電路量子電動力學中基于超絕熱捷徑的控制相位門實現*

王雪梅 張安琪 趙生妹

(南京郵電大學,信號處理與傳輸研究院,南京 210003)

針對絕熱算法在系統演化過程中需要較長操作時間的問題,本文提出了電路量子電動力學系統中基于超絕熱捷徑的兩量子比特控制相位門的快速制備方案.首先將量子比特的能級進行編碼,針對不同初始態分類討論,獲得系統的有效哈密頓量.通過反絕熱驅動,推導出系統有效哈密頓量的修正項,以抑制不同本征態之間不必要的躍遷,從而獲得了高保真度的基于超絕熱捷徑控制相位門.數值模擬驗證了本方案的有效性,最終保真度為0.991.所提方案可以加速演化,并且比絕熱通道更有效.此外,本方案對諧振器的衰減和超導量子比特的退相干具有魯棒性.通過對諧振腔的泄漏、量子比特的自發輻射和退相位的影響分析,得到的系統最終保真度始終保持在0.984 以上.

1 引言

量子門的制備依賴于物理實現系統.常用的物理系統有離子阱系統、核磁共振系統、腔量子電動力學系統和電路量子電動力學(QED)系統[5?14].電路QED 系統是由超導量子比特和超導諧振腔組成[15,16],其中超導諧振腔主要包括中心導體和兩邊的地(中心導體的長度決定了諧振腔的模式頻率),超導量子比特由約瑟夫森結構成,超導量子比特作為人工原子與超導諧振腔電磁耦合在一起[17].2019 年,具有量子優越性的量子計算模型首次在超導量子系統得到證明[18].基于其可設計性、易擴展性、長相干性,以及與其他物理系統易耦合等特性,電路QED 系統現已成為實現量子計算最有前途的系統之一[19].在電路QED 系統中,廣泛使用的超導量子比特為Transmon.與超導電荷量子比特相比,Transmon 具有對電荷噪聲敏感度低、退相干時間長等優點[20?22].

早在2005 年,Sangouard 等[23]提出了一個基于絕熱算法制備SWAP 門的方案.同年,Zheng[24]提出了一個基于絕熱算法構建 π 相位門的方案.在2009 年,Shao 等[25]基于量子芝諾動力學提出了一個構建控制非門(CNOT 門)的方案.到2013 年時,Rousseaux 等[26]則實現了任意比特門的制備.與此同時,2015 年,Liang 等[27]在腔量子電動力學系統中提出了快速構建控制相位門的方案,利用的是LR 不變量捷徑方法.該方案不僅可以實現一個量子比特的相位門,還可以實現兩個量子比特的控制相位門,接著進一步推廣到n個量子比特的控制相位門.2016 年,Liang 等[28]提出了一種基于超絕熱捷徑方法實現了通用量子門的方案,并基于金剛石氮空中心系統給出了詳細說明.2018 年,Wang等[29]運用超絕熱捷徑方法構建了在超導Xmon 量子系統中的高保真度的單比特量子門.2020 年,Chu等[30]提出了一種基于超導電路的兩比特量子門的構建方案,結合參數調制和超絕熱捷徑方法,并以SWAP門和控制Z 門為例進行了演示.與其他捷徑方法相比,超絕熱捷徑方法能夠實現高保真度,并且操作簡單可行.但是,在電路QED 系統中基于超絕熱捷徑方法的相位控制門還未被討論.

因此,本文基于超絕熱捷徑方法,提出一種在電路量子電動力學系統中快速制備兩比特控制相位門的方案.利用反向導熱場思想,獲得哈密頓量的修正項,抑制了本征態間不需要的躍遷.使用第2 次迭代的本征態為演化路徑,由于不需要初始態和最終目標態之間的直接耦合,可降低了實驗難度.通過數值模擬,對本方案進行驗證和性能分析.本方案有以下3 個優點:1)與絕熱算法相比,本方案不需要嚴格遵守絕熱近似條件;2)本方案只保留有用的本征態間的躍遷,節省了演化時間;3)本方案給出了初態與終態間的直接耦合方案,提高了方案的可行性.總之,本方案縮短了演化時間、降低了實驗實現難度,其最終保真度可接近于1,因而具有重要的參考價值.

