基于增量非線性動態逆的液壓執行器力控制策略研究

解占新，閆 政

(晉中學院 機械系，山西 晉中 030619)

引言

液壓驅動相比電機驅動，有更高的功率重量比和剛度，廣泛應用于重型機械臂[1]、足式機器人[2]和助力系統[3]。液壓執行器具有高度的動力學非線性和模型不確定等特性，使得液壓驅動的系統高精度運動控制成為研究熱點。液壓執行器通過伺服閥控制流量，以速度指令作為輸入控制運動。但機器人關節執行器是以關節電流作為輸入直接控制力，即力矩控制，此差異化使得當前廣泛研究的機器人控制技術[4]無法直接應用于液壓驅動的機器人。因此，需要將液壓機器人的控制器級聯成一個多回路結構去解決電液聯合控制問題。具體方法是，內環為壓力反饋解耦的力跟蹤控制器，跟蹤外環運動控制器給出的期望驅動力。級聯的優勢是可以在外環運動控制中采用當前成熟且先進的電驅機器人控制技術，內環只需專注高性能的力跟蹤控制器研究。

由于液壓執行器的高度非線性動力學、模型簡化以及參數動態變化導致的模型不確定，使得液壓執行器的高性能力控制具有挑戰性。文獻[5]指出，一般的線性控制器，如Proportion Integration Differentiation(PID)[6,7]在此類應用中受到帶寬限制，導致顯著的相位滯后，并隨著頻率的增加而惡化，根本不能實現液壓執行器高性能的力控需求。這就需要更先進的基于模型的控制方案(Model-Based Control，MBD)，如反饋線性化[1,8]及其變體，包括基于非線性動態逆(Nonlinear Dynamic Inversion，NDI)的控制[9-11]，級聯壓力控制(Cascade ΔPController，CdP)[12]和平坦控制(Flatness-Based Control，FBC)[13]。然而，MBD性能嚴重依賴于被控對象的精確模型，在參數不匹配的情況下性能惡化嚴重。

增量非線性動態逆(Incremental Nonlinear Dynamic Inversion，INDI)[14]是一種基于傳感器的非線性控制技術，只對系統標稱模型的部分進行反饋線性化，解決了傳統反饋線性化固有的完整模型依賴問題。文獻[15-16]已經驗證了在高采樣率的條件下，在飛控系統中INDI可以實現優秀的控制性能和魯棒性。在與液壓相關的機器人系統高精度控制方面，INDI具有以下優勢：

(1) 對模型參數不確定性和連續外部干擾，無需設計明確的自適應或魯棒控制算法，具有固有的魯棒性；

(2) 控制性能好，計算量小且控制器設計簡單；

(3) 無需精確的被控對象非線性動力學模型，就能進行系統的反饋線性化設計。

液壓執行器的非線性模型不確定問題，許多研究采用非線性自適應控制方法進行處理[17-19]。液壓動態參數的自適應控制律設計是與完整的系統控制器設計相結合，以保證全局穩定性。因此，很難直接與不同的外環控制器相結合，而且還會帶來高計算負荷等實際問題。因此，高性能、完全解耦和模型依賴性較小的液壓力控制器設計與研究顯得迫切重要。

本研究討論了INDI控制技術在典型閥控非對稱液壓缸形式的執行器和液壓挖掘機器人上的初步理論分析和應用。此外，給出INDI的魯棒特性和穩定性的嚴格證明。通過仿真對比，驗證所提控制器的有效性。

1 液壓執行器動力學建模

典型的由伺服閥驅動直線非對稱缸的液壓執行器基本結構如圖1所示[20]，A腔室和B腔室的壓力動態方程可描述如下：

圖1 液壓執行器模型Fig.1 Hydraulic actuator model

式中，pa和pb——分別是執行器的無桿腔和有桿腔的壓力

Φa，Φb——伺服閥進出油口的流量

Φlp——內泄漏流量

Aa，Ab——分別是執行器的無桿腔和有桿腔的面積

E——油液彈性模量

xp——執行器位移

Lc——執行器總的有效行程

Vpl——容腔的管路體積

執行器的液壓力Fh由執行器A和B腔中產生的壓力平衡形成，即：

Fh=paAa-pbAb

(2)

