基于λ方法的積分對象PID參數整定與優化

徐星宇

(中國石化儀征化纖有限責任公司，江蘇 儀征 211900)

PID控制器自問世以來至今已有50億多個回路在運行，作為使用最廣泛、最易被接受的一種控制方式之一，其比例增益、積分時間和微分時間的整定是控制器能否正常運行的關鍵。目前，有關PID整定國內外已經有大量的研究，但是現場工程技術人員對PID整定掌握的還是不夠深入，工廠的自控投用率普遍比較低，解決這個問題既有利于提高操作人員的工作效率又能提高裝置安全性，而且基礎控制是智能制造的基礎。筆者根據多年整定PID控制器參數的經驗，介紹一種簡單快捷、安全可靠、無需太多專業知識的PID參數整定方法。

1 PID控制器的基本原理

PID控制器是目前過程控制中應用最多的一類控制器，因此，對PID控制器比例、積分、微分之間的相互作用和調節控制的基本理解非常重要，否則無法正確進行參數整定和優化。

PID控制器自被發明以來已有70年歷史，由于通俗易懂、結構簡單、使用門檻低等優點，成為過程控制工業乃至整個自控系統中運用最基礎的控制技術。但是一次測量設備、執行設備和控制策略等被控對象的特性變化后，必須要重新進行各個參數的整定與計算，否則控制效果會變差甚至不能控制。而且隨著控制閥的磨損和測量儀表的變化，過程回路的響應速度和魯棒性會發生變化，不同控制系統中PID控制算法的差別也困擾現場技術人員，因此，PID控制器整定的難度很大。

PID控制器通過連續測量過程操作參數，如溫度、壓力、液位、流量和濃度，然后決定如何調節閥門開度、泵速或熱量等，從而將過程測量值保持在設定值。PID控制的目標是在沒有超調或發散情況下系統盡快達到設定值，如果控制過于激進，可能出現超調，反之達到設定值的時間可能特別慢。PID控制器的控制原理如圖1所示。

圖1 PID控制器的控制原理示意

在PID控制器的工作過程中，比例增益是控制器的輸出與偏差(設定值與測量值)的比例系數。在一定的離散采樣周期內，比例增益就是使控制器的輸出按照偏差的倍數進行減小或增大，但是純比例控制系統始終有余差存在。積分是控制器的輸出等于積分時間內偏差的累積，即偏差的積分，由于純比例系統不能消除余差，必須要使用積分項，積分項的大小取決于誤差的大小和積分時間，隨著積分時間的增大，系統的輸出也會增大。微分項是控制器的輸出即誤差的微分，絕大多數控制系統中的微分為不完全微分項，使用微分項主要原因是控制回路中有大的滯后時間，具有抑制誤差的作用，其測量值的變化總是落后于誤差的變化，所以要使用微分項進行“超前”調節用于改善控制回路的動特性。

經典控制理論認為PID方程有下列幾種形式，且比例、積分、微分互相獨立，基本表現形式如式(1)所示：

(1)

式中：GC(s)——對象的傳遞函數；KP——比例系數；TI——積分時間；s——復頻率；KD——微分系數。

對其進行變換形式如式(2)所示：

(2)

式中：KC——比例增益。

因此，比例積分(PI)控制器的傳遞函數如式(3)所示：

(3)

比例積分微分(PID)控制器的傳遞函數如式(4)所示：

(4)

在上述方程中，TITDs2+TIs+1會在閉環系統中引入2個零點，如果這2個零點都在負實軸上，整個閉環系統更容易不振蕩，而且根據經驗，閉環響應曲線不平滑絕大部分都是微分時間太大導致的。因此，推薦計算公式如式(5)所示：

(5)

2 過程模型的分析

2.1 自衡對象和非自衡對象

工業過程中常見的過程有自衡和非自衡兩種，這兩種過程對輸出階躍變化的響應曲線如圖2所示。圖2a)的過程是自衡對象，也叫非積分對象；圖2b)的過程是非自衡對象，也叫積分對象。在過程數據建模之前了解對象的差異至關重要，因為錯誤的模型可能會對整定參數的計算結果產生重大影響，甚至影響過程安全。

自衡對象能夠響應控制器輸出并逐漸達到新的穩態操作點，過程變量PV(液位)和設定值SP，控制器的輸出OP的曲線如圖2a)所示，例如流量控制就是典型的自衡對象。

積分過程沒有平衡點，即控制器輸出變化后過程在一個方向持續變化，除非進行新的干預否則積分過程將持續變化而無法達到新的穩態，過程變量PV和設定值SP，控制器的輸出OP的曲線如圖2b)所示，典型的如液位控制。

