“二重積分”的計算技巧在考研數學中的應用

張瑩婕 陳貝寧 馮彥博

1.河海大學商學院 江蘇常州 213022；2.河海大學機電工程學院 江蘇常州 213022

“二重積分”的內容在考研數學的“數學二”“數學三”屬于必考知識點，一般考察大題[1]，而在“數學一”中又作為后面“三重積分”“曲面積分”等內容的前提基礎，可見“二重積分”的重要性。因此，考生在備考這部分內容時，應立足課本與歷年真題，將考點“弄懂吃透”，巧妙利用規律性的解題技巧達到快速提升的目的。下面本文將逐一介紹“二重積分”的計算技巧在考研數學中的應用。

1 利用二重積分的概念解題

2 選取適當的積分次序

歷年研究生考試中有直接考察交換積分次序的題目，讓考生直接選出或寫出交換積分次序后的形式，此類題為基礎題，千萬不可丟分。

交換積分次序也是二重積分的解題方法之一，靈活運用不僅能簡化計算，還可能使難題迎刃而解。

計算時原積分需要交換積分次序主要涉及以下三種情況[3]：

(2)原積分次序下不可積，即積分結果不能用初等函數表示的積分，此時必須交換積分次序。

考生需要保持對此類方法的敏感性，除了遇到以上常見的不可積的情況之外，但凡遇到計算不下去的二重積分，都可以試一試交換積分次序的方法去尋找解題突破點。

(3)被積函數含有抽象函數時，一般也考慮交換積分次序。

3 選取適當的坐標系

選取合適的坐標系是二重積分計算的重要技巧[4]，根據積分區域與被積函數的特點，有時需要將直角坐標系與極坐標系互化，從而選取計算最簡便的坐標系。

解析：積分區域的一條邊界是由圓構成，因此可以將直角坐標系轉化為極坐標系，再交換積分次序來計算。

坐標系選擇的一般原則：

(2)積分區域若為圓或者圓的一部分，選極坐標系[5]。

(3)參考歷年真題得出經驗之談，考研時若題目是直角坐標系dxdy形式，往往要化成極坐標系來計算，反之，若題目形式為極坐標系dθrdr形式，則往往要化為直角坐標系。若題目給的是dσ形式，則需要考生自己判斷哪種坐標系較為合適。

4 巧用對稱性簡化計算

4.1 普通對稱性

若積分區域D關于x軸對稱，D1為x軸一側的部分，則有

同理，若積分區域D關于y軸對稱、關于原點對稱和關于y=x對稱，也有相應的“奇零偶倍”的結論。

另外，二重積分的對稱性還有兩個推論，考生若能熟記考試時能直接運用：

①若積分區域D關于y=a對稱，D1為D關于y=a對稱的半個部分，則有

②若積分區域D關于x=a對稱，D1為D關于x=a對稱的半個部分，則有:

學會巧用對稱性，能夠大大簡化計算。二重積分的對稱性也是考研數學必考的知識點，很多看似復雜的式子就是通過對稱性來化簡計算的。

解析：C。兩部分被積函數相同，可以將積分區域合并后計算。合并后的積分區域D關于y軸對稱，且被積函數中的xy是關于x的奇函數，故可化為零。

4.2 輪換對稱性

設函數f(x，y)在閉區域D上連續，且區域D關于y=x對稱，則有:

例6：(2014年數學二)設平面區域D={(x，y)|1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，計算二重積分

解析：積分區域D關于y=x對稱，試著用輪換對稱性解題，就會發現可以消去分母“x+y”。

5 分段函數的二重積分

分段函數的二重積分在十年之前的研究生考試中是一個考察熱點，近幾年考察較少，但從整理和備考的角度來看，考生也應做好復習工作，將此塊內容納入自己的知識體系中。

所謂分段函數的二重積分，指被積函數在積分區域的不同部分有不同的表達式，根據積分區域的可加性，可將原積分展開：

解析：對于含有max、min的此類題型，可令被比較的兩者相等，從而找出積分區域的分割線。本題xy=1將被積區域分成兩塊，而左邊一塊的積分計算又需要以x=0.5為界分割開。

分段的被積函數一般含有max、min或者絕對值。此類題一般不難，解題重點在于找出被積函數變化的積分區域，細心不出錯的同時提高解題速度是考生提升的關鍵。

結語

二重積分作為考研數學中的重要內容，其考察內容與計算技巧具有一定的規律性，從整理考研真題著手，才能更好地幫助考生掌握考點。本文介紹了二重積分定義、交換積分次序、直角坐標系與極坐標系互化、二重積分的對稱性四個方面，基本涵蓋了往年考研真題中應用到的二重積分解題技巧，希望可以幫助準備考研的同學加深對二重積分的理解，靈活合理地運用二重積分的計算技巧。