取式(2)式微分形式，并帶入式(1)，可得：

(3)

其中，取A腔活塞桿面積為Ap，α是活塞面積比率(即，Aa=Ap且Ab=αAp)，Va和Vb分別是考慮各自管路容腔后A和B兩腔體積，即Va=Apxp+Vpl，Vb=αAp(Lc-xp)+Vpl。

可以將執行器的每個腔室將定義一個等效傳動剛度，即(Ktha=ApE/Va，Kthb=αApE/Vb)，則整個液壓缸等效剛度可考慮為2個彈簧并聯形式(無論執行器朝哪個方向運動，2個彈簧都呈現出抵抗運動的趨勢，因此等效剛度考慮為并聯而非串聯)，即Kth=Ktha+Kthb=ApE(1/Va+α/Vb)。則：

(4)

其中，Φe=(VbΦa+αVaΦb)/(Vb+αVa)是等效流量，Ae=Ap(Vb+α2Va)/(Vb+αVa)為等效面積。將執行器動態力寫成式(4)這種形式，可以顯示系統的一個重要物理特性：液壓傳動剛度Kth，這是動力學中的一個基本物理量。傳動剛度越硬，動力傳遞就越快。傳動剛度的先驗知識可以為液壓機器人的控制和機械設計提供重要的見解[21]。

閥口的流量公式可由如下計算：

(5)

式中，Cd——流量系數

Am——閥門最大面積

xm——閥芯位移

ρ——油液密度

Δp——閥口前后壓差

(6)

一般閥芯的頻率遠大于執行器的頻率，因此在液壓控制的研究中大多忽略了閥芯的動力學，因此可以直接將閥芯位移xm視為系統輸入，歸一化后為：

(7)

在重型液壓裝備以及密封要求極高的應用場合，執行器的液壓力和輸出力并不等同。需要考慮液壓缸的摩擦Ff，定義執行器輸出力F=Fh-Ff，則完整的液壓執行器的動態方程為：

(8)

采用LuGre模型[22]建立液壓缸運動系統的摩擦Ff，其數學描述如下：

(9)

式中，σ0——鬃毛剛度

σ1——鬃毛微觀阻尼系數

σ2——黏性阻尼系數

z——鬃毛平均變形量

Fc——庫倫摩擦力

Fs——最大靜摩擦力

vs——Stribeck速度

可以看出，液壓缸的摩擦力為速度的非線性函數。

2 增量非線性動態逆

傳統的NDI是反饋線性化方法的一種變體，在飛行控制問題中得到了廣泛的應用[23]。然而，MBD的常見缺點是嚴重依賴于被控對象建模的精確度，因此對模型不確定性具有固有的敏感性。INDI本質上是增量形式的NDI方法，除與模型輸入相關的其他非線性項的大多數參數影響都通過高采樣速率被最小化到一個擾動。因此，INDI并不依賴于精確的建模，對模型的不確定具有天然的不敏感性。

2.1 理論和穩定性

假設被控系統是一般的n階控制輸入的仿射非線性系統，即：

(10)

y=H(x)

(11)

其中,F∈n是系統向量場，u∈m是輸入，D∈n是連續的外部擾動，G∈m×n是控制矩陣。假設x，D，H是連續的，F(x)，G(x)是x的∞函數且微分有界。

為簡化，設H(x)=x，系統的相對自由度度為(1，…，1)1×n，則系統輸出的一階導數為：

(12)

控制輸入u便顯式地出現在式(12)中。對于m=n的全驅系統，如果G是可逆的，則可以采用傳統的NDI或一般的反饋線性化方法設計控制器，如下：

u=G-1(x)[v-(F(x)+D)]

(13)