2 基于超絕熱捷徑控制相位門制備

首先給出電路量子電動力學系統,系統中兩個Transmon 囚禁在一個傳輸線諧振器中.圖1 是電路量子電動力學系統中量子比特的能級結構圖,每個量子比特擁有4 個能級,分別為|L1〉l,|L2〉l,|R〉l和|e〉l,其中|e〉l是輔助激發態,下標lA,B 是區分不同的量子比特.將有效信息編碼在|L1〉l,|L2〉l和|R〉l這3 個不同能級上.量子比特lA 為控制比特,其中|R〉A和|e〉A之間的躍遷是與耦合強度為gA的諧振器發生的共振耦合,其他能級之間的躍遷是被禁止的.量子比特lB 為受控比特,|R〉B和|e〉B之間的躍遷是與耦合強度為gB的諧振器發生的共振耦合,|L1〉B?|e〉B,|L2〉B?|e〉B的躍遷分別是由時間獨立的拉比頻率為Ω1(t),Ω2(t)的經典脈沖來驅動的,同時其他能級之間的躍遷也是被禁止的.

圖1 量子比特能級結構.qubit A 和qubit B 被囚禁在一個傳輸線性諧振器中,每個量子比特擁有四個能級:|L1〉l,|L2〉l,|R〉l和 |e〉l,lA,B,其中 |e〉l 是輔助激發態.有效信息被編碼在 |L1〉l,|L2〉l和 |R〉l 三個不同能級上.qubit A為控制比特,qubit B 為受控比特.Fig.1.Structure of qubit energy level,qubit A and qubit B are fabricated in a transmission line resonator,each has four-level i.e.,|L1〉l,|L2〉l,|R〉land |e〉l,lA,B here,|e〉l is an auxiliary excited state.The information is encoded on the states |L1〉l,|L2〉land |R〉l .Qubit A is a controlling qubit,and qubit B is a controlled qubit.

設gAgBg,利用超絕熱捷徑方法快速獲得兩比特控制相位量子門.在旋轉波近似條件下[31],電路QED 系統的總哈密頓量可寫為

假設系統的初態為|0〉C|R〉A|L2〉B,此時諧振器處于真空|0〉C態,量子比特A 處于|R〉態,量子比特B 處于|L2〉態.根據總哈密頓量,系統將會在由φ1,φ2,···,φ5張成的子空間中進行演化,其中,

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系統總哈密頓量可寫為

因此,(4)式中的哈密頓量可以用HC的本征值、本征態來表達,系統哈密頓量Htotal可以改寫為

對系統哈密頓量通過幺正算符UCexp[?iHCt]進行繪景變換.在Ω1(t),Ω2(t)?g的條件下,忽略高頻振蕩項,利用此繪景變換容易算出系統的有效哈密頓量為

系統有效哈密頓量Heff(t) 的瞬時本征值,分別為ε00,ε1Ω(t)和ε2?Ω(t),相對應的瞬時本征態為

與(6)式的哈密頓量相比,反向導熱修正項哈密頓量需要|φ1〉和|φ3〉之間的直接耦合,但是完成此過程十分困難.所以本文采用參考文獻[33]中提出的方法,通過修改脈沖的形式來獲得修正項.

為了與(9)式相等,以{|φ1〉,|φ3〉,|ψ0〉}為基,新的反向導熱哈密頓量修正項為

3 控制相位門實例分析

對基于超絕熱捷徑的控制相位門進行分析.設系統的初態為|0〉C|L1〉A|L1〉B,此時諧振器處于真空態|0〉C,量子比特A 處于|L1〉態,量子比特B 處于|L1〉態.根據總哈密頓量,系統會在由張成的子空間中進行演化:

系統總哈密頓量可寫為

進一步設系統的初態為|0〉C|L2〉A|L1〉B,此時諧振器處于真空|0〉C態,量子比特A 處于|L2〉態,量子比特B 處于|L1〉態.根據總哈密頓量,系統會在由φ10,φ11,···,φ13張成的子空間中進行演化,此時有

系統總哈密頓量可寫為

綜上所述,在電路QED 系統中,利用超絕熱捷徑方法可以快速制備兩比特的控制相位量子門.