2.2 積分對象

積分過程是在化工生產中常見的控制對象，可以用一個積分加純滯后環節的傳遞函數描述，如式(6)所示。積分純滯后過程模型由2個參數組成： 增益K和純滯后時間τ。

(6)

積分純滯后過程模型的開環響應曲線如圖3所示。

圖3 積分純滯后過程模型的開環響應曲線示意

積分純滯后過程模型的增益K是一個描述控制輸出導致被測變量變化速率的模型參數。K是通過被測變量變化速率除以引起該變化的控制器輸出變化得到，所以也稱為飛升速度，需要注意的是，PID整定時采用的是量程百分比的增益。

τ是指從控制器輸出的階躍變化到被測變量顯示出對該變化的清晰初始響應的時間，純滯后是指由于對象的測量環節、傳輸環節或其他環節出現的滯后現象。計算τ相對比較直接，首先確定控制器輸出改變的時間，然后確定被測變量第一次對控制器輸出變化做出反應的時間，τ即為兩者的差。

3 λ整定方法的基本原理

PID控制器已經成功應用近百年，盡管有各種整定技術，但是有明顯實際應用效果而且被工業界接受的卻很少。

20世紀80年代之前的大多數整定方法都關注克服不可測階躍擾動時的峰值和累積偏差。這種積極行為對防止激活減災系統或啟動停車條件非常重要，但是由于抗干擾能力不足，不適合處理實際問題或實現其他控制目標。整定結果存在增益大、積分時間短的問題，不可避免地在系統中引起振蕩，難以使系統達到整體性能最佳的控制目標，不適合化工行業大多數場所應用。

λ整定是用于減少過程波動的有效方法，從最簡單的意義上講，λ整定以所需的閉環響應速度實現回路的非振蕩響應，通過選擇一個閉環時間常數(通常稱為λ)來設置響應速度，可以在一個單元過程中協調一組回路的協調整定，從而使它們的共同作用有助于建立整個過程的理想動態[1]。λ整定規則僅需要用戶指定λ，這不僅為了簡化KC和TI的計算過程，還能夠通過具有物理意義的參數來選擇控制器的預期性能。

λ整定概念的基礎可以追溯到1957年Newton， Gould和Kaiser的分析設計方法，簡而言之，一旦知道了過程模型并且選擇了閉環特性，該方法就可以直接合成所需的控制器[2]。1968年，EB Dahlin在數字控制器上的工作為λ整定起了推動作用，Dahlin將所需的閉環響應速度描述為“λ”，Dahlin只關注一階純滯后對象，而Morari和Chien等人將該技術推廣到一般的傳遞函數，設計方法的基礎是零極點配置，其中控制器零點用于抵消過程極點[3]。

λ整定規則也稱為內部模型控制(IMC)整定，為針對速度的整定規則，例如Ziegler-Nichols和Cohen-Coon等，提供了強大的替代方法[4]。盡管λ和IMC規則的推導不同，但對自衡對象的PI控制器產生相同的規則[5]。Ziegler-Nichols和Cohen-Coon整定規則的目標是4∶1衰減振蕩，而λ整定規則的目標是一階純滯后對設定值的響應[6]。λ整定規則具有以下優點：

1)過程變量在發生干擾或設定值變化后不會超調。

2)λ整定規則對通過階躍測試確定過程純滯后時間時所犯的任何錯誤的敏感性要低得多。該問題在時間常數為主的過程中很常見，因為很容易低估或高估了過程純滯后時間[7]。當純滯后時間不正確時，Ziegler-Nichols和Cohen-Coon整定規則可能會給出非常不理想的結果。

3)整定非常穩定，這意味著即使過程特性與用于整定的過程相比發生了較大變化，控制回路也能保持穩定。

4)λ整定的控制回路可以更好地吸收干擾，并將更少的干擾傳遞給下游過程，對于高度耦合過程，這是一個非常有利的特性。造紙機上的控制回路就通常使用λ整定規則整定，以防止整個機器由于過程相互耦合和反饋控制而發生振蕩[8]。

5)用戶可以為控制回路指定所需的響應時間(即閉環時間常數)，這提供了一個λ整定因子，可用于加快或減慢回路響應。

4 積分對象λ整定參數計算

積分對象的λ是克服擾動的閉環停止時間，閉環時間常數描述控制器克服擾動的速度。因此，一個小的閉環時間常數值(即短響應時間)意味著一個有效的控制器。

4.1 λ的計算

(7)

