基于準彈性修正法計算道岔區輪軌接觸關系

羅燕 陳嶸 袁鈺雯 徐井芒 錢瑤

1.西南交通大學高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，成都 610031；2.西南交通大學土木工程學院，成都 610031

輪軌磨耗影響輪軌間的相互作用，進而影響列車運行時的平穩性和安全性［1］。相較于區間線路，道岔區結構復雜，列車過岔時，輪軌磨損更加嚴重［2］。

國內外專家對輪軌接觸幾何展開了大量研究。王開文［3］提出了跡線法求解任意車輪踏面和鋼軌廓形的輪軌接觸幾何參數。倪平濤等［4］利用跡線法和鋼軌廓形分區法求解鋼軌不同區域與車輪的最小間隙差，以此判斷單點或多點接觸。曹洋［5］對岔區控制斷面進行插值得出任意計算斷面，結合跡線法計算不同斷面的輪軌接觸參數。Sugiyama 等［6］提出一種可用于道岔區輪軌兩點接觸幾何分析的數值計算方法，并討論了尖軌變截面廓形對道岔區輪軌接觸幾何的影響。錢瑤［7］提出求解道岔區輪軌接觸接觸幾何的法向切割法，此法能準確求解在不同橫移量和搖頭角下岔區輪軌接觸點的位置，并在此基礎上分析了車輪磨耗對岔區輪軌接觸幾何的影響。上述方法均假設鋼軌和車輪為剛體，為剛性接觸法。此類方法計算速度快，但對于不光滑的車輪踏面和鋼軌頂面，計算出的接觸點會有較大的跳躍。

因此，Arnold［8］提出了一種準彈性接觸法，對剛性接觸法計算出的接觸點進行修正和優化，求解一定輪重下的實際輪軌接觸點，并將此方法用于動力學仿真軟 件SIMPACK 的 輪 軌 接 觸 關 系 計 算 中［9］，但 在SIMPACK 的輪軌關系模塊中未考慮輪對橫移時的側滾。干鋒等［10］結合輪軌剛性接觸法和準彈性接觸模型研發了TPLWRSim 軟件，用于計算磨耗后車輪踏面的輪軌接觸關系。

上述研究大多針對區間鋼軌，未針對道岔區鋼軌的特殊結構。研究考慮彈性的道岔區輪軌接觸算法可以為求解道岔區輪軌接觸力學、輪軌動力學提供理論基礎。因此，本文運用法向切割法結合準彈性接觸模型計算磨耗前后地鐵列車LM 型踏面和9 號道岔匹配的輪軌靜態接觸參數，對比分析準彈性修正前后輪軌接觸點及輪軌接觸幾何參數的差異。

1 鋼軌和車輪廓形

1.1 鋼軌廓形

9 號道岔轉轍器區基本軌側鋼軌廓形沿縱向不變。對于尖軌側尖、基本軌組合廓形，首先通過CAD軟件離散并提取控制斷面廓形坐標，再利用控制斷面進行線性插值得到中間任意計算斷面。在進行插值時需將尖軌和基本軌分開離散和插值。圖1為尖軌側控制斷面和插值得到的不同頂寬尖軌和基本軌的組合廓形。

圖1 道岔尖軌斷面

1.2 車輪廓形

采用Miniprof 測量了上百組服役狀態下的地鐵車輪踏面，并對實測廓形數據進行處理，除去噪聲點并進行擬合和平均化，得到磨耗車輪踏面，進行坐標變換后與標準LM 踏面對比，結果見圖2。可知，磨耗車輪踏面和輪緣均有一定磨損，其中踏面主要發生垂向磨耗，最大磨耗量為1.32 mm，輪緣發生側面磨耗。

圖2 磨耗車輪踏面與標準車輪踏面對比

2 法向切割法及準彈性修正法

2.1 法向切割法

法向切割法［7］是一種考慮道岔變截面特點的輪軌靜態幾何接觸點算法。假設輪對和鋼軌均為剛體，且左右輪軌同時接觸，接觸點處輪軌間垂向間隙最小。

計算時把車輪表面看作是由一條車輪廓形線繞車軸中心線旋轉360°得到的曲面，車輪底部垂直于輪軌坐標系中x= 0 平面的輪廓線稱為主輪廓線，其上任意一點坐標為[0，y0，z0]，車輪上其他任意輪廓線所在二維平面與主輪廓線所在平面間的夾角為α，稱為法向切割角。該輪廓線上任意一點坐標可表示為