可以看出，設計NDI控制率需要精確的系統模型，對系統輸入矩陣G，非線性項F和擾動項D都要進行辨識。

INDI與NDI方法不同的是，對式(12)中的系統動力學在每個采樣區間的開始時刻(下標為0)泰勒展開，得到系統的增量形式，如下：

(D-D0)+O(x-x0)2

(14)

用增量形式表示，并將最后三項集中為擾動項：

ΔD+OΔx2

(15)

則式(14)可以表示為：

(16)

利用x和D的連續性以及F和G微分的有界性，計算式(15)在采樣時間Ts趨近于0時的極限為：

(17)

式(17)表明，在高采樣速率下，式(16)中擾動對系統動力學的貢獻趨近于0。因此，在每個采樣間隔內，INDI控制律為：

(18)

由此可以看出，INDI相對于NDI不需要對系統非線性項F和擾動項D進行辨識。本質上對于輸入矩陣G也無需精確建模，見3.2分析。

設計Lyapunov函數如下：

(19)

其中e=xd-x,xd為期望軌跡。將V(e)求導如下：

δ(Δx，ΔD)]}

(20)

將式(18)代入式(20)，計算得：

(21)

對于輸入矩陣不確定的魯棒性，下面給出證明。

2.2 魯棒性

考慮式(10)給出的系統，式(18)中的INDI控制律中沒有明確使用F和D這些量的信息，因此INDI對F(x)中的參數不確定和連續擾動D不敏感。這兩項對系統動力學的貢獻可以集中到一個小擾動項中，而擾動項只影響誤差動力學的最終界，控制器是全局一致有界穩定，且可以通過增加采樣速率來減小到可以忽略的程度。

圖2 INDI 控制框圖Fig.2 INDI control block diagram

(22)

(23)

式(23)表明，傳遞函數的幅值隨著Ts趨近于0而等于0。這與采樣周期速率很高時，可以忽略集中擾動項的事實是一致的。

下面考慮MIMO系統。

將INDI控制率帶入，同樣在高采樣速率下忽略集中擾動項，可得系統狀態方程：

(24)

對式(24)進行移項變換可得：

(25)

(26)

將式(26)帶入式(25)，則系統方程可寫成如下對角化形式：

(27)

式(27)可以將系統轉化為i個解耦的標量方程：

(28)

(29)

綜上證明，INDI是一種非常實用的非線性控制技術，可以克服傳統反饋線性化方法對參數不確定性和連續擾動固有的敏感性。

3 控制器設計

3.1 內回路液壓力控制器

(30)

(31)

(32)

通過選擇一個足夠高的采樣速率，集中擾動幅度降低到可以忽略不計。然后選擇一個簡單的線性控制器Kp，將系統變成一個力跟蹤控制器，即：

(33)

其中，Fd是期望跟蹤的驅動力。

3.2 實施考慮

1) 摩擦力補償

(34)

其中，Fh=(pa-αpb)Ap=pLAp。

2) 二階濾波器

(35)

(36)

3) 建模誤差容忍度

在INDI控制器中，非線性項ΓA和擾動項D經由高采樣速率被消除了，因而不存在于控制率中。而控制輸入矩陣GA在模型不匹配程度內(φ>0.5)不會顯著影響控制性能，當估計誤差過大時，會影響系統穩定性。

GA=

(37)

模型不匹配誤差來源主要在于閥，管路和液壓缸建模，可通過對GA求梯度進行定性分析。可以看出，閥的流量增益系數Kv和油液彈性模量E對建模影響比較大，在實際中需要謹慎標定。

4 仿真

4.1 仿真環境

建立液壓機械臂多物理動態模型，如圖3所示，子模塊主要包括圖4所示的機械臂多體動力學模型，和采用式(1)～式(9)建立的液壓執行器數學模型，如圖5所示。液壓執行器為非對稱閥控非對稱液壓缸，主要參數如表1所示。