4 數值模擬

本節將對超絕熱捷徑快速制備兩比特的控制相位量子門方案進行數值模擬.經過之前的討論可得,當初態為|0〉C|R〉A|L2〉B時,經過演化后,需獲得|0〉C|R〉A|L2〉B|11〉→?|0〉C|R〉A|L2〉B?|11〉,參數θ0,1(t)應滿足邊界條件θ1(0)θ1(tf)0 和θ0(0)?π/2、θ0(tf)π/2,脈 沖Ω1(t)和Ω2(t)可以根據文獻[14]選擇高斯型脈沖:

其中,Ω0是脈沖振幅,tf是總的演化時間,τ110.01tf,τ120.8tf,τ130.6tf和τ210.45tf是脈沖時 延,T0.2tf是脈沖寬度.因此,驅動脈沖Ω1(t)和Ω2(t)可以用來確定θ0(t)和θ1(t) .圖2 為θ0(t)和θ1(t) 隨演化時間變化的情況,描述了當脈沖振幅Ω0作為變量取不同值時對θ0(t)和θ1(t) 的影響.通過圖2(a)可以發現,脈沖幅度Ω0的取值大小對θ0(t)幾乎沒有影響,無論脈沖幅度Ω0取什么值(分別取Ω0和Ω0,兩條曲線重合),在整個演化過程中均滿足邊界條件θ0(0)?π/2,θ0(tf)π/2 .而圖2(b)是與時間相關的參數θ1(t),可以得到,當Ω0的取值越大時兩邊邊界更趨向于0.但在整個超絕熱捷徑演化過程中,應滿足條件Ωk(t)?g(k1,2),所以Ω0的取值又不能太大.綜上,在后面的討論中選取Ω0和g

圖2 (a) 脈沖幅度取不同值時,參數 θ0(t) 隨時間的變化情況;Ω0 (黑色虛線),Ω0 (淺綠色實線);(b) 脈沖幅度取不同值時,參數 θ1(t) 隨時間的變化情況;Ω0 (藍 色),Ω0 (紅 色),Ω0 (粉色),Ω0 (淺綠色),Ω0 (綠色).Fig.2.(a) Variation of θ0(t) with time when the amplitude of pulse has different values.Ω0 (black dotted line),Ω0 (light green line);(b) variation of θ1(t) with time when the amplitude of pulse has different values.Ω0 (blue),Ω0 (red),Ω0 (pink),Ω0 (light green),Ω0 (green).

為驗證本文方案的有效性,圖3 給出了隨時間變化的目標態保真度圖.定義態|Ψ(t)〉為系統隨時間演化的實際狀態,求解系統保真度F(t)|〈Ψ(t)|φ1〉|2,其中|φ1〉為上文中提到的初始態|0〉C|R〉A|L2〉B.在整個演化過程中,當時間超過0.7t/tf后,保真度逐漸保持穩定,最終保真度數值為0.9914.由此可以得出,本文方案是可行有效的,能夠制備出高保真度的控制相位門.然而,由于在繪景變換時,忽略了高頻振蕩項,得到系統的有效哈密頓量;另外,在控制參數的過程中,量子系統演化時的期望量子態會演化到其他非必要的量子狀態上.因而最終保真度達不到1.

圖4 描繪了在整個演化過程中所有態的布居數圖.它表明在系統演化后可得到高保真度的控制相位門.從圖4 可以得出,當時間超過 0.7t/tf以后所有態趨于穩定.中間態|φ2〉,|φ3〉和|φ5〉只在0.2t/tf到 0.7t/tf時間間隔內出現且數值不超過0.5,|φ4〉態的布居數在整個演化過程中幾乎為0.因此,在所提出的方法中,可以忽略諧振器衰減引起的退相干影響.