求解輪軌接觸點時，給定初始的法向切割角為[αa，αb]，在此范圍內把車輪曲面等分為n+1 條車輪廓形線。在軌道坐標系中任一輪廓線坐標為

式中：m為輪對中心到名義滾動圓位置的距離。

已知輪對搖頭角為δ，橫移量為yw，假設輪對初始側滾角為θ，則計算時任一車輪廓形線坐標為

獲得法向切割角范圍內車輪廓形線離散點坐標后，插值得到尖軌側尖軌和基本軌組合廓形在相同坐標系中的離散點。根據最小距離法求在初始側滾角下 左 側 最 小 距 離d0L，min和 右 側 最 小 距 離d0R，min的 差 值d0，min=d0L，min-d0R，min及對應的車輪線法向切割角α0。在 新 的 法 向 切 割 角 范 圍[α0-(αa+αb)/(2n1)，α0+(αa+αb)/(2n1)]內，對車輪重新法向均分切割成n1份，再計算得新的最小距離差d1，min與對應的車輪線法向切割角α1。如果|d1，min-d0，min| ≤Δ（Δ 為計算需滿足的精度），則最小距離點在法向切割角為α1的車輪線上，否則應繼續在新的法向切割角范圍內進行最小距離差的求解，直到第k次計算滿足|dk，min-dk-1，min| ≤Δ，此時的法向切割角為αk，即在初始側滾角θ下的最小距離差為f(θ) =dk，min。在該車輪線上考慮側滾角的影 響，根 據 經 驗 給 出 側 滾 角 范 圍[θc，θd]，θm=（θc+θd）/2，若f(θm)= 0，則當側滾角為θm時輪軌剛好接觸，否則用二分法對f(θ)進行迭代，直到|θc-θd| ≤Δ，滿足精度要求。由此求得在搖頭角為δ、橫移量為yw時輪軌接觸的側滾角及接觸點坐標。

2.2 準彈性修正法

在對輪軌接觸參數進行計算時，剛性接觸法計算速度快，但計算結果不夠準確。彈性接觸法考慮輪軌實際材料特性，計算精度高，但計算過程繁瑣，計算效率低。準彈性接觸法［11］計算速度快，同時計算結果準確性較高。

車輪與軌道靜態接觸時，接觸條件與基本特征為：左右輪與鋼軌同時接觸，且接觸位置輪軌垂向距離最小；輪對橫移時會產生側滾運動；在名義滾動圓附近的輪軌常接觸區域，輪軌接觸點位置不會產生大的跳變。

假設車輪與鋼軌輪廓線上垂向兩點間對應的位置矢量為q，橫向坐標為s，兩點間的垂向距離為d(s，q)，輪軌接觸幾何條件為

式中：[smin，smax]為車輪與鋼軌廓形橫坐標重合區域。

根據彈性力學原理，用數學方法將剛性接觸模型的加權最小二乘近似與平滑項相結合得近似函數［10］，即準彈性接觸條件為

式中：ε為對數應變系數，輪軌接觸中取1 × 10-5～5 ×10-5，本 文 計 算 中 取4 × 10-5；w(s，q) 為 權 重 系 數，w(s，q) = e-d(s，q)/ε，由d(s，q) ≥0可得w(s，q) ∈[0，1]。

準彈性修正后橫向上的位置坐標為

剛性接觸點經準彈性修正后即為準彈性接觸點。

3 輪軌接觸幾何分析

3.1 輪軌接觸點分布

利用法向切割法分別計算地鐵標準和磨耗LM 踏面與9號道岔尖軌尖端及尖軌頂寬20、35、50 mm 斷面匹配且輪對橫移量b從-12.0 mm 變化到12.0 mm 時的輪軌接觸點分布，不考慮搖頭角。結果見圖3。

圖3 LM踏面與9號道岔不同斷面匹配時輪軌接觸點分布

由圖3可知：

1）與尖軌尖端匹配時，磨耗LM 踏面剛性接觸點跳躍明顯，準修正后接觸點更平滑連續，最大修正量為3.18 mm；標準LM 踏面在車輪向負方向發生橫移時，準彈性接觸點相較于剛性接觸點有明顯修正，b=-12.0 mm時最大修正量為2.60 mm。

2）與尖軌頂寬20 mm 斷面匹配時，隨輪對橫移量增大，輪軌接觸點由基本軌過渡到尖軌上。①對于標準LM 踏面，準彈性接觸點與剛性接觸點相比，由基本軌跳躍至尖軌前后有明顯修正。跳躍前，b= 7.5 mm時，準彈性接觸將基本軌上接觸點向尖軌方向修正，修正量為7.30 mm；b=8.0 mm 時接觸點跳躍至尖軌，尖軌上接觸點向基本軌方向修正，修正量為6.62 mm。②對于磨耗LM 踏面，b= 9.5 mm 時剛性接觸點已過渡到尖軌上，而準彈性接觸點還在基本軌上，準彈性接觸點較剛性接觸點更晚發生輪載過渡。

