基于改進D-S證據理論的簡支梁橋結構損傷識別

王先龍 劉建勛 張戎令，3 張文靜 張新博

1.蘭州交通大學土木工程學院，蘭州 730070；2.甘肅省公路交通建設集團有限公司，蘭州 730030；3.蘭州交通大學道橋工程災害防治技術國家地方聯合工程實驗室，蘭州 730070

在結構損傷檢測系統中，受自然環境、傳感器自身精度等因素的影響，僅靠單一損傷指標很難精確地描述結構的損傷狀態。因此，多種指標類型檢測信息的融合成為結構損傷識別的研究熱點［1-4］。D?S 證據理論作為廣義貝葉斯理論，具有處理不確定信息的能力，在信息融合領域得到了較好的發展［5-8］。然而D?S證據理論在實際應用中存在不足之處，如面對高度沖突證據時可能得出與實際情況差別較大的結果［9］。這使得證據理論不能直接應用于存在較多沖突證據的信息融合中。

針對上述問題，國內外許多學者提出了解決方法。Smets［10］提出可傳遞置信模型（Transferable Belief Model，TBM），將沖突重新分配給未知的新命題，從而解決高度沖突證據問題。但此方法并不適用于識別框架已知的情況，并且在實際中證據完全可靠的條件并不易滿足，使該模型的應用范圍受到了限制。Yager［11］將沖突證據分配給全集，未沖突部分仍然按照Dempster 組合規則進行融合，有效解決了高沖突證據融合問題。該方法對證據的變化過于敏感且具有一票否決性，在證據較多時融合效果并不理想。Murphy［12］將證據的基本概率指派進行平均，然后使用Dempster 組合規則對新證據進行融合。試驗結果表明，該方法能有效處理沖突證據，并且有較快的收斂速度。由于該方法未考慮各個證據的重要程度，融合結果不夠合理。張歡等［13］利用皮爾遜相關系數計算證據之間的相關程度，根據相關程度確定證據體的權重。由于該算法只是對證據體進行加權，未考慮證據與焦元基本概率指派（Basic Probability Assignment，BPA）之間信任度不一致的情況，信息處理不夠完全。鄧勇等［14］通過各證據之間的距離計算證據的可信度，以此為權重對證據加權平均再進行融合。該方法融合過程收斂速度快，計算量適中，是目前較為有效的D?S 證據理論改進算法之一。雖然很多學者對D?S 證據理論的組合規則進行改進［15-18］且具有一定效果，但在實際工程中，證據沖突產生的主要原因是證據源受環境因素、人為因素的干擾、傳感器精度等影響。因此，在證據融合前如何對證據進行修正處理才是解決高沖突證據融合的關鍵。

針對以上問題，本文引入灰色關聯度理論和可信度概念，根據證據間的關聯程度進行權重的分配，然后對原始證據的BPA 進行加權處理，再利用Dempster組合規則進行融合。

1 經典D-S證據理論及其缺陷

1.1 經典D-S證據理論

若θ是由N個相互獨立命題組成的有限的完備集合，則稱其為辨識框架，其冪集構成命題的集合為2θ。設m是識別框架θ的冪集2θ到區間［0，1］上的一個映射，A為識別框架中的一個或多個命題，如果滿足：= 1，則稱m為θ上的基本概率指派。m（A）為命題A的基本概率數，表示m對命題A的支持程度。若命題A滿足m（A）＞0，則稱A為θ上的一個焦元。

設m1和m2為兩組基本概率指派，對應的焦元分別為Ai和Bj，則m1和m2組合后的新證據為

式中：k為沖突系數。

1.2 經典D-S證據理論的缺陷

在經典D?S 證據理論中，沖突系數k用來衡量證據焦元間的沖突程度，k越大則沖突越大。對于沖突較小的證據，D?S 組合規則可以得到較好的融合結果。對于高度沖突的證據，在使用過程中存在組合矛盾、一票否決和魯棒性差三個問題。以某結構損傷為例對以上三個問題進行說明。分別從應力、撓度和基頻數據得到三條證據（m1、m2、m3），損傷位置分別用a、b、c、d表示，見表1。由于撓度數據在采集過程中受外界干擾，導致m2與m1和m3有較大的沖突。

表1 損傷位置BPA

1）組合矛盾。主要表現形式：如果證據之間的沖突嚴重，直接使用Dempster 組合公式會產生違背常理的融合結果。對表1 中三條證據進行融合，融合結果為：m（d）=1，m（a）=m（b）=m（c）=0。三條證據對d損傷的支持度非常低，但Dempster 組合規則的融合結果將全部的信度分配給了d，這是不合理的。

