開槽深度和坡度對高頻高階模帶寬和中心頻移的影響

丁學用 王連勝

（三亞學院理工學院，三亞 572022）

引 言

布喇格結構作為構成諧振腔的主要組成部分，在回旋自諧振脈塞(cyclotron autoresonance maser,CARM)、太赫茲自由電子激光(free-electron laser, FEL)、高功率微波和太赫茲表面波振蕩器等器件中都有廣泛的應用[1-8]. 布喇格結構主要有波導和同軸等形式，文獻[6-7]采用波導型布喇格反射腔對高功率太赫茲表面波振蕩器進行結構優化，本文主要研究同軸布喇格結構. 布喇格結構周期性邊界條件的選頻特性所形成的禁帶或者通帶，可用來制作反射器、濾波器和模式轉換器等器件[4]. 當帶寬越窄時，選頻特性就越好，可用作反射器構造諧振腔；當帶寬越寬時，濾波范圍就會越寬，可用作濾波器. 耦合波理論是研究布喇格結構電磁特性的極為有效的方法，在前期研究討論多波耦合理論使用范圍時，在建立耦合波方程組的過程中，波紋開槽深度一般選擇遠小于圓柱布喇格反射器的平均半徑、波紋周期[9-10]. 然而，在一些實際應用中，布喇格結構的開槽會比較深，對布喇格結構的帶寬和中心頻率偏移會有較大影響. 尤其對于工作于太赫茲頻段的大尺寸布喇格結構，過模(over-mode)工作導致的帶隙重疊現象對模式的純度造成極大的影響. 將同軸布喇格結構外導體內壁和內導體外壁相對于其對稱軸加正負坡度角構成錐形坡度結構的研究表明，加不同坡度方式和不同坡度角不僅對較低頻率單模工作時帶寬有明顯影響[10-11]，而且對較低頻率耦合模工作時競爭模式的中心頻率點偏移也有影響[12-15]，選擇合適加坡度方式，可以很好抑制帶隙重疊，改善其作為反射器或濾波器的性能.

近幾年，有對較低頻率帶有錐度結構的同軸開槽布喇格反射器[10-15]以及波紋誤差對同軸布喇格結構反射特性的影響進行研究[10]，但很少有對太赫茲頻率(0.35 THz)高階耦合模式坡度結構特性進行研究，而帶寬的寬窄和中心頻率偏移的多少是同軸布喇格結構中很重要的特性，直接影響其作為反射器或濾波器的性能以及能否實現單模傳輸. 本文將研究開槽深度和開槽坡度形狀及坡度角對工作于太赫茲頻率高階耦合模式同軸布喇格結構帶寬和中心頻率偏移的影響，以期通過設計合適的參數，拓寬其作為反射器或濾波器的用途，抑制過模工作狀態所產生的帶隙重疊，構建高品質因數Q、高頻高階高功率的單模諧振腔.

1 理論模型分析

同軸布喇格結構剖面圖[9]如圖1 所示，正圓錐形坡度和倒圓錐形坡度結構[11]如圖2 所示. 在圖1 中，結構外導體內壁各點到同軸布喇格結構對稱軸線的外壁半徑Rout和結構內導體外壁各點到同軸布喇格結構對稱軸線的內導體半徑Rin可分別表示為隨z變化的關系：

圖1 同軸布喇格結構剖面圖Fig. 1 Sectional view of coaxial Bragg structure

圖2 坡度開槽同軸布喇格結構剖面圖Fig. 2 Sectional view of coaxial Bragg structure with taper

通過耦合模微分方程組可求解在同軸布喇格結構反射器內傳輸的電磁場，采用四階龍格-庫塔數值求解法和正交直角三角形(quadrature right-triangle，QR)算法可求出特征值及相應的特征向量，再利用迭代改善的算法對線性方程組進行高精度的求解[9].具體分析方法和理論在文獻[9, 16]中已有詳細的介紹，相關的耦合模公式也有詳細的推導，各種模式耦合方程可通過有限差分法求解. 基于耦合模理論，本文利用FORTRAN 高級語言程序編寫代碼進行非線性數值模擬實現開槽深度和開槽坡度形狀及坡度角對工作于太赫茲頻率高階耦合模式同軸布喇格結構的帶寬和中心頻率偏移的影響. FORTRAN 編程理論模擬結果與實驗測試結果的一致性已得到實驗驗證[17]，但對工作于太赫茲頻率的同軸布喇格結構特性，由于實驗條件、實驗測試環境、測試儀器精度等因素影響，目前實驗測試不能完成，只能通過所編寫的可行計算程序進行模擬研究. 在本文仿真過程中，布喇格反射器的內外導體材料均假設為理想材料(無耗材料)，暫不考慮反射器的損耗.