3）與尖軌頂寬35 mm 斷面匹配時，標準LM 踏面所有接觸點已轉移至尖軌上；而磨耗LM 踏面接觸點在b= 6.0 mm 時才從基本軌跳躍至尖軌上。對于標準LM 踏面，準彈性接觸點較剛性接觸點更為平滑，在b= 5.0 mm 時最大修正量為2.47 mm。對于磨耗LM踏面，發生跳躍前，b=5.5 mm 時，準彈性接觸將基本軌上接觸點向尖軌方向修正，修正量為6.62 mm；b=6.0 mm 時，接觸點跳躍至尖軌，尖軌上接觸點向基本軌方向修正，修正量為12.81 mm。

4）與尖軌頂寬50 mm 斷面匹配時，標準及磨耗LM 踏面輪軌接觸點已經全部轉移至尖軌上，且準彈性修正前后變化規律與尖軌尖端類似。

標準LM 踏面與9 號道岔匹配時輪軌接觸點隨輪對橫移量的變化較均勻。磨耗后LM 踏面與9 號道岔匹配時，輪對橫移向左時，輪軌接觸點向非工作邊偏移，且輪軌接觸點跳躍較大，車輪磨耗明顯改變輪軌接觸點狀態，使輪軌接觸點向外側移動，并加劇輪軌接觸點的跳躍性和不連續性。經過準彈性修正后的接觸點，由于考慮了一定軸重下輪軌接觸區域的彈性變形，能在一定程度上改善輪軌接觸點的跳躍性，使接觸點更加均勻連續，甚至會改變輪載過渡的位置。

3.2 道岔轉轍器的結構不平順

道岔轉轍器區由于尖軌和基本軌的組合廓形隨縱向里程不斷變化，存在固有結構不平順。計算時選取的特征斷面頂寬間隔約3 mm。標準車輪與磨耗車輪過道岔轉轍器時，準彈性修正前后鋼軌接觸點結構不平順隨尖軌頂寬的變化曲線見圖4。

圖4 鋼軌接觸點結構不平順隨尖軌頂寬的變化曲線

由圖4可知：

1）在輪載過渡前，鋼軌橫向不平順隨尖軌頂寬增大而增大，最大可達31～38 mm；在輪載過渡時橫向不平順產生突變，突變后在0 附近波動。對中狀態下過岔，標準LM 踏面在尖軌頂寬32 ～ 35 mm 實現輪載過渡。磨耗LM 踏面橫向不平順的最大值較標準LM 踏面大，其突變位置的尖軌頂寬也變大。這是由于車輪磨耗后，對中狀態下輪軌接觸點位置發生變化，輪載過渡位置也向后偏移。對標準LM 踏面，準彈性修正后橫向不平順在達到最大值后有一定程度的降低，而后產生突變；對于磨耗LM 踏面，修正前后橫向不平順變化趨勢基本一致，輪載過渡后，修正后的橫向不平順波動值趨近0。

2）鋼軌豎向不平順較小，不超過1.3 mm。在輪載過渡前鋼軌接觸點位置在豎向上變化不大，輪載過渡時輪軌接觸點位置突然降低，然后又迅速升高，磨耗前后車輪踏面均在頂寬50 mm后維持較小波動。

3.3 輪軌接觸角差

輪軌接觸角會影響輪軌蠕滑力的分配，進而影響輪軌磨耗、接觸疲勞傷損等。輪軌接觸角差隨輪對橫移的變化曲線見圖5。

圖5 接觸角差隨輪對橫移量的變化曲線

由圖5可知：

1）與尖軌尖端匹配時，踏面接觸時接觸角差隨輪對橫移量的變化相對較小；輪緣接觸后接觸角差急劇增至1.2～1.3 rad；隨著輪對橫移量繼續增大，接觸角差降至0.9 ～ 1.0 rad。踏面接觸時，準彈性修正后的接觸角差略小于修正前，輪緣接觸后基本一致。

2）與尖軌頂寬20 mm 斷面匹配時，輪載過渡前接觸角差隨輪對橫移量的變化相對較小。輪軌接觸點由基本軌轉移至尖軌時，對于剛性接觸，接觸角差會發生臺階式跳躍，增至0.33 rad左右，之后隨輪對橫移量增大而小幅增大，直到發生輪緣接觸，接觸角差迅速增至1.20 rad以上。在剛性接觸角差隨輪對橫移量出現臺階式變化位置，準彈性修正后的接觸角差明顯更平滑連續。