最終整定需要在線驗證，可能需要調整。如果過程對干擾和(或)設定值的變化反應遲鈍，控制器比例很可能太小和(或)積分時間太大。相反，如果過程響應迅速而導致不期望的振蕩程度，則控制器比例很可能太大和(或)積分時間太小。

PID控制器的被控對象參數如式(8)所示：

(8)

主通道閉環傳遞函數如式(9)所示：

(9)

對式(9)的分母進行一階Taylor變換，則上式變形如式(10)所示：

(10)

閉環傳遞函數是一個二階對象，λ正好是兩個相同的極點，階躍響應約6倍，λ達到穩態。而且當λ=τ時設定值階躍變化響應接近4∶1衰減振蕩。

4.2 λ的選擇

積分純滯后過程的λ為負載擾動的最大偏差時間。如果目標是抗擾能力最大，則選擇一個較小的λ；如果目標是允許被控變量變化，并減小控制器輸出和利用容器吸收被控變量的波動，則選擇更大的λ。λ沒有上限，但是λ必須足夠小，才能將被控變量保持在最大干擾時的允許偏差范圍內。

建議的最小λ為1倍的純滯后，這是最強的PID參數。此時的PID參數如式(11)所示：

(11)

有時候需要最大化吸收擾動以減少對下游裝置的影響。最大的λ如式(12)所示：

(12)

式中： ΔPVmax%——PV的允許工藝偏差百分數；ΔOPmax%——OP最大控制器輸出百分數；K——過程模型增益。

5 應用與優化

以某裝置液位控制回路為例，運用λ方法進行回路參數的整定。開始試驗前，充分與操作員進行溝通，使其明確該試驗的目的，在極端情況下，操作員應具備應急處理能力，如果這些條件具備，按照下列步驟開始回路參數整定：

1)2022年4月12日9：42：25，關閉該液位控制回路控制器，將其切換至手動模式，時間點為t0，此時PV值記為PVt0，OP值不變，并等待達到穩態。

2)手動“沖擊”，強行使閥位輸出OP值由28.88%突變到22%，液位的PV值會因此開始緩慢變化，OP值突然增加的時間點t1為10：12：00，對應PVt1，PV開始有明顯變化的時間點t2為10：12：50，對應PVt2，測試過程趨勢變化如圖4所示。

圖4 某裝置液位控制回路開環 測試過程曲線示意

3)等待一段時間，時間點t3為10：49：45，對應PVt3，測試過程各項參數見表1所列。

4)將表1中記錄的各項數據代入公式計算K和τ：

表1 測試過程參數記錄

0.001 203 9

τ=t2-t1=50

5)可使用式(7)來整定PID參數，令λ=τ，則

TI=2λ+τ=3τ

6)重復以上步驟多次，分別計算出Kc和TI，求出平均值。利用式(4)得出KC=12.45，TI=150 s=2.5 min。

7)將KC=12.45，TI=2.5 min帶入到該液位控制回路進行驗證，將其進行閉環驗證，如圖5所示。SP值由40%階躍至45%，PV值在4.5 min內即達到新的穩態，且未出現超調等不穩定因素，具有很強的魯棒性。

6 結束語

λ整定法也有其局限性，特別是要求快速調整時，這種調整會使過程變化越來越慢，是過程變量和設定值之間長時間保持一個偏離，明確地說，λ通常在開環階躍響應時間和3倍的開環階躍響應時間之間，這樣一來對于設定點變化的閉環響應時間就是相應的開環階躍響應時間的3倍。而且如果死區時間tD比較長，那么還需要更大的λ值，這種情況下，λ>tD就是實際操作中的時間下限，因為控制器不可能比死區時間響應得更快[9]。

圖5 某裝置液位控制回路閉環階躍驗證曲線示意

λ整定控制器的最大不足就是它應對過程外部負載的能力過于有限。雖然當隨機負載使過程變量偏移時，λ整定法最終還是能夠將過程變量帶回設定點，但是過程不會很高效[10]。即使對擾動進行測量也于事無補，因為λ整定定律對于負載的行為不做限制，僅僅關心過程而已。即使有上述缺點，由于λ整定方法操作簡單、適用性強、便于參數計算等優點，可以解決現場95%以上的PID回路參數整定問題，深受技術人員的青睞。