基于變溢流壓力的電液機械臂節能控制策略

張嘯甫，施光林

(上海交通大學 機械與動力學院，上海 200240)

引言

機械臂已經在工業等領域內得到了廣泛的應用，用來代替人們從事具有重復性、危險性、精確性的任務。相比于傳統機械臂采用的電機驅動方式，電液驅動由于具有更高的功率質量比，具有更高的承載能力，經常被使用在需要高負載的應用場合，例如工程機械、航空航天、農業機械等[1]。但是液壓系統存在能效過低的嚴重缺陷，這是由于大多數液壓系統在追求高精度與快速響應能力時采用了閥控系統，動力站的輸出動力一般來說是恒值，但液壓執行機構所需要的能量取決于負載情況。在多數情況下，執行機構跟蹤軌跡所需要的能量遠小于輸入能量，且其隨著負載變化而發生變化，那么多余的能量需要通過溢流閥排回油箱，造成了較高的能量損失。

對此，針對降低液壓系統的能量損耗問題，一些學者展開了相關的研究。這些研究包括：負載敏感系統[2-4]，即感應負載所需的壓力或者流量變化，通過負載敏感閥控制變量泵以達到節能效果；泵控系統，即利用變量泵或者伺服電機-定量泵驅動方式，直接控制液壓執行機構，通過調節變量泵排量或者伺服電機轉速，使得輸出功率與負載相匹配，從而實現能耗的降低[5-8]。但是泵控系統的動態響應相比與閥控系統要慢的多，而且控制精度較低。也有學者利用開關慣性液壓系統來降低能量損失[9-11]，這種液壓系統通過一個高速開關閥來控制系統的流量或壓力，由于其不依賴于節流耗散，因此能效會得到提高。但是高頻率、低泄漏、低壓降的開關閥研發依舊面臨著重大挑戰。另外，基于這種開關思想，有學者設計了一組候選控制器和一個切換邏輯來控制液壓系統，并利用基于LQ最優化方法，使候選控制器相對于節能系數的增益達到最優，從而降低系統的能量損耗[12]。另外一種思想是基于實時調節液壓系統的壓力，使得輸出功率與外部負載需要的功率盡可能的接近，例如采用有效作用面積實時變化的液壓缸作為執行機構[13]，以及通過自適應魯棒控制器直接調節非對稱液壓缸兩腔的壓力等[14]。

本研究提出一種基于變溢流壓力的非線性控制策略，在降低液壓系統能量消耗的同時，保證系統位置跟蹤性能。以一款液壓機械臂為研究平臺，推導其考慮液壓系統動態特性的數學模型，并根據推導的數學模型，設計動態面控制器，保證系統的位置跟蹤性能；與此同時，根據給定的理想位移，反解出實現該位移所需要的供油壓力，并將控制信號直接作用于比例溢流閥，使系統的供油壓力與負載匹配，降低溢流損失。

1 液壓機械臂數學模型

液壓機械臂的結構示意圖如圖1所示，具有3個自由度，每個關節由一套比例閥控非對稱液壓缸系統獨立驅動。

圖1 液壓機械臂結構示意圖Fig.1 Diagram of hydraulic manipulator structure

根據牛頓-歐拉迭代公式，可以得到機械臂的動力學模型：

(1)

圖2 機械臂驅動關節結構圖Fig.2 Structure of manipulator driving joint

(2)

式中，bi為缸尾部鉸接點與連桿鉸點的長度；li代表連桿的有效作用長度；y0i為液壓缸兩個鉸接點的初始長度；αi為關節連桿末端鉸點與液壓缸末端鉸接點的夾角。液壓缸對應的速度為：

(3)

式中,βi為關節連桿與液壓缸首端鉸接點的夾角；J2i為關節速度與液壓缸伸縮速度的映射函數。每個關節的驅動力矩τi可計算得：

τi=Fyili=Fisin(βi)li=J1iFi

(4)

式中,Fi和Fyi分別表示液壓缸軸向輸出力及其垂直于連桿的分力；J1i為第i個關節扭矩與液壓缸推力的映射函數。傾角βi可由以下算式得到：

(5)

液壓缸兩腔的壓力動態方程被描述為：

(6)

式中,βe，Ct和pli分別為油液體積彈性模量、總泄漏系數和液壓缸兩腔間的壓差；第i個液壓缸兩腔體積V1i=V01i+A1yi，V2i=V02i-A2yi，其中V01i，V02i分別為液壓缸兩腔的初始體積；A1和A2為液壓桿無桿腔與有桿腔的有效作用面積；q1i和q2i為液壓桿兩腔的流量，可表示為：

(7)

式中,kq為流量增益系數；xv代表由輸入電壓控制的閥芯位移；ps和pr分別為系統的供油壓力與回油壓力。由于伺服閥的頻寬遠大于系統的頻寬，其控制電壓與閥芯位移之間的關系在這里看作是比例環節，即xvi=kvui，其中kv為控制增益。定義第i個液壓缸的輸出力為：

Fi=A1p1i-A2p2i

(8)

(9)

式中：

J1=diag(J11,J12,J13),J2=diag(J21,J22,J23)，

b=diag(b1,b2,b3)∈R3×3,

g1=diag(g11,g12,g13),

g2=diag(g21,g22,g23)∈R3×3,

g3=[g31,g32,g33]T∈R3×1

關節軌跡θ以及其各階導數是連續有界的，從而對應的液壓缸位移、速度以及加速度均連續有界。

2 變溢流壓力控制策略

液壓系統能量損失主要由溢流損失造成。為了降低液壓系統的能量消耗，提出變溢流壓力的節能控制策略。為了簡便分析，以第一個關節為例，在已知機械臂關節理想位移x1d條件下，根據式(2)、式(3)可得到液壓缸的理想位移y1d及其各階導數。

