普通師范院校代數類課程設置改革探究

趙正俊，陳文兵

(安慶師范大學數理學院，安徽 安慶 246133)

代數學是數學的重要分支之一。隨著現代數學及科技的發展，尤其是20世紀以來，諸多重要數學猜想的解決(如Fermat大定理、Mordell猜想等)與計算機技術的發展，代數學在理論及應用領域的重要性日益凸顯。我國高校數學專業代數課程設置及內容形成于20世紀50年代，普通院校數學專業“重分析、輕代數”的狀況雖然受到許多高校相關任課教師的關注，但是受限于體制、師資及教材等因素，代數類課程設置的問題與核心代數及幾何課程缺失的現狀仍然沒有得到緩解。正如著名數論學家馮克勤教授所說[4]，高校的幾何與代數教學應該加強，這是必須予以重視的問題。通過分析高校代數類課程設置的現狀，結合筆者多年代數類課程教學的體會與部分高校對代數類課程設置改革的措施及成效，談談對普通師范院校代數類課程設置的看法，供同行交流參考。

1 代數類課程設置存在的問題

代數作為數學的三大分支之一，包括初等代數和抽象代數，以研究代數方程為中心，其特點是具有高度的抽象性。國內師范院校數學專業代數類課程主要包括“初等數論”“高等代數”及“近世代數”。根據筆者多年教授代數類課程的經驗及與兄弟院校相關課程任課老師的交流情況，目前普通師范院校代數類課程設置存在以下幾個問題。

1.1 課程內容銜接的問題

“高等代數”一直是高校數學專業重視的核心基礎課，多數學校在大學一年級開設兩個學期，每周5-7學時，部分學校會單獨開設習題課。“高等代數”的基本內容包括線性空間和矩陣理論，對于培養學生的邏輯推理和抽象思維能力、空間直觀和想象能力具有重要的作用。普通高校數學專業的學生對于該門課程的學習感到吃力，考試及格率低于同期開設的其他課程。學生對該門課程的總體印象是抽象，多數學生不能理解線性空間與線性變換的定義，更談不上領會該門課程的精髓。

目前，多數高校采用北京大學于上世紀70年代末編寫的“高等代數”作為該門課程的教材。這是一部經典教材，其他教材基本都以這本書作為藍本。在內容安排上，首先講解多項式理論，然后圍繞線性方程組這個中心課題，逐步引入行列式、矩陣、線性空間與線性變換、二次型及歐式空間。相對“高等代數”，高度抽象的“近世代數”更加使得學生焦頭爛額。“近世代數”主要講授群、環及域的基本知識，多數高校選擇在大學二年級開設。雖然“高等代數”中多項式、矩陣及線性空間與線性變換為“近世代數”中相關概念提供了實例，但學生依然不能很好地理解“近世代數”中的相關定義與結論，從“高等代數”到“近世代數”的過渡并不自然。“初等數論”主要講授整數的相關理論，內容大致包括整數的整除、同余、二次剩余、原根及指數與不定方程等。多數高校選擇將該門課程作為選修課在大三開設。同樣，“初等數論”也為“近世代數”中相關概念提供了很好的實例。同時，整數的整除理論與多項式的整除理論在環論的意義下又有某種重合。因此，在以“高等代數”“近世代數”“初等數論”開課次序的前提下，授課內容存在一定程度的交叉與重合。事實上，“近世代數”的思想方法滲透在“初等數論”與“高等代數”中，處理好這三門課程的內容安排對于代數學習尤為關鍵。

1.2 代數類課程缺失的問題

相對于分析類課程，普通師范院校數學專業代數類課程顯得較為單薄。一些在重點高校開設的“抽象代數”“交換代數”“同調代數”“群與代數表示”“代數數論”與“代數幾何”等代數類課程，普通高校沒有作為選修課程開設，原因是多方面的，學生基礎、師資、師范教育類課程的安排等。這些代數類后續課程不僅是將來從事代數研究的學生的基礎課程，對邏輯思維能力與數學品味及修養的提高也具有重要意義。普通師范類院校不僅要培養合格的中小學教師，也肩負了培養從事科學研究人才的重任。為有意愿從事代數研究的學生開設代數后續課程是有必要的。