3）與尖軌頂寬35 mm 斷面匹配時，對于標準LM踏面，輪軌接觸角差隨輪對橫移量的變化規律與尖軌尖端工況類似。這是因為在頂寬35 mm 處輪軌接觸點已完全從基本軌轉移至尖軌，隨著輪對橫移量增大，由車輪踏面接觸轉變為輪緣接觸。對于磨耗LM踏面，輪軌接觸角差隨輪對橫移量的變化規律與尖軌頂寬20 mm工況類似。

4）與尖軌頂寬50 mm 斷面匹配時，兩種車輪踏面輪軌接觸點均已過渡到尖軌上，輪軌接觸角差變化規律與尖軌尖端工況類似。

3.4 滾動圓半徑差

輪軌接觸的滾動圓半徑差是求解等效錐度的重要參數，能在一定程度上反應輪對的動態特性。輪對橫移量從0變化到12 mm 時滾動圓半徑差的變化曲線見圖6。可知：輪緣接觸前，隨輪對橫移量增大，滾動圓半徑差增幅較小；發生輪緣接觸后，滾動圓半徑差迅速增大；在尖軌頂寬20 mm 處，隨輪對橫移量增大，輪載過渡前滾動圓半徑差變化較小，輪載過渡處剛性滾動圓半徑差出現跳躍，經準彈性修正后滾動圓半徑差更連續；在尖軌頂寬35 mm 處，對磨耗LM 踏面，滾動圓半徑差變化規律與尖軌頂寬20 mm處類似。

圖6 滾動圓半徑差隨輪對橫移量的變化曲線

3.5 等效錐度

等效錐度是表征輪軌接觸幾何特征的重要參數，直接反映輪軌之間的匹配程度。目前常用的等效錐度計算方法有簡化法、諧波法、UIC519 法等。UIC519法采用隨機運動假設，在對磨耗車輪進行計算時更準確［12］，所以本文采用UIC519標準計算等效錐度。

等效錐度隨輪對橫移量的變化曲線見圖7。

圖7 等效錐度隨輪對橫移量的變化曲線

由圖7可知：

1）標準LM 踏面和磨耗LM 踏面與尖軌尖端、尖軌頂寬50 mm 斷面匹配時，在輪對橫移量較小情況下，準彈性修正后的等效錐度略大于剛性等效錐度；輪對橫移量增至一定值后，準彈性等效錐度明顯小于剛性等效錐度，且等效錐度隨輪對橫移量的變化率更小。

2）與尖軌頂寬20 mm 斷面匹配時，等效錐度最大值出現在橫移量較小的情況下；隨橫移量增大，等效錐度總體呈減小趨勢；準彈性修正后的等效錐度最大值比剛性等效錐度的最大值要小，變化更平緩。

3）與尖軌頂寬35 mm 斷面匹配時，標準LM 踏面修正前后的等效錐度變化規律與尖軌尖端工況類似；磨耗LM 踏面的等效錐度隨橫移量的增大先大幅降低，而后平緩增大。準彈性修正后的等效錐度最大值明顯低于剛性等效錐度，準彈性等效錐度變化曲線更平緩。這是因為準彈性接觸是考慮了輪軌間彈性變形的簡化算法，能在一定程度上修正剛性接觸算法下輪軌接觸的跳躍性，使準彈性接觸法下等效錐度反映出的輪軌匹配特性更好。

4 結論

1）采用法向切割法求道岔區輪軌接觸點時，考慮了岔區鋼軌廓形沿縱向變化的特點，但其假設車輪和鋼軌均為剛體，計算出的輪軌接觸點跳躍性大，與實際輪軌接觸關系有一定差距。

2）車輪磨耗對輪軌接觸關系有較大影響，會明顯改變輪軌接觸點的位置分布以及輪軌接觸幾何參數隨輪對橫移量的變化情況，磨耗狀態LM 踏面的輪軌接觸點分布更復雜，且跳躍性更大。

3）準彈性接觸考慮輪軌間的彈性變形，在道岔區，經過準彈性修正后的接觸點較剛性接觸點位置有明顯變化，在頂寬20 mm 斷面處會改變輪載過渡時的橫移量。且準彈性修正后得到的輪軌接觸幾何參數更平滑、均勻和連續，滿足輪軌接觸條件，較剛性接觸算法能更好地計算車輪磨耗后的輪軌接觸關系。

本文只對比分析了準彈性接觸與剛性接觸算法下標準踏面和磨耗踏面的輪軌接觸點及輪軌接觸幾何參數，下一步將會對準彈性修正對輪軌接觸應力以及車輛運行動力學響應的影響進行深入研究。