(10)

若已知系統的回油壓力，通過式(7)可以反解出第一根液壓缸理論有桿腔壓力p21為：

(11)

式中,u1為第一個關節的控制輸入。通過式(8)可以得到理論無桿腔壓力p11：

(12)

將理論無桿腔壓力帶入到流量-壓力公式(7)中，可以得到對應的理論溢流壓力為：

(13)

(14)

分別計算3個關節對應的理論溢流壓力，取其最大值作為整個系統的溢流壓力ps=max{ps1,ps2,ps3}。由于系統存在著不確定性與擾動等因素，為了安全穩定起見，根據理論位移計算的溢流壓力需要補償上一個安全閾值，則上式修改為：

psd=ps+σ

(15)

式中σ為補償壓力，根據仿真情況選擇補償壓力范圍為1～2 MPa；psd為最終確定的溢流壓力。該壓力信號將直接作用于比例溢流閥，根據輸入的理想位移控制液壓機械臂系統的溢流壓力，進而降低能量消耗。

3 動態面控制器

為了保證系統的位移跟蹤性能，根據系統數學模型，設計動態面控制器。該控制器是基于反步法思想發展而來[15]。定義第一個誤差面e1及其微分方程為：

(16)

根據李雅普諾夫穩定性設計x2的虛擬控制率x2v及其一階濾波方程為：

(17)

式中，γ1為時間常數；k1為正的控制增益矩陣；x2f為濾波后的信號。同理可得第二個誤差面e2及其微分方程為：

(18)

定義x3的虛擬控制律x3v及其濾波信號為：

(19)

式中，γ2是時間常數，k2是正的控制增益矩陣；x3f為濾波后的信號。定義第三個誤差面e3及其微分方程為：

(20)

則根據李雅普諾夫穩定性，控制器的輸入u可構造為：

u=(g2kuβe)-1[g1βe(J2x2)-g3βeCt-

(21)

(22)

(23)

(24)

基于以上分析，所設計的控制器保證了閉環系統中的狀態變量有界，控制系統穩定。

4 仿真結果與分析

基于以上分析，搭建基于MATLAB/Simulink的仿真模型。3個關節的理想位移輸入分別為：

θ1=21sin(0.4πt+3π/2)+21，

θ2=-25sin(0.2πt+3π/2)+155，

θ3=-30sin(0.4πt+3π/2)+210。

末端x，y方向上受力分別為50 N。動態面控制器參數選擇為：k1=diag(20,18,35)，k2=diag(55,70,60)，k3=diag(500,500,500)，γ1=γ2=0.1；其他模型參數如表1所示。

表1 液壓機械臂模型參數Tab.1 Model parameters of hydraulic manipulator

定義系統運行過程中的能量消耗為：W=∑psd(t)qsΔt，其中Δt為采樣周期，psd為計算的理論溢流壓力，qs為泵流量。為了驗證所提算法的有效性，兩種控制策略被用來進行對比：VPC-基于可變供油壓力的動態面控制器；CPC-基于不變供油壓力的動態面控制器。同時，最大絕對值誤差emax與平均絕對值誤差eav兩個指標衡量控制器的位置跟蹤性能。

液壓機械臂系統的溢流壓力如圖3所示，圖4為系統在兩種策略下的能量消耗情況。在運行時間段內，其中基于VPC策略的系統消耗能量為W=24.98 kJ，基于CPC策略消耗的能量為W=48.12 kJ，相比較而言，可變溢流壓力的非線控制策略節省能量消耗48.08%。VPC控制器會根據輸入的理想位移信號實時地反解出理想位移對應的理想溢流壓力，并以該壓力控制溢流閥，實現系統能耗的降低。

圖3 液壓機械臂系統供油壓力Fig.3 Structure of manipulator driving joint

圖4 液壓機械臂系統能量消耗Fig.4 Structure of manipulator driving joint

圖5所示為液壓機械臂各個關節的位移跟蹤情況，表2給出了誤差評價指標，其中VPC的最大跟蹤誤差為0.3515°，CPC的最大誤差為0.3283°。從結果可以發現，基于可變溢流壓力的非線性控制效果與傳統的定溢流壓力控制效果接近一致。盡管VPC的最大絕對值誤差略高于CPC，但是其均值誤差要小于CPC，驗證了可變溢流壓力控制策略保證控制精度的同時，降低了系統的能量消耗。

表2 各個關節位移跟蹤誤差評價指標Tab.2 Evaluation indexes of tracking errors

圖5 兩種策略下各個關節位置跟蹤情況Fig.5 Position tracking of each joint under two strategies

5 結論

本研究為降低液壓機械臂系統運行過程中的能量消耗，提出一種基于可變溢流壓力的非線性控制策略。針對一款三自由度液壓機械臂，推導其考慮液壓系統動態特性的數學模型，并基于該模型設計了動態面控制器，保證系統的跟蹤控制性能。同時，利用液壓系統的動態特性，根據輸入的理想位移實時地反解出對應的理想溢流壓力，將該壓力值反饋到控制器中并控制溢流閥以達到可變溢流壓力效果，進而實現系統能耗的降低。通過對比仿真結果，發現該策略在具備傳統定溢流壓力控制精度的同時，降低了能量消耗，驗證了該方法的有效性。