表1 液壓執行器主要參數Tab.1 Main parameters of hydraulic actuator

圖3 液壓機械臂物理仿真模型Fig.3 Physical simulation model of hydraulic robot

圖4 機械臂動力學模型Fig.4 Robotic manipulator dynamics model

圖5 液壓執行器動力學模型Fig.5 Hydraulic actuator model

表2 對比控制器主要參數Tab.2 Contrast controller main parameters

4.2 結果與討論

標稱參數模型下PID，NDI和INDI控制器的跟蹤性能對比如圖6所示。PID和NDI可以觀察到明顯的跟蹤誤差，控制器的最大跟蹤誤差為10%～15%。而INDI具有更準確的跟蹤性能，控制器的最大跟蹤誤差始終在6%左右。因此，INDI的優勢已經很明顯。

圖6 標稱模型下力跟蹤性能對比Fig.6 Comparison of force tracking performance under nominal model

在實際中，GA的不確定性來源于液壓執行器的流量，如參數Kv。本研究中，通過改變Kv參數有意引入模型不匹配程度。INDI，PID和NDI在參數不匹配條件下的力跟蹤性能如圖7所示。通過與標稱模型結果對比，在-40%的GA不匹配程度下，NDI和PID控制器的跟蹤性能顯著下降，已經無法跟蹤設定值，而INDI控制器的性能幾乎保持完好。其原因是，NDI的嚴重依賴于被控對象建模的精確度，因此對模型不確定性具有固有的敏感性。INDI本質上是增量形式的NDI方法，除與模型輸入相關的其他非線性項的大多數參數影響都通過高采樣速率被最小化到一個擾動。因此，INDI并不依賴于精確的建模，對模型的不確定具有天然的不敏感性。而PID是一種數據驅動的控制策略，對于模型不確定具有一定魯棒性，但是針對復雜的非線性系統，不能實現液壓執行器高性能的力控需求。

圖7 -40%參數不匹配下力跟蹤性能對比Fig.7 Comparison of force tracking performance under -40% parameter mismatch

圖8給出了在GA從-90%到+70%不同參數的不匹配程度ψ下，3個控制器的力跟蹤性能相對誤差百分比力超調量F，力跟蹤誤差ΔF。INDI在±50%條件內表現出相同的性能，力跟蹤誤差不超過6%。即使是參數不匹配達到了-90%和+70%，力跟蹤誤差也不超過8%，表現出優秀的跟蹤性能。在參數不匹配小于+50%(也就是處于理論分析的穩定域內)，INDI幾乎沒有超調，表現出較強的穩定性。在參數不匹配大于+50%，INDI表現出一定的超調現象，但幅度不大。相比之下，PID和NDI的跟蹤誤差隨著不匹配水平的增加迅速從10%上升到30%，力超調最大達到了50%，表明在極度參數不匹配情況下，系統已經失去穩定性。由此，表明INDI對參數不確定性具有極強的魯棒性。

圖8 不同參數的不匹配程度下相對性能對比Fig.8 Relative performance comparison for different parameters with different degrees of mismatch

當采樣速率降低時，INDI控制性能隨之會下降，如圖9所示。當采樣頻率低于2000 HZ時，控制性能極差，而在10000 Hz頻率下，INDI控制器存在較小的穩態誤差。這一結果說明了INDI線性化的有效性依賴于高采樣頻率的假設。因此在實際中，控制器硬件條件允許情況下盡可能提高采樣速率。

圖9 不同采樣速率下INDI控制性能對比Fig.9 Performance comparison of INDI at varies sampling rates

5 結論

(1) 與傳統的反饋線性化方法NDI相比，INDI方法僅需要更少的模型信息卻能提供更好的性能，因此非常適用于液壓驅動的非線性、時變性和參數不確定極強的系統；

(2) 仿真表明了INDI對參數不確定的非線性模型的魯棒性，力跟蹤誤差始終穩定在在6%左右，最大跟蹤誤差也不超過8%，驗證了INDI穩定性的必要條件:模型的不匹配程度φ>0.5；

(3) INDI采用高頻率濾波處理噪聲，系統抗干擾能力增強，進一步驗證了魯棒性。