已知態|Ψ(t)〉為系統隨時間演化的實際演化狀態.實際演化態|Ψ(t)〉和初始態|φ1〉|0〉C|R〉A|L2〉B內積,可給出相位的變化情況.圖5 顯示了〈Ψ(t)|φ1〉隨時間變化情況.當演化時間為 0t/tf時,內積值為+1,說明實際態|Ψ(t)〉和初始態|φ1〉重合,沒有相位差;隨著時間的推移,其內積〈Ψ(t)|φ1〉值逐漸變小;當演化時間為tf時,內積值為–1,說明此時實際態|Ψ(t)〉和初始態|φ1〉的相位已經相差180°,即實際態變為|Ψ(t)〉?|φ1〉.這驗證了相位的變化,實現了控制相位門的制備.

考慮諧振器衰減和量子比特退相位率,并分析兩者對控制相位門產生的影響.退相干過程可以用主方程來描述,可以寫成:

其中bk為耗散項,表示為

其中,γn(n1,2,···,4)表示第l個量子比特從能級態|R〉l(|e〉l)到能級態|e〉l(|L1〉l,|L2〉l)的自發輻射率;κ表示諧振腔的衰減率;R,L1,L2;lA,B)表示第l個量子比特的退相位率.為簡化計算過程,令γnγ和γφ.

為了量化諧振器衰減和量子比特退相干引起的最終保真度變化,圖6 給出了不同的退相干因素對最終保真度的影響,其中圖6(a)繪制了最終保真度F(tf)與諧振器衰減κ和量子比特自發輻射率γn的變化關系圖,圖6(b)與圖6(c)分別繪制了最終保真度F(tf)與γφ和γ、F(tf)與γφ和κ的關系圖.κ的值從0 到,γ的范圍是從0 到從圖6(a)和圖6(c)可以得到,不同κ值時,最終保真度可以保持在0.985 以上,這表明了所提出的方案對諧振器衰減是具有魯棒性的.如圖6(b)所示,量子比特退相干對最終保真度的影響也比較小.即使γ和γφ,最終保真度也超過0.984.因此,該控制相位門對諧振器衰減和量子比特退相干具有魯棒性.

圖6 不同的退相干因素 κ ,γ 和 γφ 對最終保真度的影響(a) γ和 κ的影響;(b) γ 和 γφ的影響;(c) 退相干中不含γ時的影響Fig.6.Influence of different decoherence factors κ ,γ and γφto the final fidelity:(a) The effect of γand κ to fidelity;(b) the effect of γand γφ to fidelity;(c) the effect of κand γφ to fidelity.

5 結論

本文提出了電路QED 系統中利用超絕熱捷徑方法來快速制備兩比特控制相位量子門的方案.在兩比特信息|0〉,|1〉編碼的基礎上,獲得系統的哈密頓量和有效哈密頓量.運用超絕熱捷徑方法進行兩次迭代,獲得與系統有效哈密頓量相同形式的修正項,以抑制其他本征態之間的躍遷;根據演化路徑,求得合適的邊界條件,完成控制相位門的制備.數值模擬結果表明,兩比特控制相位量子門可高效制備.當初態為|11〉時,通過系統演化得 ?|11〉;其他態為初態時,經過演化系統是不會發生任何改變.數值仿真結果顯示控制相位門最終保真度為0.991.最后對諧振腔的泄漏、量子比特的自發輻射和退相位的影響進行分析,仿真結果表明,最終保真度可保持在0.984 以上,所以由此方案制備的控制相位門是魯棒且穩定的.但是本方案還存在一定局限性,如圖4 中量子態|φ2〉,|φ5〉的布居數高于0.4,比其他系統中相應的布居數大,表明本方案對激發態比較敏感.同時,為了獲得和系統有效哈密頓量具有相同形式的修正項,本方案進行了兩次迭代,因而計算量比較大.