進入新世紀以來，眾多高校數學系開設了信息與計算科學專業，培養具有扎實數學基礎的從事與計算機相關工作的人才。然而，一些高校不再為信息與計算科學專業開設“近世代數”與“初等數論”，甚至淡化“高等代數”。而在一些普通師范院校，數學與應用數學專業也不再開設“初等數論”。筆者所在師范高校，“初等數論”僅作為選修課程，教務部門規定，選課人數不足30人不開課。“初等數論”經常與數學競賽聯系在一起，對于以培養優秀中小學數學教師為目標的師范院校，掌握初等數論的相關知識和技巧是有必要的。

1.3 課時壓縮的問題

近年來，隨著高校培養方案中實踐及思政課時的不斷增加，一些重要的專業基礎課程的課時不斷被壓縮。“近世代數”在一些高校的課時由周4減為周3，“初等數論”以每周2學時作為選修課開設。“近世代數”的群論中，除了同態基本定理，群在集合上的作用對群的研究至關重要，簡單介紹群作用及其應用是有必要的。但是，在總課時為51的前提下，很難講透這些重要內容，只能流于表面地介紹群環域的基本定義與結論。總課時為34的“初等數論”，只能簡單介紹整數整除、同余及二次剩余與二次互反律的基本結果，而其中與有限群結構關系密切的原根及指數、不定方程等只能舍棄。

2 部分高校代數類課程設置改革措施

21世紀以來，高校代數類課程設置與教學內容的改革一直被廣泛關注。國內眾多代數學家和從事代數教學研究的人員對代數類課程設置改革作了諸多研究和實踐。著名數論學家馮克勤先生對代數類課程設置有獨到的見解[4]和豐碩的實踐成果。自1977年開始，在馮先生的領導下，中國科學技術大學數學系在一年級第一學期開設“初等數論”，并和余紅兵教授編寫了教材“整數和多項式”，將整數與多項式的整除、因式分解等理論納入同一范疇，其中滲透了近世代數的思想，從主理想整環的角度統一講授整數與多項式。2011年以來，在歐陽毅教授的領導下，中國科學技術大學數學院對代數類課程設置及教學內容作了重大改革，將“初等數論”“解析幾何”“高等代數”“近世代數”“抽象代數”等代數類課程教學內容作了優化，出臺了“代數系列課程綱要”，并編寫了代數學系列教材。科大對代數課程設置及內容改革的成果獲得了安徽省教學成果獎。正如歐陽毅教授所說[1]，受老一輩數學家指導和影響，科大的代數教學一直維持在很高的水平，培養了許多著名的代數學家。2000年之后，馮先生調入清華大學數學系擔任系主任。自2001年起，清華數學系也在大學一年級為新生開設“初等數論”，并以專題討論的形式為有志于從事代數與數論研究的學生開設相關代數類課程。在以構建和實施本科人才培養體系為核心的“三三制”本科教學改革的背景下，南京大學數學系對“高等代數”課程的內容進行了調整，與科大和清華的做法類似，也是同時講授整數與多項式的整除理論。早在20世紀90年代，華中師范大學就嘗試對代數類課程設置進行改革[5]，將“高等代數”“解析幾何”“近世代數”與“范疇論”四門課作為一個整體，以代數結構為主線統一四門課程。

在學生基礎與師資條件較好的前提下，科大等重點高校對代數類課程的設置是合理有成效的。以“初等數論”“高等代數”與“解析幾何”“近世代數”這樣的順序開課，可以做到與中學課程銜接、與后續課程銜接、與數學研究銜接。受限于師資條件與學生基礎，普通師范院校對代數類課程設置作大刀闊斧的改革并非易事。科學分析代數課程內容及相互聯系，明確學生培養目標，師范院校對代數課程設置改革的空間依然很大。一些地方師范院校也作了許多嘗試。早在20年前，湖州師范學院對“高等代數”“初等數論”及“近世代數”三門課程的內容進行整合調整[2]，三門課統一編教材，分四個學期開設。2016年開始，淮陰師范學院在大學一年級第一學期開設“初等數論”與“解析幾何”，第二學期開設“高等代數”。