2）一票否決。主要表現形式為：當某條證據對某個命題的支持度為0 時，無論其他證據對該命題的支持度多高，最后結果仍為0。表1 中m2（c）為0，即使m1（c）和m3（c）達到了0.766 9 和0.783 7，在融合結果中m（c）為0，與常理不符。

3）魯棒性差。魯棒性是反映當某個命題的基本概率指派發生微小變動時融合結果的變化幅度。將表1 中m2（a）減小0.001，m2（c）增加0.001，修改后的損傷位置BPA 見表2。融合結果為：m（c）= 0.996 5，m（d）=0.003 5，m（a）=m（b）=0。表2 僅將表1 中的證據m2進行微小調整，但融合結果相差極大，表明經典D?S證據理論魯棒性很差。

表2 修改后的損傷位置BPA

2 基于灰色關聯度的改進D-S證據理論

在實際完備識別框架中，各證據不是相互獨立的，應與其他證據有一定的關聯性，因此不同證據對命題的評估應具有不同的權重。灰色關聯度分析法是一種分析系統中各因素關聯程度的方法，其實質是將研究對象影響因素的因子值視為一條線上的點，并與待識別對象影響因素的因子值所繪曲線進行比較，計算兩者幾何形狀的接近程度，越接近則發展變化趨勢越接近，關聯度越大，以此來判斷影響因素的主次，從而確定出權重。基于此，本文提出一種基于灰色關聯度改進D?S 證據理論算法，通過各證據間的灰色關聯系數確定其所占權重。一個證據與其他證據的灰色關聯系數越大，則該證據受到其他證據的支持度就越大，具有較高的可信度，其權重就越高。具體算法流程如圖1所示。

圖1 本文算法流程

①假設辨識框架θ包含n個元素，p條證據，其對應的p×n矩陣表示為證據序列矩陣（Evidence Sequence Matrix，ESM），用E表示，即

設參考證據為mj=｛mj（g），g= 1，2，… ，n｝（j=1，2，…，p），比較證據為mi=｛mi（g），g=1，2，…，n｝（i=1，2，… ，p），則證據mi和mj之間的關聯系數可表示為

式 中：Δij(g) =|mi(g) -mj(g)|；ρ為 分 辨 系 數，ρ∈(0，1)，一般ρ= 0.5。

通過計算參考證據mj所有的關聯系數，得到證據mj的灰色關聯系數矩陣（Gray Correlation Coefficient Matrix，GCCM），用G表示，即

②對辨識框架內所有證據進行關聯系數計算，并將證據之間的關聯系數作為支持度，得到支持度矩陣為

③由于灰色關聯系數計算了p條證據之間所有元素的關聯系數，當一個信息源出現故障時，與其他正常證據源獲得的證據相比，該信息源收集的證據往往具有較小的灰色關聯系數。因此，基于灰色關聯系數矩陣定義評判標準Ti來識別故障信息源，即

式中：λ為閾值，其值越小，對應信息源的故障率越大，一般λ=0.85。

當Ti＜λ時，說明第i個信息源不可靠，其支持度應為0。此時，得到修正故障信息源的證據支持度矩陣S*。

④將新的支持度矩陣S*經歸一化處理后得到證據可信度Ci，即

⑤將可信度Ci作為證據mi的權重對原始BPA 進行加權處理，定義加權后的BPA為m*，即

⑥采用Dempster 組合規則將加權后的新證據自身融合兩次，得到最終的融合結果。

3 算例分析

3.1 經典D-S證據理論缺陷的解決

將表1 中的證據按照本文改進算法進行證據融合，融合結果為：m（a）= 0.102 2，m（b）=0.003 7，m（c）=0.894 0，m（d）=0.000 1。其中，指向c損傷的概率最大，與1.2節中的分析一致，表明本文提出的改進算法很好地解決了經典D?S證據理論中的組合矛盾和一票否決問題。

將表2 中的證據進行證據融合，融合結果為：m（a）= 0.080 1，m（b）= 0.003 8，m（c）= 0.916 0，m（d）=0.000 1。

對比本節兩組融合結果可知，對于基本概率指派的微小擾動，融合結果的變化幅度也是微小的。隨著m2（c）的增大，m（c）增大，m2（a）減小，m（a）亦減小，說明基本概率指派和組合結果的變化是同步的，本文提出的改進算法擁有較強的魯棒性。

3.2 多證據融合比較

證據的數量是影響融合效果的重要因素之一，不同數量證據融合結果的合理性是衡量融合方法優劣的一個重要角度。本文選擇文獻［13］的數據（表3）與經典D?S證據理論、文獻［11］、文獻［12］和文獻［13］進行對比分析。

