化與一般化、遞推法。

1.分解與組合。

分解與組合是分析和認識數學問題的一個重要方法。分解的意義有：（1）通過分解弄清問題的外延。（2）把一個問題分解為幾個熟悉的小問題。（3）使數學概念由低級向高級逐步推進。分解對于實現化歸有著重要的作用。但是，在許多情況下，分解并不能獨立地實現化歸的全過程。要完全實現化歸過程，往往還要進行組合。這正是分解與組合作為一種數學方法在化歸過程中的活力所在。

如果問題的外延比較復雜，我們可以用二分法進行分解。所謂二分法，就是按對象有或沒有某一性質來進行分解的方法。它可以把問題的外延連貫地分解成互相矛盾的兩個方面，直到不必再分為止。

如：已知四邊形P1P2P3P4的四個頂點位于△ABC 的邊上，求證：在這四邊形的四個頂點中總可找到這樣三個點，以它們為頂點的三角形面積不大于△ABC 面積的1/4。

證明：由于四邊形的四頂點位于三角形的三邊上，根據抽屜原則知至少有兩點在同一邊上，并且每條邊上至多有兩點。所以如圖所示，不妨設P2、P3在BC 邊上，并設P2在B 與P3之間。這時，P1P4的位置及四點的相互位置關系，用二分法分解即可得到答案。

分解與組合的思想方法是辯證思維方法之一，“分”“合”相輔是數學解題的重要策略之一。

2.特殊化與一般化。

特殊化具有事物的個性特征，是一種個別現象，有的顯得很簡單；一般化則是從特殊化中抽象出來的具有普遍意義的原理。“特殊化”與“一般化”的思想方法也是辯證思維的方法之一，因為從簡單的“特殊化”能夠推導出具有規律性的“一般化”，而“一般化”又能夠反過來指導“特殊化”。

“爬坡式推理”就是一種從簡單情形看問題的方法，它以簡單情形為起點，為解一般問題奠定基礎。并且簡單情形就像一面鏡子，一把鑰匙，可以為我們看清問題助一臂之力，為探索問題途徑提供線索和積累經驗，成為解決一般問題的突破口。

由“特殊”到“一般”的過程稱為一般化過程，實現這個過程首先需要找出待處理問題的一般原型，但找出待處理問題的一般原型，只是完成了一般化工作的主要部分，如要最終解決，我們還須接著把對一般問題的研究再回落到具體的、特殊問題上。因此，一般化總是與特殊化結合在一起去實現化歸的。

一般化過程是發散思維的過程，一般化的途徑與結果都是不確定的。所有這些都使一般化方法具有創造性。

3.遞推法。

遞推法是探索數學規律和解題思路的重要方法。在建立遞推關系時，要根據實際問題的特點，進行深入的分析。在建立遞推關系的過程中，需要涉及一些遞推關系的解法，如列舉累加法、列舉歸納法等。實際上，數學歸納法采用的也是遞歸模式的推理。在數論中舉足輕重的輾轉相除法、高階行列式求值時的遞推展開以及無限下推法等等，都是遞推模式的體現。如果說遞推關系求解是求解的數學歸納法，那么，數學歸納法正是證明的遞推法，它們之間有著深刻的共同點。

遞推法在中學數學教學中有著廣泛的應用，內容涉及到數列、方程、不等式、組合、函數等許多方面。

目前，關于中學數學方法的研究從整體上看，還處在一個初級起步階段。雖然這樣，普遍的看法正如波利亞所說：“一個想法使用一次是一個技巧，經過多次使用就可成為一種方法。”而當數學方法的層次增加到幾乎所有數學問題都能使用時，則稱這種最高層次的數學方法為數學思想。數學思想是數學的核心，只有把數學思想掌握了，數學教學才能發生作用，數學形成的演繹體系才有靈魂。

作為中學數學教師，要研究、掌握這種數學方法，尤其是數學思想，并把這種數學方法和數學思想運用于自己的教學實踐中。唯有如此，才能夠提高自己的業務水平，才能夠提高自己的課堂教學效率，才能夠為自己成長為專家型、學者型教師奠定堅實的基礎。