3 代數類課程教學的體會與改革設想

課程設置改革具有很強的學術性。在明確培養目標的前提下，如何處理課程內容的銜接、知識傳授與能力培養的關系值得深究。在普通師范院校從事“高等代數”與“抽象代數”課程教學多年，“高等代數”的教材幾經更換，而從教學效果及學生反饋情況來看，簡單的教材更換，并不能改變歷屆學生對這門課的印象——抽象、難學、及格率低。一方面，正如歐陽毅教授的分析[1]，受中學數學新課標與高考指揮棒的影響，學生獨立探索和抽象思維能力受到很大限制；另一方面，“高等代數”對學生抽象思維能力要求較高，而剛入學的新生還沒能適應大學的授課方式，用功的學生多數采用中學數學的學習方法，忽略對數學定義及結論的理解與記憶，學習效果事倍功半，積極性受挫。教學中除了引導學生積極改變中學數學學習習慣和學習方法，更應該在課程設置與內容的銜接上下功夫。下面具體談談對普通師范院校代數類課程設置改革的一些想法。

首先，數學師范專業首要任務是培養合格的中小學數學教師，“初等數論”與中學數學及競賽聯系密切，掌握“初等數論”中相關知識與技巧對于師范生來說是必要的。在新生入學開設每周4學時的“初等數論”，一方面，與中學數學知識自然過渡，另一方面，以整數為實例，滲透代數學的思想方法，為后續抽象代數做一個鋪墊。而在具體內容安排上，除了介紹整數整除、同余、原根及指數等基本知識外同時，以整數和同余為實例，介紹集合和映射的基本定義與性質，從而過渡到集合的劃分、關系與等價。最后，介紹多項式的整除與因式分解。這里適當介紹集合和映射的相關知識，一是為后續線性空間與線性映射作準備，同時，也為學習分析與點集拓撲等課程打下了基礎。

第二、三學期，開設每周5學時的“高等代數”。主要內容包括矩陣與行列式、線性方程組、線性空間與線性映射、二次型與歐式空間、相似標準形。第四學期，開設每周4學時的“近世代數”。主要內容包括群、環與域的基本概念。整數整除及同余、矩陣空間及線性映射為學習群與環的相關知識提供了實例。要使“近世代數”摘掉“枯燥、抽象”的帽子，除了盡可能多介紹實例，更關鍵的在于理順群、環與域的關系，尤其是打通群與域的聯系，而這正是Galois理論的精髓。

普通師范院校的任務不只是培養優秀的中小學教師，也肩負培養優秀科研人員的重任，這就需要更多關注優秀學生的培養。要為優秀學生創造好的學習環境，開闊眼界，除了在硬件方面提供條件，在軟件方面，落到實處，就需要為優秀學生開設豐富的選修課。

在日益重視基礎數學的形勢下，代數幾何與微分幾何等主流數學也日益受到重視。為了減小與歐美等發達國家的差距，國家在這些方向人才培養與引進方面給予了較大投入，也取得了可喜的成績。即使普通師范院校，為有志于未來從事代數及相關方向研究的學生開設后續代數課程是必要的。因此，后續的代數課程，例如“交換代數”“同調代數”“群與代數表示”“代數數論”等，也不應該只是出現在重點高校的課程目錄中。在有條件的情況下，應該積極為學生開設這些選修課程。

對于普通師范院校代數類課程設置改革的總體思路是，按照“初等數論”—“高等代數”—“近世代數”—各類代數選修課程的開課順序，加強代數類課程的教學。這其中需要解決的問題是，如何優化各門課程的教學內容，做到銜接有序、過渡自然、步步深入，而這需要賦予具體的教學實踐以檢驗效果。

4 總結

結合教學實踐與同行交流的情況，通過分析國內普通師范院校數學專業代數類課程設置存在的問題，借鑒部分高校代數類課程設置及內容改革的措施與經驗，總結了代數類課程教學的體會，提出了對普通師范院校代數類課程設置改革的一些想法，供同行交流參考。