前期研究發現，在同軸布喇格結構內外導體初始相位差 δφ=jφin?φoutj=π時，工作模式和競爭模式的帶隙重疊現象可以有效分離，獲得高反射率[9-14]. 因此，在此文接下來的研究中，都設置初始相位差為π.

2 開槽深度對帶寬和中心頻移的影響

工作于太赫茲高次耦合模的同軸布喇格結構在CARM 方面有潛在的應用. 根據布喇格結構條件，設計中心頻率為0.35 THz 的工作模式TE61和主要競爭模式TM62，外導體平均半徑a0=10 mm，內導體平均半徑b0= 7.0 mm，內外導體波紋開槽pout=pin=0.43 mm，同軸布喇格結構長度L=85.57 mm，內外導體初始相位差 δφ=jφin?φoutj=π， 開槽深度lout=lin=0.01 mm，0.015 mm，0.02 mm 和0.025 mm. 由于同軸布喇格結構內外導體開槽加載漢明窗技術會對頻率響應的殘余旁瓣起到很好的抑制作用[10-14]，本文仿真過程中也加載漢明窗來抑制殘余旁瓣.

圖3 是不同紋波開槽深度下反射率隨頻率變化的曲線圖. 其中設計工作模式TE61的初始中心頻率為0.35 THz，競爭模式TM62的中心頻率為0.357 THz.由FORTRAN 程序編寫代碼模擬仿真的后臺數據可得不同開槽深度時對應于工作模式TE61和競爭模式TM62的不同頻率如表1 所示，由此可得紋波開槽深度與0.35 THz 下帶寬的關系如圖4 所示.

圖3 不同紋波開槽深度反射率隨頻率變化的曲線圖Fig. 3 The curve of frequency response with different ripple depths

表1 不同開槽深度工作模式和競爭模式的頻率Tab. 1 Frequency of operating mode and competing mode with different ripple depths THz

圖4 帶寬隨開槽深度變化曲線Fig. 4 The curve of bandwidth changing with different ripple depths

由圖3(a)和圖4 可以看出：未加載漢明窗時，改變紋波開槽深度，工作在太赫茲頻率耦合模式中工作模式TE61和競爭模式TM62的帶寬隨著紋波開槽深度的加深而逐漸變寬；當槽深增加到一定程度(0.025 mm)，會出現工作模式和競爭模式的帶隙重疊，不利于模式的選擇；隨著槽深增加競爭模式的加寬趨勢相比工作模式逐漸減慢，而他們的中心頻率點偏移較小. 由圖3(b)可看出加載漢明窗后，頻率響應的殘余旁瓣得到了有效抑制，但在開槽波紋深度較淺時(0.01 mm)，工作模式和競爭模式反射率衰減也很大，工作模式的反射率才達到0.6 左右，因此，加窗技術應選擇在開槽深度較深的情況. 所以，在太赫茲頻率耦合模式下，應根據實際需要選擇紋波深度和加窗技術. 如果作為反射器，盡量選擇較小波紋開槽深度；如果作為濾波器，盡量選擇較大波紋開槽深度，并加載漢明窗技術消除殘余旁瓣現象.

3 坡度對帶寬和中心頻率偏移的影響

坡度開槽同軸布喇格結構可以改善同軸布喇格結構作為反射器或濾波器的性能[10-15]. 在文獻[10-15]中，主要是對較低頻率單模(工作頻率15 GHz 和100 GHz)帶有錐度結構的同軸開槽布喇格結構特性進行研究，本文對較高頻率(工作頻率0.35 THz)高階耦合模式坡度同軸布喇格結構特性進行研究. 圖5是不同坡度角正圓錐形坡度同軸布喇格結構反射率隨頻率變化的曲線圖，其主要參數同第2 節. 選擇開槽深度為0.02 mm，坡度角分別為0.1°，0.2°，0.3°和0.4°. 圖6 是帶寬和中心頻率偏移隨坡度角變化的曲線圖.