表3 五條原始證據BPA

將表3 中的5 條證據分為4 組，分別是第1 組（m1、m2），第2 組（m1、m2、m3），第3 組（m1、m2、m3、m4）和第4組（m1、m2、m3、m4、m5）。由于m2對命題B有較大的支持度，所以僅對第1組證據進行融合，其結果應偏向于信任命題B。隨著證據數量的增加，命題A的支持度不斷上升，由此推斷m2犯錯的可能性極大，所以在4 組證據的融合過程中，m（A）應逐漸增大，m（B）應逐漸減小。4組證據支持的命題應為BAAA。分別將4組證據進行融合，結果見表4。

表4 不同數量證據融合結果對比

由表4 可知，經典D?S 證據理論對高沖突證據無法進行有效處理，在融合結果中m（A）始終為0。這是由經典D?S 證據理論的一票否決問題所導致的，盡管后來所有證據都支持命題A，但m2否定了命題A，導致m（A）始終為0，融合失敗。文獻［11］將沖突分配給全集m（X）的方式并未發揮很大作用，無論證據數量是多少，這種算法都將絕大部分的基本概率指派分配給全集m（X），未識別出合理命題。相比之下，文獻［12］、文獻［13］和本文算法都能有效識別出合理命題B。其中，文獻［12］由于未考慮證據之間的關聯性，在第2 組增加m3的情況下仍未發現m2的錯誤，直到第3組支持命題A的m4出現才能有效識別目標。文獻［13］和本文算法都取得了與分析一致的融合結果，但本文算法在命題信任度和收斂速度上都優于文獻［13］。

為了比較本文算法與經典D?S證據理論及其他改進算法對合理命題的反應速度，將4 組證據對應合理命題的融合結果進行對比，見圖2。可知，本文算法對合理命題的融合基本概率都優于經典D?S證據理論及其他改進算法。

圖2 各算法融合結果比較

3.3 數值模擬

為了檢驗本文算法在工程中的適用性，使用MIDAS/Civil建立一個長度為10 m、兩端固結的鋼梁有限元模型，劃分為10 個單元，橫截面尺寸為350 mm×500 mm，鋼梁中部作用P=1 000 kN的荷載，見圖3。

圖3 鋼梁有限元模型離散圖

以單元彈性模量降低來模擬結構損傷，彈性模量降低百分比為結構損傷程度，每個結構單元包括5 種工況：無損、損傷20%、損傷40%、損傷60%、損傷80%。選取結構單元的特性指標應力、撓度和結構基頻進行融合，以確定結構的損傷位置和損傷程度。計算鋼梁在無損及損傷20%、40%、60%、80%共41 個工況的特征指標。考慮到實際工程中環境因素對結構的影響，分別以單元應力和撓度的±5%、結構基頻的±2%進行樣本隨機擴展，每種指標的樣本擴展數為10，最終得到樣本總數為451。隨機選取樣本數的90%為訓練樣本、10%為測試樣本，相應樣本數分別為406和45。

使用以上訓練樣本對融合模型進行訓練，生成BPA的高斯型隸屬度函數為

首先將訓練樣本帶入式（9），生成各工況對應特征指標的隸屬度函數。然后將測試樣本與各指標對應的隸屬度函數進行匹配，得到測試樣本與各指標的匹配程度，生成測試樣本的BPA。最后，用本文算法對生成的BPA 進行融合計算，得到鋼梁的損傷情況，計算結果見表5。可知，以單個單元的特征指標數據來識別鋼梁損傷準確率均在91%以上；以兩個單元識別的準確率均在95%以上；以三個單元識別的準確率均為100%。說明在本文算法中，僅以單個單元的應力和撓度及鋼梁的基頻，就可以較為準確地判斷出鋼梁的損傷情況，兩個單元的識別準確率略有提高，三個單元完全可以識別出鋼梁的損傷情況。

表5 融合結果識別準確率

4 結論

1）考慮證據間的關聯性可以有效避免錯誤證據的干擾，提高融合結果的準確率。

2）改進后的算法能有效解決經典D?S證據理論面對高沖突證據時存在的組合矛盾、一票否決、魯棒性差等問題。

3）通過灰色關聯度矩陣定義的評判標準可準確識別出故障信息源，對故障信息源收集的證據進行歸零處理，可明顯提高融合結果的準確率。與其他改進算法相比，本文算法在不同多個證據上的融合結果都表現出更高的命題信任度。

4）通過對鋼梁結構損傷的模擬計算，驗證了本文算法可以應用于結構的損傷識別，并具有精確的識別結果。與單一指標損傷識別相比，在對結構損傷位置和損傷程度的識別過程中，本文算法的識別結果更準確可靠。

5）本文算法能有效解決經典D?S證據理論存在的高沖突證據問題，具有較高的識別效率和收斂速度，可以準確識別結構損傷情況。