由圖5 和圖6 可知：當對同軸布喇格結構采用正圓錐形坡度時，隨著坡度角的增大，工作模式TE61和競爭模式TM62的帶寬都變窄，但變化范圍不大；工作模式中心頻率點幾乎沒發生偏移，但競爭模式中心頻率偏移量較大，且靠近工作模式中心頻率點，帶隙重疊現象惡化，不利于模式選擇.

圖5 不同坡度角正圓錐形結構反射率隨頻率變化曲線Fig. 5 The diagram of frequency response of positive taper ripples structure with the different gradient angles

圖6 帶寬和中心頻率偏移隨正圓錐形結構坡度角變化曲線Fig. 6 Relationship between the different gradient angles of positive structure and the centre frequency shift

圖7 是不同紋波開槽坡度角下倒圓錐形坡度同軸布喇格結構反射率在不同坡度角時隨頻率變化的曲線圖，圖8 是帶寬和中心頻率偏移隨坡度角變化的曲線圖. 由圖7 和圖8 可知：工作模式TE61和競爭模式TM62的帶寬會隨著坡度角的增加而逐漸拓寬，但變化率都不是很大，二者變化趨勢近似；工作模式的中心頻率點也沒發生明顯偏移，但競爭模式的中心頻率點值逐漸變大且遠離工作模式的中心頻率點，這樣可以很好地抑制工作模式和競爭模式之間的帶隙重疊現象；隨著坡度角的增大，工作模式和競爭模式的反射率也都略有增大；加載漢明窗技術可以很好地抑制殘余旁瓣，且對工作模式和競爭模式的反射率影響較小. 由圖5～8 可知，為了更好地拓寬同軸布喇格結構作為反射器或濾波器的用途，應選擇坡度角較大的加載漢明窗函數技術的倒圓錐型坡度同軸布喇格結構，可以很好地抑制帶隙重疊現象，減弱競爭模式對工作模式的影響，實現高頻高階模式的單模傳輸. 但坡度角會受到倒圓錐型同軸布喇格結構尺寸的限制，不能設置得太大.

圖7 不同坡度角倒圓錐形結構反射率隨頻率變化曲線Fig. 7 The diagram of frequency response of negative taper ripples structure with the different gradient angles

圖8 帶寬和中心頻率偏移隨倒圓錐形結構坡度角變化曲線Fig. 8 Relationship between the different gradient angles of negative structure and the centre frequency shift

4 結 論

基于耦合模式理論和FORTRAN 高級編程語言編程，比較研究了不同紋波開槽深度、不同坡度形狀和坡度角對工作在太赫茲頻率耦合模式下同軸布喇格結構的帶寬和中心頻率點偏移的影響. 對數據進行分析，得出以下兩點結論:

1)隨著紋波開槽深度的增加，工作模式和競爭模式的帶寬逐漸變寬，但工作模式帶寬的增加趨勢大于競爭模式，二者中心頻率點偏移都很小. 當波紋開槽深度較大時，帶隙重疊現象會惡化，不利用模式的選擇. 在同軸布喇格結構用作波紋開槽深度較大的濾波器時，最好加載漢明窗技術消除殘余旁瓣現象.

2)隨著坡度角的增大，正圓錐形坡度同軸布喇格結構工作模式和競爭模式的帶寬都逐漸變窄，帶寬隨坡度角的變化影響較小，競爭模式的中心頻率點發生偏移并靠近工作模式中心頻率點，帶隙重疊現象惡化，不利于模式的選擇；隨著坡度角的增大，倒圓錐型同軸布喇格結構工作模式和競爭模式的帶寬都逐漸變寬，競爭模式的中心頻率點發生偏移并遠離工作模式的中心頻率點，帶隙重疊現象得到很好的抑制，有利于模式的選擇. 加窗技術可以很好地抑制殘余旁瓣現象.

因此，為了更好拓展同軸布喇格結構作為反射器或者濾波器的性能，可根據實際需要選擇合適的開槽深度、加坡度方式和合適的坡度角，有效抑制帶隙重疊現象，減弱殘余旁瓣對頻率響應的影響，提高模式頻率的選擇性，以實現太赫茲頻段高階模式單模工作.